伍彬藝， 秦現(xiàn)生， 張順琦, 王戰(zhàn)璽, 白 晶, 李 靖

(1.西北工業(yè)大學(xué) 機(jī)電學(xué)院, 西安 710072; 2.上海大學(xué) 機(jī)電工程與自動(dòng)化學(xué)院, 上海 200444)

振動(dòng)會(huì)降低結(jié)構(gòu)系統(tǒng)精度,有時(shí)會(huì)導(dǎo)致結(jié)構(gòu)出現(xiàn)嚴(yán)重?fù)p傷,造成災(zāi)難性事故[1-2]。擾動(dòng)是導(dǎo)致系統(tǒng)振動(dòng)的主要因素,如果擾動(dòng)信息已知，可通過采用合適的反饋控制器對(duì)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的振動(dòng)進(jìn)行有效的抑制[3]。但是在很多實(shí)際工程應(yīng)用中,作用在結(jié)構(gòu)上的擾動(dòng)由于受工作環(huán)境的限制很難被直接測(cè)量[4-5]。因此,對(duì)振動(dòng)系統(tǒng)的外部未知擾動(dòng)進(jìn)行準(zhǔn)確估計(jì)具有十分重要的理論意義和應(yīng)用前景。

擾動(dòng)力估計(jì)屬于載荷識(shí)別的范疇,目前有兩種主要的方法，即頻域法和時(shí)域法。在載荷識(shí)別的頻域法方面,Barlett等[6]在頻域內(nèi)用加速度響應(yīng)對(duì)作用在直升機(jī)槳穀中心動(dòng)態(tài)載荷進(jìn)行了識(shí)別,開創(chuàng)了動(dòng)態(tài)載荷識(shí)別的先例。Hillary等[7]通過采用兩個(gè)頻率相同但幅值不同的正弦力作為激振研究了懸臂梁載荷識(shí)別問題,結(jié)果表明測(cè)量噪聲是載荷識(shí)別結(jié)果不佳主要因素。頻域法的研究較早，理論發(fā)展比較成熟,但也存在一些限制，如要求信號(hào)樣本具有一定的長(zhǎng)度和只適合靜態(tài)及平穩(wěn)載荷。

與頻域法相比,時(shí)域法可對(duì)包括沖擊載荷在內(nèi)的各類非平穩(wěn)動(dòng)態(tài)載荷進(jìn)行識(shí)別，識(shí)別結(jié)果有明確的物理意義,具有廣闊的工程應(yīng)用前景。Desanghere等[8]將模態(tài)坐標(biāo)變換方法引入到動(dòng)態(tài)載荷識(shí)別過程,建立了動(dòng)態(tài)載荷識(shí)別的時(shí)域方法。Ory等[9]提出了離散系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)載荷識(shí)別方法,并對(duì)飛行器所受的飛行載荷進(jìn)行了識(shí)別。但上述各種方法都要求測(cè)量點(diǎn)的數(shù)目不小于模態(tài)數(shù)，這在許多實(shí)際應(yīng)用中很難實(shí)現(xiàn)。為了解決這個(gè)問題，Müller[10]提出了一種比例積分(Proportional Integral, PI)觀測(cè)器來估計(jì)振動(dòng)系統(tǒng)的未知擾動(dòng)(為區(qū)分本文方法，該方法簡(jiǎn)稱為PI-Müller),該比例積分觀測(cè)器只要求測(cè)量點(diǎn)的數(shù)量不少于未知的擾動(dòng)數(shù)量。

壓電智能結(jié)構(gòu)是將壓電材料集成到基本結(jié)構(gòu)中組成的一種主動(dòng)智能結(jié)構(gòu)。這種結(jié)構(gòu)同時(shí)具有傳感和驅(qū)動(dòng)功能,具備良好的機(jī)電耦合性能,在結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制中有著廣泛的應(yīng)用前景[11]。Zhang等[12-13]在普通PI觀測(cè)器基礎(chǔ)上提出了更加通用的比例積分(Generalized Proportional-Integral，GPI)觀測(cè)器，實(shí)現(xiàn)高階頻率未知擾動(dòng)的預(yù)測(cè)，并對(duì)壓電層合薄壁結(jié)構(gòu)振動(dòng)進(jìn)行了有效地抑制。

測(cè)量噪聲在工程使用中是實(shí)際存在的,且無法得到完全抑制,對(duì)擾動(dòng)估計(jì)系統(tǒng)的性能有較大的影響。上述研究包括PI，GPI觀測(cè)器在內(nèi)的大多數(shù)擾動(dòng)估計(jì)方法都沒有考慮測(cè)量噪聲的影響，這限制了其應(yīng)用前景。為此,在傳統(tǒng)PI觀測(cè)器的基礎(chǔ)上，本文提出了一種采用卡爾曼濾波器的擾動(dòng)估計(jì)方法(PI-Kalman)。該方法以分布式壓電智能結(jié)構(gòu)為研究對(duì)像，實(shí)現(xiàn)未知?jiǎng)討B(tài)載荷的估計(jì)。仿真結(jié)果表明在考慮測(cè)量噪聲的情況下，與傳統(tǒng)PI觀測(cè)器相比，該擾動(dòng)估計(jì)方法具有更好的估計(jì)性能。

1 壓電智能結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)模型

通過應(yīng)用有限元方法和哈密頓原理，能夠得到壓電智能結(jié)構(gòu)的機(jī)電耦合動(dòng)力學(xué)模型[14]。

(1)

Kφuq+Kφφφs=0

(2)

式中：Muu,Cuu,Kuu,Kuφ,Kφu和Kφφ分別為質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣、壓電耦合剛度矩陣、耦合容量矩陣和壓電容量矩陣；另外，q,Fue,φa,φs分別為節(jié)點(diǎn)的位移向量、外部力向量、執(zhí)行器控制電壓向量和傳感器輸出電壓向量。

一般的有限元模型通常有幾百個(gè)自由度, 考慮到高階模態(tài)對(duì)低頻響應(yīng)的影響較小,為了減少計(jì)算時(shí)間，使用截?cái)嗄B(tài)矩陣Sr來降低分析問題的自由度規(guī)模。

(3)

(4)

考慮到擾動(dòng)的影響，智能結(jié)構(gòu)的狀態(tài)空間模型可以表示為

(5)

y=Cx+n

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

2 外部未知擾動(dòng)的估計(jì)

2.1 擾動(dòng)虛擬模型

從理論上講，任何周期性的未知擾動(dòng)都可以用傅里葉級(jí)數(shù)表示

(11)

式中：ω為余弦和正弦基函數(shù)的角頻率。以傅里葉級(jí)數(shù)的有限項(xiàng)作為基函數(shù)向量v(t)，則未知擾動(dòng)可以近似的表示為

f(t)≌Hv(t)

(12)

(13)

式中：H，V分別為擾動(dòng)虛擬模型的輸出矩陣和系統(tǒng)矩陣,它們的值取決于所選取的傅里葉級(jí)數(shù)的項(xiàng)數(shù)。當(dāng)使用階躍函數(shù)作為未知擾動(dòng)的基函數(shù)時(shí),即為比例積分觀測(cè)器,此時(shí)H，V分別為單位陣I和零矩陣0

H=I,V=0

(14)

2.2 擴(kuò)展系統(tǒng)和擴(kuò)展觀測(cè)器系統(tǒng)

(15)

y=Cexe+n

(16)

式中：Ae，Be，Ce分別為擴(kuò)展系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣，控制矩陣和輸出矩陣。

(17)

Ce=[C0]

(18)

根據(jù)經(jīng)典的Luenberger觀測(cè)器結(jié)構(gòu)，擴(kuò)展觀測(cè)器系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型可以表示為

(19)

(20)

2.3 估計(jì)誤差分析

為了確保擴(kuò)展觀測(cè)器系統(tǒng)穩(wěn)定,對(duì)動(dòng)態(tài)模型的估計(jì)誤差進(jìn)行分析

(21)

根據(jù)式(15)和式(19)，可以得到擴(kuò)展系統(tǒng)估計(jì)誤差的系統(tǒng)方程

(22)

估計(jì)誤差的系統(tǒng)特性只與擴(kuò)展系統(tǒng)的系統(tǒng)特性和觀測(cè)器增益有關(guān)。因此，選擇合適的觀測(cè)器增益使性能指標(biāo)函數(shù)J最小就顯得尤為重要

J=limt→∞(exe(t)Texe(t))=min

(23)

2.4 觀測(cè)器增益設(shè)計(jì)

PI-Müller擾動(dòng)估計(jì)方法設(shè)計(jì)的觀測(cè)器是一種理想的觀測(cè)器模型。該方法在設(shè)計(jì)觀測(cè)器增益時(shí)，沒有考慮測(cè)量噪聲的影響，影響了其狀態(tài)觀測(cè)精度和擾動(dòng)估計(jì)性能?？柭鼮V波器在系統(tǒng)特性和測(cè)量噪聲的統(tǒng)計(jì)特性都已知的情況，能夠?qū)崿F(xiàn)最優(yōu)估計(jì)，經(jīng)常被用來通過降低測(cè)量噪聲的影響來估計(jì)系統(tǒng)狀態(tài)變量。針對(duì)PI-Müller擾動(dòng)估計(jì)方法在測(cè)量噪聲不能忽略的應(yīng)用場(chǎng)合下性能受限的情況，本文將PI-Mülle方法和卡爾曼濾波器結(jié)合起來，提出了PI-Kalman方法。該方法在進(jìn)行觀測(cè)器增益設(shè)計(jì)時(shí)，選擇卡爾曼濾波器增益作為觀測(cè)器的增益以實(shí)現(xiàn)對(duì)測(cè)量噪聲的補(bǔ)償。

2.4.1 PI-Müller方法

傳統(tǒng)的PI-Müller方法是一種理想的觀測(cè)器模型，不考慮噪聲的影響，觀測(cè)器的增益L可以表示為

(24)

根據(jù)線性模型的李雅普諾夫穩(wěn)定性判據(jù)，對(duì)于任意的對(duì)稱正定矩陣Q，存在唯一的對(duì)稱矩陣P滿足下列瑞利代數(shù)方程

(25)

(26)

解此標(biāo)準(zhǔn)瑞利方程，可以得到Pk的值, 再根據(jù)式(24)可以得到擴(kuò)展觀測(cè)器系統(tǒng)的增益值。

2.4.2 PI-Kalman方法

當(dāng)傳感器輸出信號(hào)包含測(cè)量噪聲時(shí)，基于卡爾曼濾波的觀測(cè)器增益可以表示為[15]

(27)

式中：RN為測(cè)量噪聲的均方差；P為唯一滿足下列代數(shù)瑞利方程的對(duì)稱正定矩陣。

(28)

同樣，式(28)也可以轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)的代數(shù)瑞利方程。解標(biāo)準(zhǔn)瑞利方程，可以得到Pk的值, 再根據(jù)式(27)可以得到擴(kuò)展觀測(cè)器系統(tǒng)的增益值。此外，通過調(diào)用Matlab中的函數(shù)Kalman函數(shù)也可以得到擴(kuò)展觀測(cè)器系統(tǒng)的增益值。

2.5 擾動(dòng)估計(jì)系統(tǒng)

(29)

(30)

3 擾動(dòng)估計(jì)仿真

使用集成8個(gè)壓電片的懸臂梁(尺寸、結(jié)構(gòu)和布局如圖1所示)進(jìn)行仿真測(cè)試。懸臂梁主結(jié)構(gòu)材料為彈簧鋼，尺寸為425 mm×25 mm×0.8 mm。壓電塊的尺寸為25 mm×25 mm×0.25 mm，圧電片之間的間距相同且都為25 mm，極化方向指向主結(jié)構(gòu)的外法線方向。當(dāng)懸臂梁上的應(yīng)變變化時(shí)，壓電片作為傳感器產(chǎn)生輸出電壓。此外，如果沒有其它說明，外部未知擾動(dòng)作用在懸臂梁的A點(diǎn)。

圖1 懸臂梁尺寸及結(jié)構(gòu)布局Fig.1 The dimension and structure layout of a cantilever beam

將懸臂梁主結(jié)構(gòu)劃分為17個(gè)單元, 每個(gè)單元有8個(gè)節(jié)點(diǎn), 每個(gè)節(jié)點(diǎn)有5個(gè)機(jī)械自由度和一個(gè)電自由度, 建立有限元模型。根據(jù)建立的有限元模型，在Matalb通過程序計(jì)算可以得到相應(yīng)的模態(tài)質(zhì)量矩陣、模態(tài)阻尼矩陣和模態(tài)剛度矩陣，再根據(jù)與狀態(tài)空間模型的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可以得到系統(tǒng)矩陣A、輸入矩陣B、擾動(dòng)影響矩陣N、控制矩陣C。然后,可以使用PI-Müller和PI-Kalman方法來求解觀測(cè)器增益。獲得觀測(cè)器增益后, 利用采集的壓電傳感器輸出信號(hào)作為輸入信號(hào),根據(jù)擾動(dòng)估計(jì)系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程式(29)～式(30),對(duì)外部未知的擾動(dòng)進(jìn)行估計(jì)。為了減少計(jì)算時(shí)間,動(dòng)態(tài)有限元模型只保留前12階模態(tài)。懸臂梁的主結(jié)構(gòu)和圧電片的材料性能參數(shù)見表1。

為了表述方便, 在這里對(duì)幾個(gè)定義進(jìn)行說明。傳感器理想輸出信號(hào)是指不考慮測(cè)量噪聲的傳感器輸出信號(hào)，傳感器實(shí)際輸出信號(hào)是指包含測(cè)量噪聲的傳感器輸出信號(hào)。輸出信號(hào)的信噪比是指?jìng)鞲衅骼硐胼敵鲂盘?hào)與測(cè)量噪聲的功率比。

表1 懸臂梁的材料參數(shù)

3.1 階躍擾動(dòng)

階躍擾動(dòng)信號(hào)幅度為0.1 N，0.25 s時(shí)作用在懸臂梁的A點(diǎn)。在本次仿真中，施加的測(cè)量噪聲為均值和方差為已知的高斯白噪聲。在考慮測(cè)量噪聲的情況下,為了分析PI-Müller方法和PI-Kalman的擾動(dòng)估計(jì)性能,我們使用不同位置的壓電傳感器的輸出信號(hào)進(jìn)行擾動(dòng)估計(jì)。壓電傳感器1、壓電傳感器3、壓電傳感器5、壓電傳感器7的輸出信號(hào)及估計(jì)的擾動(dòng)信號(hào)如圖2～圖5所示。從圖2(a)可知，由于該處測(cè)量位置的彎矩及正應(yīng)力較大，壓電傳感器1實(shí)際輸出信號(hào)相對(duì)理想輸出信號(hào)有較小的幅度起伏，信噪比較大。利用傳感器1的實(shí)際輸出信號(hào)，使用PI-Müller和PI-Kalman估計(jì)的擾動(dòng)信號(hào)如圖2(b)所示。從圖2(b)可知，使用PI-Müller和PI-Kalman估計(jì)的擾動(dòng)，上升時(shí)間都較小，這表明兩種擾動(dòng)估計(jì)方法都具有較好的響應(yīng)速度。但由于PI-Kalman方法考慮了測(cè)量噪聲的影響，與PI-Müller方法相比，使用該方法估計(jì)的擾動(dòng)更為平滑也更接近于實(shí)際的階躍擾動(dòng)。壓電傳感器3的輸出信號(hào)及其估計(jì)的擾動(dòng)信號(hào)如圖3所示。從圖3可知，由于測(cè)量噪聲的影響，傳感器的實(shí)際輸出信號(hào)包含一些毛刺，其信噪比相對(duì)測(cè)量位置1來說有一定的降低，但依然較高。對(duì)比PI-Müller和PI-Kalman估計(jì)的擾動(dòng)信號(hào), 可以發(fā)現(xiàn)PI-Müller估計(jì)的擾動(dòng)信號(hào)幅度起伏較大。這樣的事實(shí)表明，當(dāng)傳感器輸出信號(hào)包含測(cè)量噪聲時(shí)，PI-Kalman擾動(dòng)估計(jì)方法能取得更好的估計(jì)效果。壓電傳感器5的實(shí)際輸出信號(hào)，如圖4(a)所示。受測(cè)量噪聲的影響較大，相對(duì)傳感器1和傳感器3，其信噪比下降的較多。使用壓電傳感器5估計(jì)的擾動(dòng)信號(hào)如圖4(b)所示。從圖4(b)中可知，與PI-Müller估計(jì)的擾動(dòng)信號(hào)相比，PI-Kalman估計(jì)的擾動(dòng)信號(hào)的上升時(shí)間接近，但有更小的超調(diào)量和穩(wěn)態(tài)誤差。壓電傳感器7的輸出信號(hào)及估計(jì)的擾動(dòng)信號(hào)如圖5所示。從圖5可知，由于本測(cè)量位置彎矩和正應(yīng)力小，傳感器理想輸出信號(hào)弱，受測(cè)量噪聲影響最大，其信噪比在4個(gè)測(cè)量位置最小。相對(duì)傳感器1、傳感器3、傳感器5來說，不管是采用PI-Müller方法和PI-Kalman方法，使用傳感器7估計(jì)的擾動(dòng)信號(hào)有更長(zhǎng)的上升時(shí)間，更大的超調(diào)量和穩(wěn)態(tài)誤差。另外，與PI-Müller估計(jì)的擾動(dòng)相比，采用PI-Kalman方法估計(jì)的擾動(dòng)的上升時(shí)間更長(zhǎng)，超調(diào)量和穩(wěn)態(tài)誤差更小。

圖2 使用壓電傳感器1估計(jì)的階躍擾動(dòng)Fig.2 Estimated step disturbances with piezoelectric sensors 1

圖4 使用壓電傳感器5估計(jì)的階躍擾動(dòng)Fig.4 Estimated step disturbances with piezoelectric sensors 5

圖3 使用壓電傳感器3估計(jì)的階躍擾動(dòng)Fig.3 Estimated step disturbances with piezoelectric sensors 3

圖5 使用壓電傳感器7估計(jì)的階躍擾動(dòng)Fig.5 Estimated step disturbances with piezoelectric sensors 7

3.2 諧波擾動(dòng)

為了進(jìn)一步驗(yàn)證PI-Kalman方法對(duì)不同類型的外部擾動(dòng)信號(hào)的估計(jì)性能，我們將諧波擾動(dòng)信號(hào)f(t)=0.1cos 2πt加載在懸臂梁的A點(diǎn)，利用壓電傳感器1的輸出信號(hào)，分別使用PI-Müller方法和PI-Kalman方法對(duì)外部未知擾動(dòng)進(jìn)行估計(jì)。傳感器的輸出信號(hào)和估計(jì)的擾動(dòng)信號(hào)如圖6(a)和圖6(b)所示。從圖6(a)可知，含有測(cè)量噪聲的傳感器實(shí)際輸出信號(hào)和傳感器理想輸出信號(hào)波形相似，但包含更多的毛刺。從圖6(b)可知，PI-Müller和PI-Kalman兩種擾動(dòng)估計(jì)方法估計(jì)的擾動(dòng)與實(shí)際擾動(dòng)相比，波形相似，都存在一定的時(shí)延。但由于PI-Kalman方法考慮了測(cè)量噪聲的影響，與PI-Müller方法相比，使用該方法估計(jì)的擾動(dòng)更為平滑。

(a)傳感器1的輸出信號(hào)

(b)估計(jì)的擾動(dòng)信號(hào)圖6 使用壓電傳感器1估計(jì)的諧波擾動(dòng)Fig.6 Estimated harmonic disturbances with piezoelectric sensors 1

4 結(jié) 論

本文提出了一種基于卡爾曼濾波器的智能結(jié)構(gòu)比例積分?jǐn)_動(dòng)觀測(cè)器，并應(yīng)用于分布式壓電智能結(jié)構(gòu)對(duì)外部未知擾動(dòng)的估計(jì)，通過仿真得出以下結(jié)論：

(1)在測(cè)量噪聲存在的情況下，本文提出的PI-Kalman方法對(duì)外界未知擾動(dòng)具有良好的估計(jì)性能。與傳統(tǒng)PI-Müller方法相比，該方法估計(jì)的擾動(dòng)更加平滑。

(2)測(cè)量位置對(duì)擾動(dòng)估計(jì)質(zhì)量產(chǎn)生了重要影響，選擇理想的位置能得到較好的擾動(dòng)估計(jì)效果。同時(shí)測(cè)量信號(hào)信噪比對(duì)擾動(dòng)的估計(jì)也有較大影響。