鄭 棋，肖曼琳，施華杰，陳興杰

(上海工程技術(shù)大學(xué) 城市軌道交通學(xué)院，上海 201600)

0 引言

信源波達(dá)方向估計(jì)是陣列信號(hào)處理領(lǐng)域里的一個(gè)重要分支，基于信號(hào)子空間的超分辨算法以其高精度的角度估計(jì)性能成為研究重點(diǎn)，典型代表是TLS-ESPRIT算法[1-4]。但在相干信源環(huán)境下，因信號(hào)子空間和噪聲子空間不滿足正交性，奇異的信源協(xié)方差矩陣的秩小于信號(hào)源數(shù)，使得該算法失效[5]。

為了解決TLS-ESPRIT算法不能處理相干信源定的問題，文獻(xiàn)[6-8]提出了空間平滑TLS-ESPRIT算法，把ESPRIT算法[9-12]和空間平滑算法[13-16]相結(jié)合，通過構(gòu)造前后向平移旋轉(zhuǎn)矩陣，充分利用每個(gè)陣元構(gòu)造出2個(gè)子陣列，擴(kuò)大陣列的有效孔徑，提高了對(duì)相干信源的估計(jì)精度[17]。為了進(jìn)一步提高TLS-ESPRIT算法對(duì)相干信源波達(dá)方向的估計(jì)性能，提出了一種加權(quán)空間平滑TLS-ESPRIT算法，直接利用陣列的接收數(shù)據(jù)構(gòu)造加權(quán)矩陣，并利用子陣間的協(xié)方差矩陣的特殊關(guān)系，對(duì)加權(quán)矩陣進(jìn)行空間平滑。通過仿真實(shí)驗(yàn)，證明了新算法的有效性。

1 信號(hào)模型

假設(shè)均勻線陣的陣元數(shù)為M，陣元間隔為d，有k個(gè)窄帶信號(hào)入射到天線陣列，入射角度為θk(k=1,2,…,K)，以第一個(gè)陣元為參考陣，則信號(hào)入射到天線的示意圖如圖1所示。

圖1 天線陣列及來波方向示意圖

則信號(hào)在第m個(gè)陣元上的接收數(shù)據(jù)為：

(1)

式中，am(θk)為第m個(gè)陣元上第k個(gè)信號(hào)的響應(yīng)矢量，sk(t)為第k個(gè)信號(hào)的復(fù)包絡(luò)，nm(t)為陣元m在t時(shí)刻的噪聲值。

則線陣所接收的輸入信號(hào)的向量形式為：

As(t)+n(t)。

(2)

定義陣列接收數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣為：

Rx=E[X(t)XH(t)]=AE[S(t)SH(t)]AH+

E[N(t)NH(t)]=ARSAH+RN，

(3)

式中，RS，RN分別表示信號(hào)的協(xié)方差矩陣和噪聲的協(xié)方差矩陣。

在陣列接收的信號(hào)中，信號(hào)之間的相關(guān)性用相關(guān)系數(shù)表示為：

(4)

式中，si(t)，sk(t)為2個(gè)信號(hào)源。根據(jù)相關(guān)系數(shù)pik，對(duì)不同信號(hào)的關(guān)系可以定義為：

(5)

2 常規(guī)TLS-ESPRIT算法

假設(shè)均勻線陣包含M個(gè)陣元偶，每個(gè)陣元偶包含2個(gè)響應(yīng)特性完全相同的陣元，且這2個(gè)陣元之間相差位移矢量Δ。把陣列分成2個(gè)平移量為Δ的子陣Zx,Zy,2個(gè)子陣列相對(duì)應(yīng)的陣元具有相同的平移量，故2個(gè)子陣列相差一個(gè)旋轉(zhuǎn)矩陣Φ。有N個(gè)信源入射到陣列，則子陣Zx,Zy的接收數(shù)據(jù)為：

Zx=[a(θ1)a(θ2)…a(θN)]S+N1，

(6)

Zy=[a(θ1)ejφ1a(θ2)ejφ2…a(θN)ejφN]S+N2=AΦS+N2，

(7)

式中，Φ=diag[ejφ1,ejφ2,…,ejφN]，N1，N2為噪聲矢量，S為信源，A為陣列的導(dǎo)向矢量。

定義整個(gè)陣列的接收向量為Z，用子陣列接收向量表示，則Z的表達(dá)式為：

(8)

(9)

式中，Rz為信號(hào)的自相關(guān)矩陣，σ2為噪聲方差。

對(duì)R進(jìn)行特征分解，取R的特征值中N個(gè)最大特征值構(gòu)成信號(hào)子空間，并分成Ex，Ey兩部分，則存在一個(gè)唯一的、非奇異的N×N維滿秩矩陣T，使得Ex，Ey滿足如下關(guān)系：

(10)

利用Ex,Ey計(jì)算下列特征值：

(11)

式中，Λ為信號(hào)子空間，將E分解成N×N維的子矩陣，并構(gòu)造Ψ，計(jì)算Ψ的特征值λk(k=1,2,…,N)：

(12)

(13)

利用所求的特征值估計(jì)信源方向θn(n=1,2,…,N):

θn=arcsin{c·angle(λk)/(ω0d)}。

(14)

當(dāng)信源相干時(shí)，E不是滿秩矩陣，式(13)求解的特征值小于信源個(gè)數(shù)，這是常規(guī)TLS-ESPRIT算法不能解相干的原因，需要進(jìn)行相干處理。

3 空間平滑TLS-ESPRIT算法

文獻(xiàn)[6]為了使TLS-ESPRIT算法也能處理相干信號(hào)，引入了空間平滑算法[3]，如圖2所示。把Zx,Zy分成相互交錯(cuò)的p個(gè)小子陣，每個(gè)小子陣的陣元數(shù)為m，滿足M=p+m+1。

圖2 空間平滑算法原理圖

(15)

式中，Am為第m個(gè)子陣的陣列方向矢量，F(xiàn)i=[0m×(i-1)|Im|0m×(M-m-i+1)]，i=1,2,…,p，S為信源，N1為噪聲矢量。

(16)

式中，F(xiàn)l=[0m×(l-1)|Im|0m×(M-m-l+1)],i=1,2,…,p，Rs為信源的自相關(guān)矩陣，σ2為噪聲方差。

(17)

(18)

(19)

4 加權(quán)空間平滑TLS-ESPRIT算法

為了進(jìn)一步提高算法的角度估計(jì)性能，提出了加權(quán)空間平滑TLS-ESPRIT算法，算法的實(shí)質(zhì)是對(duì)TLS-ESPRIT算法的協(xié)方差矩陣R進(jìn)行2次平滑處理，利用第1次對(duì)TLS-ESPRIT算法協(xié)方差矩陣R的平滑處理得到加權(quán)矩陣Wz，再利用Wz對(duì)第2次平滑處理得到的協(xié)方差矩陣進(jìn)行加權(quán)。

① 分割子陣,分割后小子陣的陣元數(shù)目為p，則小子陣數(shù)為L(zhǎng)=M-p+1，取L,p>m。采用前后向空間平滑算法得協(xié)方差矩陣：

(20)

式中，F(xiàn)k=[0p×(k-1)|Ip|0p×(N-k-p+1)]，J為與R同維數(shù)的置換矩陣，(·)*表示共軛，可知Wz為p×p維對(duì)角矩陣。

② 分割子陣，保證所取小子陣的陣元數(shù)L，小子陣數(shù)p，滿足p+L+1=M。利用所求的Wz對(duì)前后向陣列協(xié)方差矩陣中p2個(gè)自、互相關(guān)矩陣加權(quán)，得到新的協(xié)方差矩陣：

(21)

③ 利用常規(guī)TLS-ESPRIT算法，式(8)～式(14)對(duì)新的協(xié)方差矩陣Rwz進(jìn)行相干信號(hào)源的DOA估計(jì)。

加權(quán)空間平滑TLS-ESPRIT算法，相比空間平滑TLS-ESPRIT算法，更加充分地利用了子陣輸出的自相關(guān)和互相關(guān)信息，提高了信號(hào)子空間與噪聲子空間的正交性，對(duì)相干信源具有更好的角度估計(jì)性能。

5 仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果

實(shí)驗(yàn)1：采用陣元間距為半波長(zhǎng)d=λ/2，快拍數(shù)n=1 000，信號(hào)頻率fc=300 MHz，總陣元數(shù)M=16的均勻線陣。第1次空間平滑小子陣的陣元數(shù)p1=5，第2次空間平滑小子陣的陣元數(shù)p2=12。假設(shè)相干信號(hào)源入射角度為0°,30°,40°，50°,60°，對(duì)加權(quán)空間平滑TLS-ESPRIT算法(WFB-ESPRIT)和空間平滑TLS-ESPRIT算法(FB-ESPRIT)在不同信噪比下分別進(jìn)行了10 000次Monte Carlo實(shí)驗(yàn)。

WFB-ESPRIT算法與FB-ESPRIT算法在不同SNR時(shí)的均方根誤差如圖3所示。由圖3可知，隨著SNR增大，2種算法的角度估計(jì)方差都在降低。當(dāng)SNR高于7 dB時(shí)，2種算法均對(duì)相干信源方向有較準(zhǔn)確的估計(jì)，但在同樣的信噪比下，WFB-ESPRIT算法明顯比FB-ESPRIT算法的角度誤差小，表明WFB-ESPRIT算法在相同SNR下優(yōu)于FB-ESPRIT算法。

圖3 不同信噪比方位角估計(jì)誤差比較

實(shí)驗(yàn)采用陣元間距為半波長(zhǎng)d=λ/2，SNR=10 dB，信號(hào)頻率fc=300 MHz，總陣元數(shù)M=16的均勻線陣。第1次空間平滑小子陣的陣元數(shù)p1=5，第2次空間平滑小子陣的陣元數(shù)p2=12。并假設(shè)相干信號(hào)源入射角度為0°,30°,40°，50°,60°，對(duì)WFB-ESPRIT算法和FB-ESPRIT算法在不同快拍數(shù)下分別進(jìn)行了10 000次Monte Carlo實(shí)驗(yàn)。

WFB-ESPRIT算法與FB-ESPRIT算法在不同快拍數(shù)下的均方根誤差如圖4所示。由圖4可知，在多個(gè)相干信源環(huán)境下，可以看出2種算法均能對(duì)相干信源方向有較準(zhǔn)確的估計(jì)，但同樣的快拍數(shù)下WFB-ESPRIT算法明顯比FB-ESPRIT算法的角度誤差小，表明WFB-ESPRIT算法在相同快拍數(shù)下優(yōu)于FB-ESPRIT算法。

圖4 不同快拍數(shù)方位角估計(jì)誤差比較

6 結(jié)束語

針對(duì)常規(guī)TLS-ESPRIT算法不能處理相干信號(hào)問題，提出了一種加權(quán)空間平滑TLS-ESPRIT算法。該算法通過對(duì)子陣的巧妙劃分，對(duì)空間平滑算法進(jìn)行嵌套使用，充分利用了陣列輸出的自相關(guān)和互相關(guān)信息，提高了信號(hào)子空間與噪聲子空間的正交性，使其對(duì)相干信源的處理具有明顯的有效性。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，在相同信噪比和快拍數(shù)下，WFB-ESPRIT算法均優(yōu)于FB-ESPRIT算法，表明了新算法的有效性。