陳雪松，侯榮國，呂 哲，蔣振偉，張 宇

(山東理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，山東 淄博 255049)

磨料水射流加工技術(shù)與其他加工工藝相比，被加工材料不會產(chǎn)生熱影響區(qū)，能夠保持材料原有的化學(xué)、物理性能，尤其是對硬脆性材料加工方面優(yōu)勢明顯[1-3]。隨著水射流技術(shù)應(yīng)用范圍的不斷擴(kuò)大和對復(fù)雜形狀零件要求的不斷提高，磨料水射流加工所需的工作平臺由平面直線模式轉(zhuǎn)向空間曲面模式。磨料水射流運(yùn)動軌跡規(guī)劃的優(yōu)劣直接影響到被加工零件的質(zhì)量，所以需要根據(jù)零件的形狀進(jìn)行空間軌跡的規(guī)劃，制定合理的數(shù)學(xué)算法，使噴嘴在運(yùn)動過程中為可控模式，并要求運(yùn)行軌跡平穩(wěn)、光滑、連續(xù)，減輕機(jī)械本體的振動，提高加工精度[4-5]。

目前曲面加工的方法很多，如曹桄等[6]采用D-H法為三軸、四軸機(jī)床加工凸輪建立數(shù)學(xué)模型，并應(yīng)用于數(shù)控加工的后置處理。張舒曼等[7]以工業(yè)機(jī)器人為研究對象，采用改進(jìn)的D-H法在MATLAB環(huán)境下建立數(shù)學(xué)模型，并驗(yàn)證了模型的可靠性。華茂發(fā)等[8]采用基本的齊次坐標(biāo)變換對三類基本結(jié)構(gòu)形式的機(jī)床運(yùn)動學(xué)建模，得到結(jié)果并應(yīng)用于曲面加工。邊培瑩[9]提出了自由曲面的變曲率分片方法，并結(jié)合螺旋線軌跡規(guī)劃算法來提高多軸聯(lián)動曲面研磨機(jī)床的加工精度。然而，以上方法推導(dǎo)過程復(fù)雜，難以理解，不適合水射流加工平臺。本文以微細(xì)磨料水射流拋光加工異型零件為研究對象，在多自由度運(yùn)動平臺上，研究可用于曲面陶瓷零件拋光的噴嘴運(yùn)動規(guī)劃，采用空間圓弧和空間樣條曲線等兩種規(guī)則曲線的插補(bǔ)算法，推導(dǎo)建立磨料水射流噴嘴的運(yùn)動數(shù)學(xué)模型，并利用MATLAB軟件對其進(jìn)行數(shù)值模擬以驗(yàn)證模型的準(zhǔn)確性。

1 數(shù)學(xué)模型的建立

利用從噴嘴噴射而出形成的高壓水柱對曲面陶瓷零件進(jìn)行拋光，在理想狀態(tài)下，忽略射流發(fā)散，該水柱可近似地看作如圖1所示的水刀模型。

圖1 水刀模型Fig.1 Model of water jet

為了建立準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)模型，通常在射流束邊緣線上建立局部流動坐標(biāo)系，進(jìn)而將局部流動坐標(biāo)系上點(diǎn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為最終需要的工件坐標(biāo)系上點(diǎn)的坐標(biāo)。矢量圖如圖2所示，利用矢量法求得最終的矩陣。

圖2 矢量圖Fig.2 Vector graph

在笛卡爾坐標(biāo)系內(nèi)的圓柱體半徑為R，其表面方程為

(1)

式中：θ為半徑r與y軸的夾角;L為圓柱體的長度。

設(shè)O1在O-XYZ中的坐標(biāo)為(O1x，O1y，O1z)，P在O-XYZ中的坐標(biāo)為(Px，Py，Pz)，在O1-X1Y1Z1中的坐標(biāo)為(Px1，Py1，Pz1)。

坐標(biāo)系a1=[o1，x1，y1，z1]坐標(biāo)分量在坐標(biāo)系a=[o，x，y，z]中的單位矢量分別為T、N、B，坐標(biāo)系a=[o，x，y，z]的單位坐標(biāo)矢量為i、j、k。則有以下矢量關(guān)系式：

故坐標(biāo)變換矩陣為

(3)

式中：T為射流束邊緣線在任意點(diǎn)的單位切向量;B為射流束邊緣線在該點(diǎn)的單位主法向量;N為射流束邊緣線在該點(diǎn)的單位副法向量。該矩陣隨著射流束邊緣線上點(diǎn)的變化而變化。

根據(jù)這個轉(zhuǎn)換矩陣建立前半圓柱面、水刀射流截面和后半圓柱面的數(shù)學(xué)模型。如圖1所示：β為前角，α1為第一后面角，α2為第二后面角，f為水刀加工寬度。

前半圓柱面的數(shù)學(xué)模型為

T(O1)*(0,cotβ*z1,z1)T

(4)

水刀射流截面的數(shù)學(xué)模型為

T(O1)*(0,tanα1*z1,z1)T

(5)

后半圓柱面的數(shù)學(xué)模型為

T(O1)*(0,z1*tanα1-f*tanβ,z1)T

(6)

2 運(yùn)動軌跡的實(shí)現(xiàn)算法

對于一些復(fù)雜的異型陶瓷零件需由空間直線、圓弧、樣條曲線結(jié)合生成所需要的運(yùn)動軌跡。下面研究射流束邊緣線任意點(diǎn)以空間圓弧和空間樣條曲線等兩種規(guī)則曲線的插補(bǔ)算法，并進(jìn)行數(shù)值模擬。

2.1 空間圓弧插補(bǔ)

已知空間任意三點(diǎn)為圓弧起點(diǎn)A、中間點(diǎn)B和終點(diǎn)C，以及插補(bǔ)次數(shù)N(不包括A、C點(diǎn))。

1)求圓弧圓心O(x0，y0，z0)和半徑R。

由|AO|=|BO|=|CO|得

(7)

由不共線的三點(diǎn)確定的平面方程為

(8)

聯(lián)立(7)式及(8)式，即可求出圓心坐標(biāo)及半徑

(9)

2)由不共線的三點(diǎn)確定的平面方程，求圓弧所在平面的法向量n。

給定了起點(diǎn)、終點(diǎn)和一個中間點(diǎn)的空間三點(diǎn)圓弧的走向是確定的，用AB×BC表示空間三點(diǎn)圓弧所在平面的法向量n，從n的正方向看，A到C的圓弧始終是逆時針圓弧。設(shè)n=AB×BC=ui+vj+wk，則

3)求圓心角θ。

當(dāng)θ< π時，

當(dāng)θ> π時，

4)求步距角δ。

每次插補(bǔ)走過的步距角是不變的，且

5)求插補(bǔ)遞推公式[10]。

式中，E和G為常量，且

式中，ΔS為沿圓弧切向移動距離。運(yùn)用該算法并進(jìn)行MATLAB編程仿真模擬，達(dá)到了理想的效果?？臻g圓弧插補(bǔ)模擬結(jié)果如圖3所示。

圖3 MATLAB空間圓弧插補(bǔ)模擬結(jié)果圖Fig. 3 Simulation result diagram of space circular interpolation in MATLAB

2.2 空間樣條曲線插補(bǔ)

樣條曲線的表達(dá)式(0≤X≤Xm)為

P(x)=b1+b2x+b3x2+b4x3

令P1t=0，已知P′(1)、P′(2)，代入方程可得方程系數(shù)b1、b2、b3、b4，P(0)=P(1)=b1，P′(0)=P′(1)=b2。

P(x2)=b1+b2x2+b3x22+b4x23

從而有

對PiPi+1段有

由條件可知，Pi+1應(yīng)達(dá)到二階連續(xù)

2b3i+6b4ixi+1=2b3i+1

即

當(dāng)i=1時

當(dāng)i=n-1時

MATLAB空間樣條曲線插補(bǔ)模擬結(jié)果如圖4所示。

圖4 MATLAB空間樣條曲線插補(bǔ)模擬結(jié)果圖Fig.4 Simulation result diagram of space spline curves interpolation in MATLAB

由圖3和圖4的模擬結(jié)果可知，空間圓弧和空間樣條插補(bǔ)曲線光滑，不同曲率半徑曲線之間的過渡線平緩、圓滑，無尖角或斷點(diǎn)等缺陷。并且插補(bǔ)曲線準(zhǔn)確地穿過了所有插補(bǔ)點(diǎn)，曲線軌跡精確完整，可以滿足磨料水射流拋光復(fù)雜曲面陶瓷零件的要求。而且提出的空間圓弧和空間樣條曲線插補(bǔ)算法利用較少的插補(bǔ)點(diǎn)就能生成光滑、連續(xù)的拋光軌跡，保證了拋光過程的連續(xù)性和平穩(wěn)性，減輕了噴嘴的振動，減少了磨料水射流加工系統(tǒng)的定位次數(shù)，提高了工作效率。拋光軌跡正確完整，可精確拋光形狀復(fù)雜且加工面為曲面的陶瓷零件，算法精簡，計(jì)算時間短，累積誤差小，加工精度高，符合射流束拋光要求，證明了該算法的有效性和先進(jìn)性。

3 結(jié)束語

空間圓弧和空間樣條曲線插補(bǔ)是磨料水射流路徑規(guī)劃過程中不可缺少的插補(bǔ)算法。在建立水射流數(shù)學(xué)模型時，采用矢量法，減少了大量繁瑣的步驟，保證了準(zhǔn)確性。研究了空間圓弧和空間樣條曲線的插補(bǔ)算法，并進(jìn)行了MATLAB編程仿真模擬，結(jié)果表明，該運(yùn)動數(shù)學(xué)模型所得到的運(yùn)動軌跡符合射流束拋光曲面零件要求，從而證明了該模型的可行性。并且該算法計(jì)算速度快、適用性強(qiáng)，可用于大多數(shù)自由曲面的加工，對于非直線、非圓弧的軌跡，都可以采用圓弧和樣條曲線來逼近，以得到需要的軌跡。