☉湖北省武漢大學(xué)附屬外語學(xué)校 周一敏

☉湖北省武漢市武昌區(qū)教育局教研培訓(xùn)中心 劉 欣

問題驅(qū)動是探究式教學(xué)的重要手段，而探究式教學(xué)是基于核心素養(yǎng)的一種重要教學(xué)方式.以培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)為依據(jù)的教學(xué)設(shè)計，要合理創(chuàng)設(shè)情境，精心設(shè)計問題，啟發(fā)學(xué)生探究，發(fā)展學(xué)生思維，讓學(xué)生在探究的過程中既掌握知識與技能，又感悟知識的本質(zhì)，積累思維和實踐的經(jīng)驗，形成和發(fā)展核心素養(yǎng).章節(jié)復(fù)習(xí)課是課堂教學(xué)中的一種常見課型，在教學(xué)中如何將數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)落實到課堂，重視和加強數(shù)學(xué)思想方法的提煉和滲透，有效提升學(xué)生的思維水平和數(shù)學(xué)素養(yǎng).執(zhí)教者在2018年9月28日“國培計劃”棗陽市送教活動中主講“三角形小結(jié)復(fù)習(xí)”一課，嘗試以問題為主線，以線串珠，驅(qū)動學(xué)生自主探究，構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)，并通過變式拓展，打破思維定式，逐級推進(jìn)深度思考，起到了較好的復(fù)習(xí)效果，獲得了同行的一致好評.現(xiàn)將這節(jié)課的課堂教學(xué)實錄整理如下，與同行交流探討.

一、教學(xué)實錄與點評

1.巧妙設(shè)問，梳理知識

師：本章中我們學(xué)習(xí)了與三角形有關(guān)的線段、角及多邊形的內(nèi)角和等內(nèi)容.同學(xué)們，你能運用所學(xué)知識解決下面幾個問題嗎？

（教師畫圖，提出問題，學(xué)生思考，然后回答）

師：畫一個△ABC，若AB=5，AC=3，則BC的取值范圍是多少？

生1：2＜BC＜8.

師追問：你是怎么得到的呢？

生1：由三角形的三邊關(guān)系可得.三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，所以AB+AC＞BC＞AB-AC.

師：很好！那么，哪個同學(xué)能說說得出“三角形兩邊之和大于第三邊”的依據(jù)？

生2：可以把B、C兩點看成定點，由“兩點之間，線段最短”得到AB+AC＞BC.

師：很好.同理，我們可以得出另外兩個不等式.通過移項，不難得出AB-AC＜BC.

（教師在△ABC中繼續(xù)作圖，提出新問題）

師：過點A作AD⊥BC于點D，作AE交BC于點E，使得∠BAE=∠CAE，取BC的中點F，連接AF.你們能在圖中分別找出△ABC的高、角平分線和中線嗎？

生3：AD是高，AE是角平分線，AF是中線.

師：很好，在研究與三角形有關(guān)的線段時，除了三邊之間的關(guān)系，我們還要能根據(jù)已知條件熟練找出三角形的高、角平分線、中線.

師：在△ABC中，若∠A=80°，∠C=60°，則∠B等于多少度？

生4：∠B等于40°.

師追問：你是怎么求出的呢？

生4：根據(jù)三角形內(nèi)角和等于180°，∠B=180°-80°-60°=40°.

師：這名同學(xué)說三角形的內(nèi)角和等于180°，這個結(jié)論是怎么證明的呢？

（生5上臺演板，作輔助線并說明證明思路，生6補充不同的證法）

師：這兩名同學(xué)在證明“三角形的內(nèi)角和為180°”的過程中，都利用了平行線的性質(zhì)與平角的定義.大家看，我過點A作AH⊥BC，那么∠BAH又是多少度呢？由此可以得出什么結(jié)論？

生7：∠BAH等于50°，可以得到直角三角形兩個銳角互余.

師：如果把邊CB延長，得到△ABC的一個外角∠ABD，則∠ABD的度數(shù)是多少？

生8：∠ABD等于140°.

師追問：你是怎么求出的？

生8：根據(jù)鄰補角的定義可以求出，也可以根據(jù)“三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和”求得.

師：你可以由三角形的內(nèi)角和定理來推出這個結(jié)論嗎？

（生8敘述證明過程，教師補充并加以評價）

師：∠1、∠2、∠3是△ABC的三個外角，（圖略）這三個角的和是多少度？

生9：分別求出三個角，可以得到三個角的和為360°.

師：我們是不是也可以看作三個平角分別減去三角形的三個內(nèi)角求得呢？

師：三角形是最簡單的多邊形，也是認(rèn)識其他圖形的基礎(chǔ)，我們可以利用三角形的內(nèi)角和來研究多邊形的內(nèi)角和.在邊BC外取一點D，連接DA、DC，構(gòu)成一個四邊形，那么這個四邊形ABDC的內(nèi)角和是多少？外角和是多少呢？

生10：這個四邊形的內(nèi)角和為360°，外角和也為360°.

師追問：能由三角形的有關(guān)知識推出嗎？

生10：四邊形ABDC是由兩個三角形△ABC、△BCD組成的，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可以推出四邊形ABDC的內(nèi)角和是360°，從而得到外角和也為360°.

師：五邊形的內(nèi)角和是多少？外角和是多少？n邊形呢？

（學(xué)生思考、回答，教師追問并關(guān)注學(xué)生能否運用自己的語言解釋得到答案的過程）

師：我們發(fā)現(xiàn)，可以由三角形的內(nèi)角、外角類比研究多邊形，得到多邊形的內(nèi)角和、外角和.

點評：教師畫一個△ABC，提出問題，引導(dǎo)學(xué)生運用三角形內(nèi)角和定理解決實際問題，在學(xué)生交流三角形內(nèi)角和定理的不同證明方法的過程中，歸納獲取知識的途徑、方法、思想，調(diào)動學(xué)生深度思考.接著在△ABC的基礎(chǔ)上，繼續(xù)畫圖，提出新的問題，設(shè)計一個個問題串，帶領(lǐng)學(xué)生解決問題，具體、直觀，較好地復(fù)習(xí)了本單元的核心內(nèi)容、主干知識和重要的思想方法.雖是復(fù)習(xí)舊知，但不是舊知識的簡單再現(xiàn).這樣驅(qū)動學(xué)生自主探究，促進(jìn)學(xué)生深入思考，激起了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

2.激發(fā)思維，構(gòu)建體系

師：同學(xué)們，根據(jù)剛才的知識梳理，你能發(fā)現(xiàn)本章主要知識之間的聯(lián)系嗎？你能畫出本章知識結(jié)構(gòu)圖嗎？大家動筆試試，然后小組交流.

（學(xué)生畫知識結(jié)構(gòu)圖，教師巡視并關(guān)注不同層次的學(xué)生，適當(dāng)進(jìn)行提示和指導(dǎo).學(xué)生完成后，小組之間相互交流完善，教師利用“希沃授課助手”展示部分學(xué)生的結(jié)構(gòu)圖）

師：我們來看看這名同學(xué)畫的結(jié)構(gòu)圖.本章主要知識點有哪些？你發(fā)現(xiàn)它們之間有什么聯(lián)系呢？

生11：我覺得本章主要知識點可以分為與三角形有關(guān)的線段和角，其中線段有邊、高、中線、角平分線，角有內(nèi)角和、外角和.

師追問：多邊形的內(nèi)角和、外角和與三角形有什么聯(lián)系呢？

生11：可以通過連接多邊形的對角線，轉(zhuǎn)化為三角形問題，進(jìn)而求解.

師追問：你為什么想到這樣列框架圖呢？有什么作用呢？

生11：我覺得簡潔、明了，可以幫助我熟練運用本章知識解決問題.

師：有沒有同學(xué)和剛才這名同學(xué)思路不一樣呢？可以給大家展示一下.

生12：我畫了一棵樹的形狀，以三角形為主干進(jìn)行發(fā)散，在枝干上有線段和角，然后在小分枝上把所有的概念和定義都寫了出來.

師追問：你覺得這樣畫有什么好處呢？

生12：我把所有的概念、定理都畫出來了，很全面，可以加深印象，不容易忘記.

師：很好！還有同學(xué)有不一樣的想法，想要展示或者補充的嗎？

生13：因為我覺得圖形和符號比文字更簡潔，所以我的框架圖都是用圖形或者符號，便于記憶和理解.

師：大家的想法都很好，畫出的框架圖也非常棒！在每一章學(xué)習(xí)結(jié)束后，我們要善于對本章知識進(jìn)行歸納和整理，歸納的方式不唯一，可以用文字，也可以用圖形、符號等，重要的是要形成自己的知識體系，進(jìn)而靈活運用所學(xué)知識解決問題.

（學(xué)生回答，簡要說明自己列框架圖的意圖，教師給予肯定，學(xué)生相互補充完善，師生在黑板上共同完成如下知識結(jié)構(gòu)圖）

圖1

點評：留給學(xué)生充足的時間，讓學(xué)生自主思考、分類歸納，繪制單元知識樹或知識框架圖，并讓學(xué)生交流自己繪制的意圖，解釋繪圖依據(jù)，這樣的交流活動，梳理基礎(chǔ)知識，構(gòu)建整體知識網(wǎng)絡(luò)，引發(fā)學(xué)生深層思維，發(fā)展了數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

3.綜合運用，能力提升

師：下面，我們利用本章知識解決一些綜合問題.已知等腰三角形的兩邊長分別為4和8，則這個三角形的周長是多少？

生14：它的周長是20.

師追問：你是怎么得到的？

生14：因為等腰三角形的兩腰相等，題中已知兩邊長分別為4和8，可以分為兩種情況：4、4、8和4、8、8，但是4+4=8，即4、4、8不符合三角形三邊關(guān)系，所以這個三角形三邊長分別為4、8、8，周長為4+8+8=20.

師追問：很好.這個問題用到了什么知識？需要注意什么問題？

生14：用到了三角形三邊之間的關(guān)系，要注意分情況討論.

師：很好.反之，若等腰三角形的周長為20，一邊長為4，則其他兩邊長是多少？

生15：分情況考慮：若4是腰長，另兩邊分別是4和12，4+4＜12，不符合三角形三邊關(guān)系，故應(yīng)該舍去；若4是底，另兩邊分別是8和8，4+8＞8，符合三角形三邊關(guān)系.所以其他兩邊長均是8.

師：很好，仍然用到了三角形三邊關(guān)系的知識和分類討論的思想.現(xiàn)在把這個問題放到實際情境中：小明用一條長20cm的細(xì)繩圍成了一個等腰三角形，他想使這個三角形的一邊長是另一邊長的2倍，那么這個三角形各邊的長分別是多少？請同學(xué)們寫出解答過程.

（學(xué)生先獨立思考，教師巡視，關(guān)注不同層次的學(xué)生并予以指導(dǎo).接下來，教師利用“希沃授課助手”展示學(xué)生范例，明確所用知識點，強調(diào)解題格式，規(guī)范書寫過程）

師：我們再來看看與三角形的角有關(guān)的問題：如圖2，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線BD、CE相交于點O.若∠ABC=40°，∠ACB=60°，則∠BOC是多少度？說一說你的思路.

生16：∠BOC=130°.因為BD平分∠ABC，所以∠DBC=∠DBA=20°.因為CE平分∠ACB，所以∠BCE=∠ACE=30°.在△OBC中，∠BOC=180°-∠OBC-∠BCO=130°.

師追問：你在解決這個問題的時候，用到了哪些知識？

生16：用到了三角形的內(nèi)角和、角平分線的定義.

師：現(xiàn)在把條件變一下，若∠A=80°，則∠BOC是多少度呢？誰能解決這個問題？

（生17回答，敘述解題思路）

師追問：你又用到了哪些知識？

生17：用到了三角形內(nèi)角和定理、角平分線的知識.

師：這里其實還用到了整體的數(shù)學(xué)思想.當(dāng)∠A為任意角度時，∠BOC和∠A之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？

（學(xué)生獨立思考，然后回答）

圖2

師：其實，用三角形內(nèi)角和定理和角平分線的知識可以解決這樣一類問題，例如：若∠ABC的外角平分線與∠ACB的外角平分線相交于點O，則∠BOC與∠A又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？若∠ABC的平分線與∠ACB的外角平分線相交于點O，則∠BOC與∠A又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？同學(xué)們可以進(jìn)一步探究.

點評：在原有問題的基礎(chǔ)上，進(jìn)行變式化的問題設(shè)計，既激發(fā)了學(xué)生對問題的探究興趣，又打破了學(xué)生的思維定式，增強應(yīng)變能力.兩個例題的變式拓展，層層推進(jìn)，引導(dǎo)學(xué)生在不同背景、不同層次的問題中逐步把握問題的本質(zhì)，達(dá)到舉一反三、觸類旁通的效果，培養(yǎng)了學(xué)生的邏輯推理能力.

二、評析

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：“動手實踐、自主探究與合作交流是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動應(yīng)當(dāng)是一個生動活波的、主動的和富有個性的過程.”本節(jié)課設(shè)計嚴(yán)謹(jǐn)，過程流暢，問題的提出與解決環(huán)環(huán)相扣，數(shù)學(xué)活動的開展井然有序，較好地體現(xiàn)了新課程的教學(xué)特點.課堂中充分體現(xiàn)了學(xué)生的主體地位，教師只是學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者、合作者，學(xué)生在解決問題的過程中，體驗了構(gòu)建知識體系的過程，探尋了解決問題的方法，經(jīng)歷了展示交流的成功喜悅.

1.以“問題驅(qū)動”為主線

本節(jié)課教學(xué)中，從一個基本圖形三角形出發(fā)，添加線段構(gòu)成新的圖形，精心設(shè)計一系列問題，將要復(fù)習(xí)的核心知識隱含于問題中，然后引導(dǎo)學(xué)生一個個逐步解決，在解決問題的過程中，讓學(xué)生腦子里形成知識網(wǎng)絡(luò)，從而自主構(gòu)建知識框架圖，并在此基礎(chǔ)上將問題拓展延伸，讓學(xué)生在解決綜合問題中，發(fā)展思維，提升能力.教學(xué)活動圍繞“問題驅(qū)動—構(gòu)建體系—應(yīng)用探究—歸納總結(jié)”幾個環(huán)節(jié)展開，把教學(xué)內(nèi)容轉(zhuǎn)化為問題，并以問題為線索，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)了和諧的、自主探究的課堂學(xué)習(xí)環(huán)境，問題層層推進(jìn)，滿足了不同發(fā)展?jié)撃軐W(xué)生的學(xué)習(xí)需求.

2.以“展示生成”為方法

在進(jìn)行知識梳理和構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)圖的過程中，組織學(xué)生交流展示，教師留給學(xué)生充足的時間，給學(xué)生提供了更多的合作與交流的機(jī)會，讓每個學(xué)生都積極參與到學(xué)習(xí)中來，都有自由表達(dá)的機(jī)會.課堂中教師的很多追問是根據(jù)學(xué)生的回答即時生成的，學(xué)生的回答也展示了每個學(xué)生思維的敏捷和智慧.這樣的課堂教學(xué)組織讓學(xué)生的學(xué)習(xí)從“被動式、接收式”變成“自主式、合作式、探究式”，培養(yǎng)了學(xué)生“在探究知識發(fā)生、發(fā)展過程中學(xué)習(xí)知識”的學(xué)習(xí)習(xí)慣，讓學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)、學(xué)會思考、學(xué)會探究、學(xué)會建構(gòu)，讓學(xué)生在交流、表達(dá)、展示中獲得了成功體驗，激發(fā)了學(xué)生的深度思考，在具體的數(shù)學(xué)活動情境中，學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)自然生成.

3.以“發(fā)展素養(yǎng)”為核心

數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中逐步形成的綜合能力，它基于知識和技能，但高于數(shù)學(xué)知識和技能.要使學(xué)生在真實的情境里，通過自主學(xué)習(xí)、合作學(xué)習(xí)和研究性學(xué)習(xí)，主動進(jìn)行知識建構(gòu)，逐步建立認(rèn)識、理解、解決問題的思想方法和策略，形成核心素養(yǎng).教學(xué)中教師從學(xué)生現(xiàn)實生活的經(jīng)歷和體驗出發(fā)，讓學(xué)生經(jīng)歷“發(fā)現(xiàn)問題—解決問題—提出問題—解決新問題”的學(xué)習(xí)過程，整理本章知識，思考知識之間的聯(lián)系，形成知識體系，體會研究幾何問題的一般思路和方法，從而能夠有條理地思考、解決問題，能夠在較復(fù)雜的問題情境中運用所學(xué)圖形的性質(zhì)解決問題，發(fā)展了邏輯推理能力.課中基于數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的問題設(shè)計，課堂教學(xué)中充分體現(xiàn)學(xué)生主體地位的展示平臺，實現(xiàn)了師生互動、生生互動，在一系列具體的數(shù)學(xué)活動中，體現(xiàn)了以“發(fā)展素養(yǎng)”為核心的宗旨，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)在學(xué)習(xí)中得以充分發(fā)展.