☉河南省西平縣基礎(chǔ)教育教研室 郭長軍

在解決數(shù)學(xué)幾何問題時，我們通常想到的解決方法是由問題的條件到相應(yīng)問題的結(jié)論之間的定向思考，但是對于某些問題采用這樣的思考方式來解顯得比較困難，甚至無從著手，在這種情況下，我們不妨改變一下思維策略，尋找一個中間橋梁，以此尋到一條繞過障礙的新途徑.例如，對于已知某些幾何問題中給出直角三角形的斜邊固定不變，而直角頂點時刻在運動變化；或給出幾個點到某一個定點的距離相等；或給出一個等腰三角形繞著其中一個角的頂點旋轉(zhuǎn)；亦或給出兩個公用斜邊的直角三角形等問題，我們可以通過構(gòu)造圓，巧妙地利用圓的有關(guān)知識及已學(xué)過的其他數(shù)學(xué)知識把問題解決.在運用構(gòu)造圓的方法解題時，一要明確構(gòu)造的目的，即為什么目的而構(gòu)造，二要弄清楚問題的特點，以便依據(jù)特點，實施構(gòu)造.通過以下幾個具體典例，可以嘗試從中總結(jié)規(guī)律，提高自己運用構(gòu)造圓的方法解決實際問題的能力.下面我初步談一談可以構(gòu)造圓的幾種常見類型：

一、如果遇到直角三角形的斜邊不變，而直角頂點時刻發(fā)生變化的直角三角形，可以構(gòu)造以斜邊為直徑的圓

圖1

典例分析1：（2013武漢）如圖1，已知正方形ABCD中，AB=2，E、F是AD上的動點，且AE=DF，連接CF交BD于點G，連接AG交BE于點H，連接DH，則線段DH長度的最小值是___________.

【分析與解答】可以證明△AEB△DFC，所以∠ABE=∠DCF，再證明△ABG△CBG，所以∠BAG=∠BCG，得到∠BAG+∠ABE=∠BCG+∠DCF=90°，即∠AHB=90°，也就是說，△ABH是斜邊AB固定不變，但直角頂點H時刻發(fā)生變化的直角三角形，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，構(gòu)造以AB為直徑的圓O，則點H始終在⊙O上運動.要使DH最小，則連接OD，交⊙O于H，那么點H就是所求的點.

因為四邊形ABCD是正方形，AB=2，所以AD=2，OA=OB=1.

評析：經(jīng)分析可得∠AHB=90°，△ABH是直角三角形，而斜邊AB始終不變，直角頂點H發(fā)生變化，所以可以構(gòu)造以AB為直徑的圓.

圖2

二、如果遇到一動點到定點的距離始終相等，那么可以構(gòu)造以定點為圓心、以動點到定點的距離為半徑的圓

圖3

典例分析2：如圖3，菱形ABCD的邊AB=8，∠B=60°，點P是AB上一點，BP=3，點Q是CD邊上一動點，將四邊形APQD（DQ≠AP）沿直線PQ折疊，點A的對應(yīng)點為M，當(dāng)CM的長度最小時，CQ的長為___________.

【分析與解答】解決這個問題的關(guān)鍵是找出折疊后哪個位置使CM最短.由于將四邊形APQD沿直線PQ折疊，點A的對應(yīng)點是M，根據(jù)折疊前后圖形全等，可知AP=MP，點P是定點，點M是動點，但點M到點P的距離始終等于AP的長，所以，以點P為圓心，以AP的長為半徑畫圓，點A的對應(yīng)點M始終在這個圓上.

圖4

由圖4可得，連接PC，交圓P于點M，則此時CM最短.

過點C作CN⊥AB于點N.

由四邊形ABCD為菱形，AB=8，得BC=8.

又BP=3，則NP=1.

在Rt△CNP中，CP=7.

由折疊前后對應(yīng)角相等，得∠APQ=∠MPQ.

由CD∥AB，得∠APQ=∠PQC，則∠MPQ=∠PQC，則CQ=PC，則當(dāng)CM的長度最小時，CQ的長為7.

評析：由于本題中的點P固定，點A與點P之間的距離是一個定值，根據(jù)題意將四邊形APQD沿著直線PQ折疊，不管怎樣折疊，點A折疊后的對應(yīng)點M到點P的距離始終等于線段AP的長.所以通過構(gòu)造以點P為圓心、以AP為半徑的圓，結(jié)合圓外一點到圓上最短距離問題的解法就是連接該點和圓心，與圓的交點就是使該點到圓的距離最短的點，從而巧妙地找出點A沿直線AP翻折后的對應(yīng)點，進而把問題解決.

三、如果遇到將一個等腰三角形繞其中一個角的頂點旋轉(zhuǎn)，可以構(gòu)造以頂角的頂點為圓心、以腰長為半徑的圓，或構(gòu)造以頂角的頂點為圓心、以底邊上的高為半徑的圓，或構(gòu)造以底角的頂點為圓心、以腰長為半徑的圓

圖5

典例分析3：如圖5，點O為正方形ABCD的中心，點G是OA的中點，△EGF是等腰直角三角形，H是EF的中點，∠EGF=90°，AB=2，GE=2，△EGF繞點G按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，則旋轉(zhuǎn)過程中BH的取值范圍是___________.

【分析與解答】由于△EGF是等腰三角形，所以以點G為圓心、以EG為半徑畫圓，則點E、F在這個圓上，并且EF是圓的一條弦，H是弦EF的中點.又因為△EGF是腰長為2的等腰直角三角形，連接GH，則GH的長也是一個定值，所以以點G為圓心、以GH的長為半徑作圓，很顯然，BH的最小值和最大值在直線BG與小圓的交點處取得.如圖6，BH1最小，BH2最大.

則BH1=-，BH2=+.

圖6

評析：本題中通過旋轉(zhuǎn)等腰△GEF，可以發(fā)現(xiàn)EF的中點H到點G的距離是一個定值，所以通過構(gòu)造以點G為圓心、以GH為半徑的圓，進而轉(zhuǎn)化成求圓外一點到圓上的點的最小距離問題，然后連接BG與圓交于點H，從而確定了圖形的具體位置，再結(jié)合題中的條件，運用已學(xué)過的數(shù)學(xué)知識加以解決.

四、如果遇到兩個有公共斜邊的直角三角形，可以構(gòu)造以斜邊為直徑的圓

圖7

圖8

典例分析4：如圖7，正方形ABCD的邊長為6，點O是對角線AC、BD的交點，點E在CD上，且DE=2CE，連接BE，過點C作CF⊥BE，垂足為點F，連接OF，則OF的長為___________.

【分析與解答】因為四邊形ABCD是正方形，所以∠BOC=90°.

由CF⊥BE，得∠BFC=90°，△BOC和△BFC是有公共斜邊BC的直角三角形.

很顯然，以BC為直徑的圓經(jīng)過點O、F.

由DE=2CE，CD=6，得CE=2，DE=4.

過點M作MN⊥BC于點N.

評析：本題通過構(gòu)造以BC為直徑的圓，得到O、F、B、C四點在同一個圓上.根據(jù)圓的有關(guān)性質(zhì)，觀察發(fā)現(xiàn)△OFM△BCM，下面的關(guān)鍵是求出OM和BM的長，利用相似三角形的性質(zhì)可以求出OF的長.

總之，構(gòu)造圓的方法體現(xiàn)了數(shù)學(xué)發(fā)散思維的特點，它能夠使數(shù)學(xué)問題的解題方法打破常規(guī)、另辟蹊徑、巧妙獲解，但是“構(gòu)造圓”并不是胡思亂想，而是要以牢固掌握的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識為前提，要以所具備的較強的綜合能力為基礎(chǔ)，要以敏銳的觀察能力為先導(dǎo)，要以良好的分析能力為利器，通過認(rèn)真、仔細地觀察圖形，思考問題，分析圖形與問題之間的關(guān)系，去發(fā)現(xiàn)問題的各個環(huán)節(jié)存在的內(nèi)在聯(lián)系，從而為尋求解法創(chuàng)造條件.因此，在遇到幾何問題時，一定要沉著冷靜、認(rèn)真思考，根據(jù)題中的條件，看看是否符合這幾種類型中的某一種類型，然后根據(jù)相應(yīng)的類型構(gòu)造圓，利用已學(xué)過的知識加以解決.