☉江蘇省無(wú)錫市塔影中學(xué) 胡 吉

數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析.深度學(xué)習(xí)的目的導(dǎo)向?qū)⒔處熡蛇^(guò)分注重學(xué)生成績(jī)轉(zhuǎn)向“思維思辨”的能力培養(yǎng)，課堂復(fù)習(xí)的形式也應(yīng)當(dāng)由機(jī)械訓(xùn)練轉(zhuǎn)向多向思維.成功的課堂不僅要求學(xué)生能解決問(wèn)題，也要善于發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題；課時(shí)的設(shè)置要堅(jiān)持問(wèn)題導(dǎo)向，精選能激發(fā)學(xué)生探究欲望的、易錯(cuò)的、有代表性的例題，這樣將有利于激發(fā)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，形成有積極思維的課堂

一、理論簡(jiǎn)介

基于《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》，有人提出了數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析，共六項(xiàng)三大類；其中能展示數(shù)學(xué)一般特性的是數(shù)學(xué)抽象與直觀想象，而數(shù)學(xué)運(yùn)算與邏輯推理則強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，能體現(xiàn)數(shù)學(xué)的實(shí)用性的便是數(shù)據(jù)分析與數(shù)學(xué)建模.一直以來(lái)廣大教師一直試圖通過(guò)構(gòu)建思維課堂來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，從而促使學(xué)生深度學(xué)習(xí)，而數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的提出，無(wú)疑為這一目標(biāo)起到了導(dǎo)向的作用.下面筆者以一節(jié)“一元二次方程”復(fù)習(xí)課為例，探討如何基于核心素養(yǎng)設(shè)計(jì)復(fù)習(xí)課，從而促使學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展.

二、教學(xué)設(shè)計(jì)

1.梳理舊知，構(gòu)建思維導(dǎo)圖

師生活動(dòng)：提前布置，讓學(xué)生在課前對(duì)整章節(jié)的知識(shí)進(jìn)行梳理，然后在教師的引導(dǎo)下通過(guò)小組合作的方式構(gòu)建基于一元二次方程知識(shí)點(diǎn)的脈絡(luò)體系的思維導(dǎo)圖.

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生回歸教材，重溫知識(shí)點(diǎn).通過(guò)制作思維導(dǎo)圖的方式將整個(gè)知識(shí)體系串聯(lián)起來(lái).通過(guò)師生互動(dòng)、小組互助的方式讓學(xué)生在相對(duì)輕松的環(huán)境中提高參與度，對(duì)后進(jìn)生而言，盡管這件事并非由其主導(dǎo)，但由于參與整個(gè)過(guò)程，印象也會(huì)比較深刻，為本節(jié)課接下來(lái)的教學(xué)做好鋪墊.

2.精講精練，提高方法

問(wèn)題1：用適當(dāng)?shù)姆椒ń庖韵路匠蹋?/p>

師生活動(dòng)：讓學(xué)生上黑板演示.其中對(duì)于第（1）題，學(xué)生選擇了直接開平方法，對(duì)于第（2）題，學(xué)生選擇了配方法，對(duì)于第（3）題，學(xué)生使用了公式法.以上3題多數(shù)學(xué)生方法類似.然而在第（4）題的處理上產(chǎn)生了分歧，最初上來(lái)演示的學(xué)生直接在兩邊同時(shí)除以，然后由計(jì)算得到x=6，隨后立即有學(xué)生指出少了一個(gè)根，指出錯(cuò)誤的學(xué)生選擇的方式是兩邊直接展開，通過(guò)同類項(xiàng)的合并得到x2+9x-90=0，隨后通過(guò)十字相乘法獲得結(jié)果為x=6或x=-15.又有學(xué)生提出可采用換元法用y替代，然后通過(guò)移項(xiàng)并提取公因式的方法，能使原本復(fù)雜的運(yùn)算更加簡(jiǎn)化.

圖1

在這一過(guò)程中，教師通過(guò)學(xué)生操作可總結(jié)：缺一次項(xiàng)的一元二次方程宜采用直接開平方法；二次項(xiàng)系數(shù)為1、一次項(xiàng)系數(shù)為2的倍數(shù)的易于配方，使用配方法較為簡(jiǎn)便；系數(shù)中含無(wú)理數(shù)，使用其他方法沒(méi)有優(yōu)勢(shì)的，宜考慮公式法，當(dāng)然用公式法計(jì)算應(yīng)先驗(yàn)證b2-4ac是否為非負(fù)數(shù)，再考慮進(jìn)一步計(jì)算.在第（4）題的解答中，對(duì)于第1名學(xué)生因錯(cuò)誤導(dǎo)致的失根情況，應(yīng)及時(shí)分析產(chǎn)生的原因，避免下次再犯類似的錯(cuò)誤；第2名學(xué)生的方法盡管運(yùn)算量較大，但在很多情況下也被使用到；顯然第3名學(xué)生的方法是最簡(jiǎn)單、易操作的.這就為學(xué)生思維的發(fā)散留下了空間，應(yīng)提倡一題多解.

設(shè)計(jì)意圖：設(shè)置各種題型，通過(guò)計(jì)算，讓學(xué)生能感受一元二次方程各種解法的不同，同時(shí)通過(guò)不同解法產(chǎn)生思維碰撞，讓學(xué)生切實(shí)體會(huì)用什么方法更合適，這樣也有助于學(xué)生思維的發(fā)展.

問(wèn)題2：當(dāng)a為何值時(shí)，關(guān)于x的方程（m-1）x|m|+1+3x+9=0為一元二次方程？

師生活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生回顧一元二次中“元”和“次”的基本要求，對(duì)照思維導(dǎo)圖中一元二次方程的一般形式，根據(jù)學(xué)生的回答板書：最高次項(xiàng)必須是二次，最高次項(xiàng)的系數(shù)不得為0.

設(shè)計(jì)意圖：強(qiáng)調(diào)一元二次方程的定義，對(duì)于概念、定義，不能簡(jiǎn)單機(jī)械地停留在表面的記憶，而應(yīng)當(dāng)結(jié)合練習(xí)掌握其實(shí)質(zhì)，做到學(xué)以致用.同時(shí)為問(wèn)題4的設(shè)置埋下伏筆.

問(wèn)題3：不解方程，判別下列方程根的數(shù)量：

師生活動(dòng)：本題由學(xué)生自發(fā)舉手口答完成.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)一個(gè)基礎(chǔ)題型讓學(xué)生回顧并練習(xí)如何使用根的判別式來(lái)判斷方程根的三種情況.

問(wèn)題4：已知關(guān)于x的方程3kx2+12x+k=-1有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，且k＞0，求k的值并解這個(gè)方程.

師生活動(dòng)：本次由學(xué)生板演完成，教師應(yīng)提示學(xué)生注意此處求k的值時(shí)不應(yīng)遺漏k＞0這個(gè)條件，且求完k的值后應(yīng)進(jìn)一步解出方程.

設(shè)計(jì)意圖：此題意圖引導(dǎo)學(xué)生逆向思考根的判別式的有關(guān)問(wèn)題，即在有字母系數(shù)的前提下如何根據(jù)方程根的情況確定參數(shù)的范圍，為下面的追問(wèn)做鋪墊.

追問(wèn)：你能解決好下面這個(gè)問(wèn)題嗎？

已知關(guān)于x的方程（k-2）2x2+（2k+1）x+1=0有實(shí)數(shù)根，求k的取值范圍.

師生活動(dòng)：很快有學(xué)生上黑板板演：（2k+1）2-4（k-2）2≥0，解得k≥.剛寫完，立刻有學(xué)生說(shuō)：“不對(duì)！”作為一個(gè)一元二次方程，首先要考慮保證二次項(xiàng)的存在，所以二次項(xiàng)系數(shù)不為0；其次得到一元二次方程要有實(shí)數(shù)根，故根的判別式Δ=b2-4ac≥0，因此解題如下：

其實(shí)此題的答題關(guān)鍵詞在于實(shí)數(shù)根和方程，從形式上看會(huì)讓人認(rèn)為這是一個(gè)一元二次方程，所以，多數(shù)學(xué)生得到上述相同的結(jié)果，并認(rèn)為完全正確.但若仔細(xì)審題，會(huì)發(fā)現(xiàn)此處的描述是方程，而方程是可以有多種形式的，除去次數(shù)的限制，此處即使（k-2）2=0使方程不含二次項(xiàng)，但之后得到的5x+1=0依然滿足了是方程這個(gè)條件，因此k=2時(shí)依然符合題意.綜合上述，最終k的取值范圍為

設(shè)計(jì)意圖：在上題的基礎(chǔ)上，此題的設(shè)置意在考查學(xué)生思維的嚴(yán)密性，對(duì)于一元二次方程，在任何時(shí)候都要考慮其根本的定義需要保證其最高次項(xiàng)為二次；而細(xì)心閱讀、正確審題應(yīng)是學(xué)生閱讀素養(yǎng)的基本要求，此處審清題意，畫出關(guān)鍵詞后，將眼光從一元二次方程的局限性上解放出來(lái)，強(qiáng)化知識(shí)結(jié)構(gòu)拓補(bǔ)，提高思維的廣泛性.

問(wèn)題5：在以下關(guān)于x的一元二次方程中，求

師生活動(dòng)：對(duì)于這兩個(gè)題目，學(xué)生使用了不同的解法，第（1）題學(xué)生使用十字相乘法求出x1=3，x2=-1，然后將x1和x2代入求值；第（2）題學(xué)生使用根與系數(shù)的關(guān)系求x1+x2和x1x2，然后用進(jìn)行相關(guān)計(jì)算.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)實(shí)際題型的對(duì)比，讓學(xué)生感受當(dāng)一元二次方程兩根結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜的情況下用與x1和x2相關(guān)的代數(shù)式求值的便捷性.

問(wèn)題6：若關(guān)于x的一元二次方程x2+4x+a=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1和x2，其中兩根分別滿足以下條件，求a.

師生活動(dòng)：對(duì)于（1），很多學(xué)生單純考慮了x1+x2=-4，x1x2=a，得到a=-3.對(duì)于（2），也有學(xué)生采用了此種方式，結(jié)果求出a=±5.可引導(dǎo)學(xué)生將a=5代入原方程，發(fā)現(xiàn)原方程無(wú)解.此時(shí)讓學(xué)生探討這種情況產(chǎn)生的原因是忽略了兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根這一條件，因此需添加Δ＞0，得a＜4，則a只能取-5.

根據(jù)目前學(xué)界的討論成果，體育賽事轉(zhuǎn)播權(quán)并不是一個(gè)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)姆筛拍睿粚W(xué)者們也并沒(méi)有就它的內(nèi)涵外延達(dá)成共識(shí)。

設(shè)計(jì)意圖：（1）的題型設(shè)置極易讓學(xué)生忽略兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根這一條件，因?yàn)榇祟}中用不到.因此若在此追加（2），可使學(xué)生體會(huì)到在運(yùn)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系時(shí)，不能忽視其產(chǎn)生的前提條件是原方程有實(shí)數(shù)根，也就是必須考慮根的判別式，能對(duì)單個(gè)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行遷移和延伸，從而提高學(xué)生思維的嚴(yán)密性.

追問(wèn)：若關(guān)于x的方程x2+4x+a=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根都小于1，你還能求實(shí)數(shù)a的取值范圍嗎？

師生活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，實(shí)數(shù)根與1的大小比較通常可由作差來(lái)體現(xiàn)，當(dāng)然也不能忽略了實(shí)數(shù)根產(chǎn)生的前提條件.

解：設(shè)原方程的兩個(gè)根為x1、x2.

則x1+x2=-4，x1x2=a.

由題意得x1＜1，x2＜1.

設(shè)計(jì)思路：以上三題考查了利用根與系數(shù)的關(guān)系求字母的范圍，由淺入深，雖然解題的切入點(diǎn)略有不同，但是其共同的規(guī)律就是在利用根與系數(shù)的關(guān)系確定字母的取值范圍時(shí)，必須同時(shí)考慮根的判別式，也就是字母的取值能否使原式產(chǎn)生符合要求的實(shí)數(shù)根，通過(guò)三題的歸類和思考，促使學(xué)生總結(jié)出這類題的解題方法.

三、教學(xué)反思

1.堅(jiān)持興趣導(dǎo)向，精心安排過(guò)程，提高學(xué)習(xí)效率

學(xué)生的學(xué)習(xí)不能僅僅依靠壓力迫使其被動(dòng)學(xué)習(xí).學(xué)生能力特別是創(chuàng)新能力的提高及數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)，更多的應(yīng)該通過(guò)興趣激發(fā).興趣能激發(fā)學(xué)生潛在的求知和探究的欲望，從而成為思維和能力發(fā)展內(nèi)在的動(dòng)力.因此，教師在安排復(fù)習(xí)課內(nèi)容時(shí)，應(yīng)當(dāng)精心挑選學(xué)生可能感興趣的內(nèi)容，問(wèn)題的設(shè)置需要有導(dǎo)向性，盡可能精確制導(dǎo)，安排那些讓學(xué)生覺(jué)得有價(jià)值的題目，讓學(xué)生覺(jué)得有興趣并愿意花時(shí)間去掌握的內(nèi)容.

對(duì)于學(xué)生而言，公式只是公式，如果僅僅只是強(qiáng)調(diào)這個(gè)公式是什么、這個(gè)定理怎么用是不夠的.應(yīng)該跟他們探索定理、公式是怎么來(lái)的，怎么會(huì)探索到這個(gè)結(jié)果，在什么情況下這個(gè)定理是有用的，能解決什么問(wèn)題，順著怎樣的思路我會(huì)探索到這一步，這其中是怎么去思考的.這樣的引導(dǎo)方式能讓學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)的目的更加明確，學(xué)以致用也不會(huì)僅僅停留在口頭階段.

2.巧用學(xué)科思維導(dǎo)圖，加強(qiáng)概念間的邏輯關(guān)系，圖形化理解知識(shí)結(jié)構(gòu)

數(shù)學(xué)本身需要經(jīng)歷一個(gè)從直觀到抽象的過(guò)程，但如果能使抽象的東西以一種圖形化方式直觀呈現(xiàn)，那么學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)的效果將顯著提升.相對(duì)于枯燥無(wú)味的文字概念，按學(xué)科本身的結(jié)構(gòu)、規(guī)律、特點(diǎn)來(lái)繪制的學(xué)科思維導(dǎo)圖能使概念與概念之間的邏輯關(guān)系通過(guò)可視化的方式展示出來(lái)，無(wú)論是接受新知識(shí)還是復(fù)習(xí)舊知識(shí)，都能使學(xué)生對(duì)當(dāng)前內(nèi)容和知識(shí)的掌握程度顯著地改善和優(yōu)化.

在階段性復(fù)習(xí)的時(shí)候，教師可以引導(dǎo)學(xué)生在大致了解整個(gè)單元的知識(shí)結(jié)構(gòu)之后，通過(guò)解析數(shù)學(xué)概念之間的縱橫關(guān)系、要素間的聯(lián)系，厘清思路，畫出思維導(dǎo)圖框架.然后進(jìn)一步細(xì)分思維導(dǎo)圖，將其所包含的多個(gè)過(guò)程不斷細(xì)化，并做好明確的標(biāo)注，通過(guò)導(dǎo)向性提問(wèn)來(lái)幫助學(xué)生回顧相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)，讓學(xué)生通過(guò)相互討論、互相補(bǔ)充的合作方式，將松散的知識(shí)點(diǎn)串聯(lián)起來(lái)，構(gòu)建出完整的知識(shí)脈絡(luò)體系.這樣的方式將有助于提高學(xué)生的邏輯思維能力，起到加深理解的效果，復(fù)習(xí)的效率便能大大提升.課后可以通過(guò)布置將根據(jù)本課相關(guān)內(nèi)容制成的思維導(dǎo)圖與所講例題進(jìn)行對(duì)應(yīng)關(guān)聯(lián)，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)課堂進(jìn)行回顧，進(jìn)一步完善思維導(dǎo)圖.

3.加強(qiáng)針對(duì)性，提高層次性，培養(yǎng)“歸類建模”能力

核心素養(yǎng)中包含的重要內(nèi)容之一便是數(shù)學(xué)建模的能力.所謂建模，其要求是在提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的過(guò)程中能利用數(shù)學(xué)的方法和思維得到一個(gè)大致的模型，并在使用過(guò)程中通過(guò)不斷改進(jìn)來(lái)持續(xù)優(yōu)化這個(gè)模型，從而能得到一種符合學(xué)生思維和解題規(guī)律的程序.

在復(fù)習(xí)過(guò)程中，我們應(yīng)當(dāng)根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)和學(xué)情的實(shí)證分析，通過(guò)類似題、可變題型的對(duì)比，引導(dǎo)學(xué)生從不同角度分析問(wèn)題，從類比到歸納，在實(shí)踐中總結(jié)帶有規(guī)律性的解題思路和操作方法，并在教師引導(dǎo)下歸類建立數(shù)學(xué)模型，達(dá)到以不變應(yīng)萬(wàn)變，實(shí)現(xiàn)對(duì)知識(shí)點(diǎn)深層次的理解，從而提升學(xué)生的歸類建模能力.

4.提倡深度學(xué)習(xí)，鼓勵(lì)質(zhì)疑探究，多向發(fā)散思維

深度學(xué)習(xí)的目的導(dǎo)向?qū)⒔處熡蛇^(guò)分注重學(xué)生成績(jī)轉(zhuǎn)向“思維思辨”的能力培養(yǎng)，課堂復(fù)習(xí)的形式也應(yīng)當(dāng)由機(jī)械訓(xùn)練轉(zhuǎn)向多向思維.成功的課堂不僅要求學(xué)生能解決問(wèn)題，也要善于發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題.課時(shí)的設(shè)置要堅(jiān)持問(wèn)題導(dǎo)向，精選能激發(fā)學(xué)生探究欲望的、易錯(cuò)的、有代表性的例題，這樣將有利于激發(fā)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，形成有積極思維的課堂.教師還要鼓勵(lì)學(xué)生在充分思考的基礎(chǔ)上提出自己的觀點(diǎn)，對(duì)于問(wèn)題要善于探究、敢于質(zhì)疑、勇于自我展現(xiàn).在此過(guò)程中，教師也要及時(shí)抓住契機(jī)，對(duì)學(xué)生給予充分肯定，不要吝惜自己的贊賞，讓學(xué)生能從探究的快樂(lè)中感受快樂(lè)和自我價(jià)值.通過(guò)“質(zhì)疑”讓學(xué)生明確問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，通過(guò)“探究”讓學(xué)生在過(guò)程中通過(guò)多向考慮掌握相應(yīng)的方法，促進(jìn)自己綜合素養(yǎng)和解題能力的提高，從而實(shí)現(xiàn)課堂教學(xué)的有效性.

四、結(jié)束語(yǔ)

核心素養(yǎng)導(dǎo)向的復(fù)習(xí)課，最終的關(guān)鍵并不在于教學(xué)內(nèi)容的完成，而是通過(guò)本課的復(fù)習(xí)，學(xué)生掌握了什么，養(yǎng)成了什么，發(fā)展了什么.若通過(guò)本課的學(xué)習(xí)，能夠促使學(xué)生深度思考，構(gòu)筑起與本課內(nèi)容相關(guān)的知識(shí)脈絡(luò)、養(yǎng)成更好的學(xué)習(xí)習(xí)慣、掌握更多方法、發(fā)展更好的學(xué)科適應(yīng)能力，并將其內(nèi)化為與課程目標(biāo)相符的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，那么這樣的課堂便是有效的思維課堂.