王彬

原題：如圖1，在半徑為5的⊙A中，弦BC，DE所對(duì)的圓心角分別是∠BAC，∠DAE，已知DE＝6，∠BAC+∠DAE＝180°，則圓心A到弦BC的距離等于多少？

這道題雖然是圓中的小題，但卻是一道難題。已知條件給定了兩個(gè)圓心角的和為180°，給定了其中一個(gè)圓心角所對(duì)的弦長(zhǎng)，求圓心到另一條弦的距離。學(xué)生拿到題目后不容易想到從哪里入手。有弦能想到垂徑定理，于是做輔助線(xiàn)，也只有作輔助線(xiàn)后才能把角度、弦和弦心距聯(lián)系到一起，最終通過(guò)證明三角形全等得到所求的距離。

解法1：如圖2，過(guò)點(diǎn)A分別向弦CB和弦DE作垂線(xiàn)，垂足分別為F、G

由圓中的關(guān)系定理可知在同圓中，圓心角、弦、弧、弦心距幾個(gè)量中，只要有兩個(gè)量相等，其余的各組量都相等。關(guān)系定理的證明是通過(guò)旋轉(zhuǎn)證明的。也可以說(shuō)在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，這幾組量是不會(huì)變化的，那我們是否能用旋轉(zhuǎn)其中一組圓心角和弦的辦法讓問(wèn)題得到突破呢？能夠想到旋轉(zhuǎn)也是因?yàn)樵}中有一個(gè)兩角的和為180°的條件，而特殊角180°的出現(xiàn)，會(huì)讓我們的問(wèn)題另辟捷徑嗎？拭目以待。

解法2：如圖3，當(dāng)我們把∠BAC旋轉(zhuǎn)使點(diǎn)B和點(diǎn)E重合。

∵∠BAC+∠DAE＝180°

∴∠CAD＝180°，即CD為直徑

過(guò)點(diǎn)A作AF垂直于CE于F

由垂徑定理可知，CF＝FE

即，F(xiàn)為CE中點(diǎn)

又∵圓心A也是直徑CD的中點(diǎn)

∴AF是△CDB的中位線(xiàn)

可以借助幾何畫(huà)板，快速直觀(guān)解答，那么學(xué)生手中沒(méi)有幾何畫(huà)板怎么解答呢？教師要借助幾何畫(huà)板培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)態(tài)分析和解決問(wèn)題的能力。學(xué)生通過(guò)添加輔助線(xiàn)，把動(dòng)態(tài)的最終結(jié)果呈現(xiàn)出來(lái)。

解法3：如圖4，延長(zhǎng)CA交圓A于點(diǎn)F，并連接BF

∵∠BAC+∠DAE＝180°

又∵∠BAC+∠BAF＝180°

∴∠DAE＝∠BAF

∴BF＝DE＝6

過(guò)A作AG垂直于BC于G

則CG＝BG

即G為CB的中點(diǎn)，又圓心A為CF的中點(diǎn)

∴AG是△CBF的中位線(xiàn)

幾何畫(huà)板在動(dòng)態(tài)解決這道題的過(guò)程中，通過(guò)旋轉(zhuǎn)使題目中位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系更直觀(guān)，使原本復(fù)雜的問(wèn)題變簡(jiǎn)單。但作為教師使用幾何畫(huà)板更重要的功能就是借助幾何畫(huà)板的動(dòng)態(tài)演示、分析和求解的過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)態(tài)分析和解決問(wèn)題的能力。