杜小振，李周杰，康 輝，張 咪，于 紅

(1.山東科技大學(xué) 機(jī)械電子工程學(xué)院，山東 青島 266590；2.中國(guó)石油大學(xué)(華東) 理學(xué)院,山東 青島 266580)

0 引言

研究微小型波浪驅(qū)動(dòng)發(fā)電實(shí)現(xiàn)遠(yuǎn)海無(wú)線監(jiān)測(cè)節(jié)點(diǎn)供能具有重要意義[1]。早期研究以波浪能驅(qū)動(dòng)空氣透平法拉第電磁發(fā)電為主[2]，近年來(lái)，利用具有機(jī)電耦合效應(yīng)壓電功能材料發(fā)電代替電磁發(fā)電，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，易小型化[3]，但波浪頻率低，轉(zhuǎn)化效率和發(fā)電功率低，研究發(fā)現(xiàn)，系統(tǒng)輸出能量隨壓電諧響應(yīng)頻率提高而增加[4]。為此，林政[5]設(shè)計(jì)了機(jī)械增頻式波浪壓電發(fā)電裝置，將1 Hz入射波增頻達(dá)到29.5 Hz的激振頻率，并作用于壓電發(fā)電懸臂梁發(fā)電結(jié)構(gòu)上。流場(chǎng)中基于卡門渦街效應(yīng)形成流體激振頻率有利于提高振動(dòng)頻率并驅(qū)動(dòng)壓電發(fā)電微電源能量轉(zhuǎn)換效率和輸出電量。Rui Zhang等[6]利用氧化鋅(ZnO)、Jie He等[7]利用鋯鈦酸鉛(PZT)壓電材料相繼提出基于卡門渦街效應(yīng)風(fēng)能驅(qū)動(dòng)納米發(fā)電供能的風(fēng)速測(cè)量?jī)x。Marco Demori等[8]設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)了渦街激振壓電發(fā)電為流速和溫度傳感節(jié)點(diǎn)供能，可提供100 μW電量。文晟等[9]采用亥姆赫茲諧振腔作為風(fēng)壓諧振放大和渦脫頻率調(diào)節(jié)裝置研究基于卡門渦街效應(yīng)的風(fēng)力壓電浮能器，測(cè)試輸出電能達(dá)13.6 mW。本文在卡門渦街激振研究基礎(chǔ)上提出利用波浪進(jìn)入振蕩水柱(OWC)氣室壓縮氣體產(chǎn)生的周期性氣流，經(jīng)卡門渦街繞流圓柱鈍體產(chǎn)生高頻氣壓，驅(qū)動(dòng)壓電鈸發(fā)電。

1 OWC氣室出口氣流理論分析

基于卡門渦街效應(yīng)提頻的OWC驅(qū)動(dòng)壓電發(fā)電裝置示意圖如圖1所示。圖1中，Po為壓力采集管出口壓強(qiáng)；Pi為壓力采集管入口壓強(qiáng)；V為換能氣室體積；v為氣室頂部出口排出氣體流速；da為鈸型壓電振子外徑；db為鈸型壓電振子內(nèi)腔頂部直徑；dc為鈸型壓電振子內(nèi)腔直徑。推導(dǎo)了氣室內(nèi)的水動(dòng)力學(xué)計(jì)算模型并分析了氣室出口處的氣體流速。計(jì)算了氣體流經(jīng)鈍體產(chǎn)生高頻卡門渦街激振空氣壓力，并驅(qū)動(dòng)鈸型壓電發(fā)電輸出電能。

圖1 渦街提頻振蕩水柱驅(qū)動(dòng)壓電發(fā)電

1.1 氣室壓強(qiáng)求解

振蕩水柱波浪能采集氣室為半潛箱體，假定流體均勻，不可壓縮，無(wú)粘性，無(wú)旋，忽略表面張力，則流場(chǎng)內(nèi)速度勢(shì)Φ可定義為

(1)

對(duì)式(1)中的速度勢(shì)求偏導(dǎo)運(yùn)算，即

(2)

假設(shè)Φ在氣室內(nèi)、外域銜接區(qū)滿足壓力與速度連續(xù)條件，應(yīng)用格林函數(shù)計(jì)算規(guī)則線性波流場(chǎng)內(nèi)的Φ為入射勢(shì)Φi與散射勢(shì)Φj的疊加[10]：

Φ=Φi+Φj

(3)

在有限水深單一頻率、單一方向入射波作用下，Φi為[11]

(4)

式中：h為水深；k，β分別為入射波波數(shù)和方向角。

波高為H時(shí)，入射波引起的Φj[12]為

Φj=?SHoσSG(P;Q)dS

(5)

σS由第二類Fredholm方程[13]及滿足邊界條件用離散化數(shù)值方法求解，則有

(6)

在內(nèi)、外域銜接處，應(yīng)滿足流體速度與壓力連續(xù)條件，保證內(nèi)、外域銜接條件為

(7)

式中：n0為內(nèi)域法向量；n1為外域法向量，n0=n1。

格林函數(shù)解有初始條件或邊界條件的非齊次微分方程，求解速度勢(shì)，Wehausen和Laiton[14]以三維脈動(dòng)源的形式給出了滿足邊界條件的Green函數(shù)：

(8)

G(x,t,x0,τ)=δ(t-τ)G0+Gf(x,t,x0,τ)

(9)

cosh[k(z+h)]J0(kR)dk

(10)

[F(X,Y-Z,T)+F(X,2-

Y-Z,T)]

(11)

(12)

cosh(kV)J0(kX)dk

(13)

當(dāng)X>1時(shí)，使用Fourier級(jí)數(shù)將F0表示[16]為

(14)

當(dāng)0≤X≤1時(shí)，采用切比雪夫多項(xiàng)式逼近F0為

(15)

式中bmn為分析Green函數(shù)在各種參數(shù)范圍內(nèi)的插值系數(shù)。

n=0,1,2,3,4，…

(16)

(17)

式中：m=1,2,3,4，…;n=0,1,2,3，…。

F(X,V,T)=F+(F-F)

(18)

(19)

F-F

(20)

式中Re表示復(fù)數(shù)的實(shí)部

假設(shè)OWC氣室內(nèi)的氣室壓強(qiáng)隨振蕩水柱一起按正弦函數(shù)變化，且與氣室內(nèi)液面振蕩速度成正比，壓強(qiáng)求解式[17]為

(21)

式中τ為氣室空氣沉降振蕩有效阻尼系數(shù)。

1.2 OWC氣室出口流速求解

波浪進(jìn)入OWC內(nèi)形成振蕩水柱，其往復(fù)運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)氣室內(nèi)空氣產(chǎn)生振蕩壓強(qiáng)。忽略空氣的可壓縮性[18]，通過(guò)氣室頂端出口處的氣體體積流量Q(t)與氣體壓強(qiáng)P(t)為正比關(guān)系：

(22)

式中：ρ為水的密度；β為透平系數(shù)；Ra為頂部出口半徑。

氣室模型結(jié)構(gòu)尺寸為1.2 m×1.0 m×1.5 m，水深1 m，氣室前墻吃水深為0.3 m，入射周期T=0.85 s，氣室前墻與氣室波面達(dá)到共振[19]，氣室壓強(qiáng)峰值達(dá)到65 Pa。共振時(shí)流量最大，氣室出口流量與流速、壓強(qiáng)成正比。

2 氣室出口卡門渦激高頻激勵(lì)分析

振蕩水柱在氣室內(nèi)驅(qū)動(dòng)空氣流動(dòng)壓強(qiáng)頻率與波浪頻率一致，壓縮空氣流經(jīng)鈍體形成渦街高頻氣流，其能量轉(zhuǎn)換裝置如圖1所示。氣流經(jīng)鈍體后產(chǎn)生壓差為Pa=(Pi-Po), 假設(shè)能量轉(zhuǎn)換氣室中為可壓縮、剛性氣體；壓力采集管中為不可壓縮、剛性氣體，則壓電換能氣室空氣壓強(qiáng)和鈸形壓電振子激振頻率求解過(guò)程如下[20]：

流體的體積彈性模量比Ea為

(23)

氣室內(nèi)空氣體積的變化與壓強(qiáng)的關(guān)系為

(24)

利用流體的連續(xù)方程可得

(25)

式中：do為壓力采集管直徑；v為壓力采集管內(nèi)氣體流速。

由式(24)、(25)可得：

(26)

根據(jù)Poiseuille’s定律得壓力收集管中摩擦阻力f：

f=8πμvL

(27)

式中：L為壓力收集管的長(zhǎng)度；μ為動(dòng)力粘度。

根據(jù)牛頓第二定律得壓力管內(nèi)氣體流速微分方程：

(28)

將式(26)、(27)代入式(28)得

(29)

式(29)的單自由度二階振動(dòng)方程標(biāo)準(zhǔn)形式為

(30)

采樣渦街產(chǎn)生的空氣壓力的角頻率為

(31)

渦街激振頻率[21]為

(32)

式中：Dz為圓柱鈍體直徑；v0為氣室出口流速；v1為聲速；St為斯特勞哈爾數(shù)。

3 鈸型壓電發(fā)電振子受渦街激振氣壓作用響應(yīng)分析

將壓電片夾在兩片鈸型金屬片之間組成鈸型壓電發(fā)電振子(見(jiàn)圖1)，受循環(huán)渦街氣壓作用，壓電片承受的負(fù)載F與應(yīng)力Q為[22]

(33)

(34)

式中：γ為泊松比；E為彈性模量；δ為偏轉(zhuǎn)繞度；tc為銅帽圓片彈性層厚度；Hc為空腔高度；A1、A2為功能常數(shù)；S為鈸型壓電振子受壓面積。由壓電功能材料電場(chǎng)本構(gòu)方程得壓電振子的開(kāi)路電壓：

|Q×cosθ·tp·d33|

(35)

外接負(fù)載電壓和功率計(jì)算分別為

(36)

(37)

式中：RL為外接負(fù)載電阻；C為靜態(tài)電容；ω1為外接負(fù)載角頻率；Rs為壓電片等效內(nèi)阻；tp為壓電片厚度；d31、d33為壓電系數(shù)；θ為壓電片受力角。

4 發(fā)電系統(tǒng)輸出特性討論

海浪進(jìn)入氣室后壓縮空氣從頂部出口快速流出遇到Dz=50 mm的圓柱形鈍體產(chǎn)生卡門渦街激振。空氣壓力頻率隨海浪周期變化關(guān)系如圖2所示。當(dāng)海浪周期TW<0.85 s時(shí)，海浪周期增加，OWC氣室波高增加，壓縮空氣產(chǎn)生的壓強(qiáng)隨海浪周期增加逐漸增大，渦街激振頻率與氣室出口流速、壓強(qiáng)成正比。TW=0.85 s時(shí)，氣室前墻入射波與氣室內(nèi)水面發(fā)生共振，壓強(qiáng)最大，出口空氣流速最快，渦街激振頻率達(dá)600 Hz，提頻效果最優(yōu)。TW>0.85時(shí)，隨海浪周期增大，在氣室內(nèi)產(chǎn)生大量的非線性波，存在波能損耗。

圖2 渦街提頻空氣壓力頻率與TW關(guān)系

高頻氣壓通過(guò)壓力收集管道(L=170 mm、do=6 mm)進(jìn)入壓電能量轉(zhuǎn)換氣室并驅(qū)動(dòng)鈸型壓電振子發(fā)電，鈸型振子外徑da=29 mm,dc=17 mm,db=5 mm。氣壓驅(qū)動(dòng)鈸型壓電振子發(fā)電功率與激振頻率關(guān)系如圖3所示。由式(32)～(35)計(jì)算可得渦街激振頻率為0～700 Hz，壓電振子的電能量隨壓力頻率的增大快速提高，激振壓力頻率提高能量轉(zhuǎn)換效率和輸出功率較明顯。

圖3 發(fā)電功率與激振頻率關(guān)系

壓電發(fā)電功率與涌入氣室的TW存在密切關(guān)系，TW=0.65～1.1 s時(shí)，由式(22)～(31)可得TW與鈸型壓電振子發(fā)電輸出功率的關(guān)系如圖4所示，輸出電能穩(wěn)定在65～80 mW。

圖4 發(fā)電功率與TW的關(guān)系

卡門渦街產(chǎn)生的壓電換能氣室的壓力頻率與氣室出口處鈍體直徑有關(guān)，隨鈍體直徑的增大而降低，由式(28)～(31)計(jì)算鈸型壓電振子產(chǎn)生的能量隨鈍體結(jié)構(gòu)變化如圖5所示。氣室出口流速提高，壓力頻率增大，因此，鈸型壓電振子產(chǎn)生的電能隨之提升，如圖6所示。

圖5 發(fā)電量與鈍體直徑關(guān)系

圖6 發(fā)電量與氣室氣體流速的關(guān)系

5 結(jié)束語(yǔ)

振蕩水柱收集波浪能在氣室內(nèi)產(chǎn)生高壓、高速空氣動(dòng)能并作用于圓柱形鈍體，基于卡門渦街效應(yīng)獲得高頻空氣壓力進(jìn)入壓電換能氣室驅(qū)動(dòng)鈸型壓電振子發(fā)電，解決低頻海浪驅(qū)動(dòng)壓電發(fā)電中能量轉(zhuǎn)換率低的問(wèn)題。分析波浪與空氣相互作用的水動(dòng)力學(xué)特性、利用壓電能量轉(zhuǎn)換理論、卡門渦街效應(yīng)理論推導(dǎo)計(jì)算得出,氣室前墻入射波與氣室內(nèi)的波面產(chǎn)生共振渦街激振高頻氣壓達(dá)650 Hz，隨著鈍體尺寸的增大，提頻效果減弱，隨著氣體流速的提高，系統(tǒng)輸出電能提高，當(dāng)海浪周期在0.6～1.1 s時(shí)，系統(tǒng)輸出70～80 mW穩(wěn)定電能。