董國丹 郭則慶 秦建華 張煥好? 姜孝海 陳志華 沙莎

1)(南京理工大學,瞬態(tài)物理國家重點實驗室,南京 210094)

2)(City College of New York,The City University of New York,New York 10031,USA)

3)(北京電子工程總體研究所,北京 100854)

1 引 言

激波經(jīng)過流體分界面,誘導界面微弱擾動從線性發(fā)展為非線性的現(xiàn)象被稱為Richmyer-Meshkov(R-M)不穩(wěn)定性[1,2].界面兩側在R-M不穩(wěn)定性的作用下產(chǎn)生剪切速度差,誘導Kelvin-Helmholtz(K-H)不穩(wěn)定性出現(xiàn).在超燃沖壓發(fā)動、慣性約束核聚變、天體物理、航空航天等領域,R-M和K-H不穩(wěn)定性作用于流體分界面,誘導界面卷起失穩(wěn)并最終湍流轉捩.其中,在超燃沖壓發(fā)動機中,R-M不穩(wěn)定性能促進燃料充分燃燒; 而在慣性約束核聚變中,外殼燃料形成的等離子體會受到R-M和K-H不穩(wěn)定性的作用,進而阻礙聚變反應的產(chǎn)生[3].且這些領域中流體會被電離,受到磁場的影響.基于此,本文對磁流體動力學(magnetohydrodynamic,MHD)中R-M不穩(wěn)定性的發(fā)展進行研究.

人們已經(jīng)對無磁場情況下界面R-M不穩(wěn)定性進行了大量的實驗研究、理論分析和數(shù)值模擬.Haas和Sturtevant[4]用塑料薄膜形成氣泡,采用陰影攝像技術對氣泡變形進行過程捕捉,發(fā)現(xiàn)入射激波經(jīng)過輕質(重質)氣泡后發(fā)散(聚焦).但因實驗技術的限制,他們的實驗不能得到較好的定量分析結果,且塑料薄膜形成的氣泡會對實驗結果有影響.Layes等[5,6]采用多重曝光陰影技術,對不同激波強度下不同介質(He,N2,Kr)球形氣柱變形過程進行了研究,并定量分析了界面運動,結果表明氣柱界面運動速度在發(fā)展后期基本保持不變.同樣因實驗技術所限,他們的實驗結果并不能清晰地反映復雜波系演化過程.Picone和Boris[7]利用數(shù)值算法對激波沖擊氣柱導致其變形的過程進行了更加完整細致的研究.近年來,Zhai等[8]和Luo等[9]采用肥皂泡膜技術直接形成氣泡,排除了塑料薄膜對實驗結果的影響.結合高速攝像技術,他們對激波與各種形狀(三角形、四邊形、菱形)氣柱相互作用的復雜過程進行了大量的實驗研究,分析了波系演化過程及相界面失穩(wěn)機理,并對界面運動和波系發(fā)展進行了定量分析.沙莎等[10,11]對R22氣柱和三維SF6氣泡進行的數(shù)值研究表明,復雜波系在氣柱內部聚焦并誘導射流.Ding等[12]成功設計了二維氣柱界面不穩(wěn)定性研究實驗,對二維輕質氣柱界面失穩(wěn)機理、波系演化過程進行了定性和定量研究,發(fā)現(xiàn)二維和三維界面不穩(wěn)定發(fā)展的區(qū)別較大.

此外,R-M不穩(wěn)定性多存在于高能物理和天體物理中.流體在這些領域中多以等離子體狀態(tài)存在,易受磁場的影響.通過數(shù)值算法求解理想MHD方程組,Samtaney[13]和Wheatley等[14]研究了斜平面連續(xù)間斷面(oblique planar contact discontinuity)R-M不穩(wěn)定性.在他們的研究中,平面激波自輕質流體進入重質流體,磁場方向垂直于波陣面,即縱向磁場構型.研究表明,通過干擾激波在接觸間斷面(contact discontinuity)上的折射過程,在磁場的作用下,折射激波出現(xiàn)分支,產(chǎn)生慢磁聲波和中強度磁聲波(slow and intermedia magnetosonic shocks),因此渦量沿著 Afvén波分布,而不再沉積于界面,最終磁場抑制了界面不穩(wěn)定性的發(fā)展.同時,Wheatley等[15]基于理想不可壓MHD,對縱向磁場構型下,正弦擾動界面增長進行了理論推導.他們發(fā)現(xiàn)在線性發(fā)展階段,界面擾動不受磁場影響,但是在界面擾動發(fā)展后期,磁場抑制界面不穩(wěn)定性發(fā)展.同樣通過理論推導,Cao等[16]的研究表明,剪切效應加速界面失穩(wěn),磁效應抑制R-M 不穩(wěn)定性的發(fā)展,其中洛倫茲力是磁效應抑制R-M不穩(wěn)定的主要機理.但Wheatley等[15]和Cao等[16]的單模擾動界面形狀過于簡單,在工程和實際研究中氣柱界面更復雜,且多形成封閉氣柱.董國丹等[17]對縱向磁場作用下封閉三角形氣柱R-M不穩(wěn)定性進行了研究,發(fā)現(xiàn)在縱向磁場作用下,界面不穩(wěn)定小渦序列消失,不穩(wěn)定性得到抑制.此研究雖然考慮了封閉氣柱,但三角形氣柱界面與入射激波作用過程中入射激波角不變,波系演化過程相對簡單.而入射激波沖擊封閉圓形氣柱的過程中入射激波角不斷變化,流場信息更加復雜且更具代表性.再者,為優(yōu)化磁控效果,不同磁場構型下氣柱界面不穩(wěn)定性的機理研究十分必要.Sano等[18,19]發(fā)現(xiàn)R-M不穩(wěn)定性會放大磁場,且放大后的磁場能抑制R-M不穩(wěn)定性的發(fā)展.

動態(tài)模態(tài)分解(dynamic mode decomposition,DMD)技術能從復雜的流體現(xiàn)象分解出具有代表性的時空特征擬序結構(coherent structure),因而在對復雜流體現(xiàn)象分析、預測、控制等方面具有十分重要的作用[20].Schmid等[21,22]詳細介紹了DMD算法,證明其在多維數(shù)據(jù)處理方面有巨大的應用前景,并首次將DMD用于方腔流和射流的研究.此外,DMD還可用于分析非線性系統(tǒng)[23].Rowley等[24]證明了DMD與Koopman算子關系密切,并基于DMD對三維非線性復雜射流現(xiàn)象進行了研究.近年來DMD技術不斷發(fā)展,并被用于對復雜流體現(xiàn)象的分析.本文將DMD用于界面不穩(wěn)定性的研究.

實驗中要生成穩(wěn)定的輕質氣柱相對困難,且國內外關于磁場作用下R-M不穩(wěn)定性的實驗研究仍未成功,因此,通過數(shù)值模擬研究磁場對界面不穩(wěn)定性的作用具有重要的意義.此外,數(shù)值模擬求解MHD方程組時,分裂格式算法不能保證每一步計算中磁場的散度都為零,因此需要更高階的通量重構算法和非分裂多維積分算子[17].本文采用分段拋物線法(piecewise parabolic method)對守恒量進行三階重構,以得到具有二階精度的Godunov通量[25].另外,為了保證磁場散度為零,采用CTU+CT(corner transport upwind + constrain transport)算子進行多維積分[26-28].本文基于理想MHD,結合DMD技術對無磁場、橫向和縱向磁場構型下,激波沖擊封閉輕質圓形氣柱(97%N2+3% SF6)的過程進行研究,分析討論磁場構型對界面不穩(wěn)定性的作用,為實驗研究和實際應用提供參考.

2 數(shù)值計算方法和模型

不考慮歐姆耗散、熱傳導、霍爾效應及雙極擴散效應,即基于理想MHD方程組,本文對磁場作用下輕質圓形氣柱的界面不穩(wěn)定性發(fā)展進行研究.守恒形式的理想MHD方程組如下:

其中ρ為密度,v為速度,B為磁感應強度,P為壓強,E為總能,γ為比熱比,μ0為磁導率.

計算模型如圖1所示,計算域為200 mm×80 mm,上下及右邊界均為固壁.初始時刻,平面入射激波IS自左邊界向右運動,撞擊輕質氣柱(97%N2+3% SF6).磁場強度均為0.01 T,B1為縱向磁場構型,即磁場方向沿著x軸;B2為橫向磁場構型,即沿著y軸.氣柱直徑初始D0=35 mm,其中心距左邊界30 mm,外流場充滿SF6氣體,來流馬赫數(shù)Ma=1.29,氣柱內外溫度T0=293.15 K,氣柱內外壓強P=1 atm(1 atm=101325 Pa),在求解理想MHD方程組時,各氣體的磁導率均取真空磁導率μ0=4π×10-7N·A-2.其他氣體參數(shù)如表1所示.

圖1 計算模型圖Fig.1.Computational model.

表1 氣體參數(shù)表Table 1. Gas parameters.

3 結果與討論

3.1 網(wǎng)格無關性和算例驗證

圖2(a)—(c)為不同網(wǎng)格數(shù)下密度紋影圖,圖2(d)為不同網(wǎng)格數(shù)下沿圖中藍色虛線的密度比.由圖2可知,隨著網(wǎng)格數(shù)的增加,本文數(shù)值結果能清晰地反映復雜波系和界面次級渦,且計算結果逐漸收斂.因此本文選取 2000×800的網(wǎng)格數(shù)進行計算.

圖3為激波與輕質氣柱相互作用過程中實驗[12](上)與本文數(shù)值(下)結果的對比.由圖3可見,本文算法能準確地反映波系的演化過程、界面和不穩(wěn)定渦序列的發(fā)展.且界面發(fā)展后期,馬赫桿處的滑移線SL(同圖4(e))仍清晰可見.

圖2 網(wǎng)格無關性驗證(a)500×200;(b)1000×400;(c)2000×800;(d)密度界面網(wǎng)格收斂性驗證.ρ/ρ1為沿氣柱對稱軸密度比,其中ρ是流體密度,ρ1是SF6氣體密度; CRS: 弧形反射激波; LI: 氣柱左邊界; TS1: 透射激波; RI: 氣柱右邊界Fig.2.Grid convergence validation:(a)500×200;(b)1000×400;(c)2000×800;(d)convergence of density profile.ρ/ρ1 is the ratio of fluid density to SF6 density.CRS: curved reflected shock; LI: cylinder's left interface; TS1: transmitted shock; RI: cylinder's right interface.

3.2 無磁場時激波與氣柱的相互作用

圖3 激波與N2氣柱相互作用過程實驗[12](上)與本文數(shù)值(下)密度紋影圖的對比(IS: 入射激波; TS1: 透射激波; TS3: 三次透射激波)(a1)t=120 μs;(a2)t=120 μs;(b1)t=280 μs;(b2)t=280 μs;(c1)t=580 μs;(c2)t=580 μs;(d1)t=1100 μs;(d2)t=1100 μsFig.3.The comparison of experimental and numerical density schlieren images during the interaction between the incident shock wave and the N2 cylinder(IS: incident shock; TS1: transmitted shock; TS3: third transmitted shock):(a1)t=120 μs;(a2)t=120 μs;(b1)t=280 μs;(b2)t=280 μs;(c1)t=580 μs;(c2)t=580 μs;(d1)t=1100 μs;(d2)t=1100 μs.

圖4 無磁場時激波與N2氣柱作用過程中的密度紋影圖(IS: 入射激波; TS1: 透射激波; CRS: 弧形反射激波; RRW: 反射稀疏波;FPS: 自由前導激波; TS2: 二次透射激波; RS1:反射激波; MS: 馬赫桿; TP: 三波點; FP: 聚焦點; S1: 激波1; RAS: 折射激波; TS3:三次透射激波; RS2: 二次反射激波; TS4: 四次透射激波; URS:上壁面反射激波; LRS:下壁面反射激波; BRS: 尾壁反射激波; SL:滑移線)(a)t=160 μs;(b)t=180 μs;(c)t=210 μs;(d)t=240 μs;(e)t=290 μs;(f)t=330 μs;(g)t=430 μs;(h)t=700 μs;(i)t=1200 μs;(j)t=1650 μsFig.4.The density schlieren image sequences during the interaction between the incident shock and N2 cylinder in the absence of magnetic fields(IS: incident shock; TS1: transmitted shock; CRS: curved reflected shock; RRW: reflected rarefaction shock; FPS: free precursor shock; TS2: second transmitted shock; RS1: reflected shock; MS: Mach stem; TP: triple point; FP: focus point; S1: shock 1;RAS: refracted shock; TS3: third transmitted shock; RS2: second reflected shock; TS4: fourth transmitted shock; URS: upper wall reflected shock; LRS: lower wall reflected shock; BRS: back wall reflected shock; SL: slip line):(a)t=160 μs;(b)t=180 μs;(c)t=210 μs;(d)t=240 μs;(e)t=290 μs;(f)t=330 μs;(g)t=430 μs;(h)t=700 μs;(i)t=1200 μs;(j)t=1650 μs.

圖4是無磁場時,激波與輕質氣柱(97%N2+3% SF6)相互作用過程的密度紋影圖.入射激波IS經(jīng)過輕質界面,在氣柱內產(chǎn)生向下游傳播的透射激波TS1,在氣柱外產(chǎn)生向上游傳播的膨脹波RRW和弧形反射激波CRS,形成第一個透射-反射激波結構(TS1-CRS); 同時由于輕質氣柱聲阻抗小,TS1向氣柱外折射出自由前導激波FPS,如圖4(a)所示.緊接著IS與FPS發(fā)生馬赫反射,形成馬赫桿MS和三波點TP,且發(fā)展后期馬赫桿處的滑移線SL(圖4(e))仍可見.當TS1運動到下游界面時,其向氣柱內外分別傳播出二次透射激波TS2和反射激波RS1,形成第二個透射-反射激波結構(TS2-RS1),此時 TS2與 FPS合并(圖4(b)).隨著RS1向上游傳播,其于t=210 μs在 FP點聚焦(圖4(c)),聚焦點壓力隨后迅速向外膨脹,產(chǎn)生激波S1,S1向下游界面折射出激波RAS,此時界面在復雜波系的作用下開始出現(xiàn)微弱擾動.當S1運動到上游界面(圖4(e))時,第三個透射-反射激波結構(TS3-RS2)形成,SF6射流(SF6Jet)開始出現(xiàn),界面擾動增加.

t=330 μs時(圖4(f)),RS2穿過下游界面產(chǎn)生4次透射激波TS4,同時來自上下壁面的反射激波URS、LRS向氣柱中心運動,界面擾動劇烈并逐漸開始卷起失穩(wěn),如圖4(f)所示.URS和LRS于t=430 μs再次沖擊氣柱,加速界面失穩(wěn),SF6射流兩側開始卷起.隨后氣柱界面不斷卷起形成一系列小渦不穩(wěn)定序列,SF6射流兩側形成兩對主渦,如圖4(i)所示.t=1200 μs時,SF6射流穿過下游界面,其兩側的兩對主渦不斷發(fā)展加速氣柱內外氣體混合,氣柱發(fā)展成為雙耳形.在來自尾壁的反射激波BRS沖擊氣柱,大量不穩(wěn)定渦串出現(xiàn),氣柱湍流混合劇烈,如圖4(j)所示.

3.3 磁場作用下激波與氣柱的相互作用

圖5為縱向(上)和橫向磁場(下)構型下,激波與氣柱相互作用過程中的密度紋影圖.由圖5可知,激波與界面相互作用時復雜波系的演化過程與無磁場時(圖4)一樣,即多次透射-反射結構、馬赫反射、壁面反射等復雜波系結構仍出現(xiàn),且出現(xiàn)時間一致.這表明磁場對R-M不穩(wěn)定性發(fā)展過程中復雜波系的演化沒有太大的影響.此外在兩種磁場作用下,界面不穩(wěn)定小渦序列均明顯減少,SF6射流上下兩側的渦對消失,氣柱界面變得光滑.但在縱向磁場構型下,下游界面中心處從290 μs開始出現(xiàn)少許擾動(圖4(a1)),該擾動不斷增長并在430 μs形成明顯的擾動序列(圖4(a4)).且后期氣柱內部因SF6射流仍能穿過下游界面而出現(xiàn)少許擾動,發(fā)展后期界面仍呈雙耳形.橫向磁場構型下,SF6射流不能穿過下游界面,界面十分光滑,小渦序列完全消失,后期氣柱不再呈雙耳形.由以上分析可知,兩種磁場構型均能抑制界面不穩(wěn)定性的發(fā)展,且橫向磁場抑制效果更好.

3.4 磁場對界面渦量及特征尺寸的作用

流場在激波擾動下產(chǎn)生速度,圖6(a1)、(a2)中紅色實線表示流線,藍色實線表示磁力線.沿同一水平線段A,洛倫茲力x和y方向分量Fx和Fy的具體數(shù)值如圖6(d1)、(d2)所示.縱向磁場構型下(圖6第一行),磁力線與流線夾角小; 而橫向磁場構型下(圖6第二行),磁感線與流線幾乎垂直.在R-M不穩(wěn)定性的作用下,兩種磁場構型的磁力線在氣柱界面均發(fā)生扭曲,且上游界面處磁場線扭曲程度更大(圖6(a1)、(a2)).磁力線扭曲程度較大的上游界面能產(chǎn)生更強的洛倫茲力.此外,縱向磁場作用下,下游界面內(外)Fx和Fy反對稱分布,即界面內(外)Fx為負(正),Fy為正(負); 而橫向磁場作用下,下游界面內(外)Fx和Fy對稱分布,即界面內(外)為Fx為負(正),Fy也為負(正).其中,下游界面處,橫向磁場產(chǎn)生的洛倫茲力各個分量均大于縱向磁場.

圖5 縱向B1(上)和橫向B2(下)磁場構型下,激波與N2氣柱相互作用過程的密度紋影圖(a1)t=290 μs;(b1)t=290 μs;(a2)t=330 μs;(b2)t=330 μs;(a3)t=430 μs;(b3)t=430 μs;(a4)t=700 μs;(b4)t=700 μs;(a5)t=1200 μs;(b5)t=1200 μsFig.5.The density schlieren image sequences during the interaction between the incident shock and N2 cylinder in the presence of the longitudinal B1(upper)and transverse B2(lower)magnetic fields:(a1)t=290 μs;(b1)t=290 μs;(a2)t=330 μs;(b2)t=330μs;(a3)t=430 μs;(b3)t=430 μs;(a4)t=700 μs;(b4)t=700 μs;(a5)t=1200 μs;(b5)t=1200 μs.

圖6 t=200 μs時,縱向和橫向磁場構型的結果(a1)縱向磁場的磁力線(藍色)與流線(紅色)圖,其中背景為密度紋影圖;(b1)橫向磁場的磁力線(藍色)與流線(紅色)圖,其中背景為密度紋影圖;(a2)縱向磁場x方向的洛倫茲力Fx分布云圖;(b2)橫向磁場x方向的洛倫茲力Fx分布云圖;(a3)縱向磁場y方向洛倫茲力Fy分布云圖;(b3)橫向磁場y方向洛倫茲力Fy分布云圖;(a4)縱向磁場沿線段A(圖(a2)中黑色線段所示)x和y方向洛倫茲力定量圖;(b4)橫向磁場沿線段A(圖(a2)中黑色線段所示)x和y方向洛倫茲力定量圖.其中線段A兩端點分別為(0,0.01),(0.025,0.01)Fig.6.Results from longitudinal and transverse magnetic fields at t=200 μs:(a1)longitudinal magnetic field lines(blue)and streamlines(red),the background are density schlieren images;(b1)transverse magnetic field lines(blue)and streamlines(red),the background are density schlieren images;(a2)Lorentz forces distribution of longitudinal magnetic field in x direction,Fx;(b2)Lorentz forces distribution of transverse magnetic field in x direction,Fx;(a3)Lorentz forces distribution of longitudinal magnetic field in y direction,Fy;(b3)Lorentz forces distribution of transverse magnetic field in y direction,Fy;(a4)the specific Lorentz forces distribution of longitudinal magnetic field along a horizontal line A,indicated by the black solid line in Fig.6(a2),and the two end points are(0,0.01),(0.025,0.01);(b4)the specific Lorentz forces distribution of transverse magnetic field along a horizontal line A,indicated by the black solid line in Fig.6(a2),and the two end points are(0,0.01),(0.025,0.01).

結合流場渦量分布云圖(圖7)可知,兩種磁場構型下,上游界面磁力線因R-M不穩(wěn)性的作用而發(fā)生嚴重扭曲,從而產(chǎn)生較強的洛倫茲力,在該洛倫茲力作用下,渦量沿界面兩側分布,且渦層相距甚遠,渦旋方向與無磁場時一致.下游界面處,磁力線扭曲程度小,其中縱向磁場因洛倫茲力更小,渦層距離較近,渦層之間會相互干擾,使得下游界面在磁場作用下仍存在擾動; 但橫向磁場構型下,初始磁場方向與流線垂直,相對于縱向磁場,能產(chǎn)生較大的洛倫茲力,渦量分層較縱向磁場更為明顯,因此橫向磁場對下游界面不穩(wěn)定性的控制效果更好.

圖8為無量綱后氣柱特征尺度隨時間的變化圖.以氣柱受擾動前的直徑D0=35 mm無量綱化氣柱長度和高度,分別用L/D和H/D表示,其中L為氣柱界面特征長度,H為氣柱界面高度; 無量綱時間τ=tWS/D0,其中WS是入射激波的速度;B0=0 T、B1=0.01 T和B2=0.01 T分別為無磁場、縱向磁場以及橫向磁場構型.如圖8(a)所示,無論有無磁場,在激波沖擊下,L迅速減小,后期隨著界面非線性擾動不斷發(fā)展,L增加,且三種情況下L到達最小值的時間一樣,因此磁場對波系演化的干擾比較小.此外,兩種磁場構型均能控制L的增長,且橫向磁場構型控制效果更好; 圖8(b)表明:H波動增加,縱向磁場能在一定程度上控制H的增長,但橫向磁場反而加速了H的增長,這與橫向磁場能產(chǎn)生較大的洛倫茲力相關.

圖7 t=600 μs時界面渦量分布圖(a)無磁場,B=0 T;(b)縱向磁場,B1=0.01 T;(c)橫向磁場,B2=0.01 TFig.7.The vorticity distribution in the vicinity of the density interface at t=600 μs:(a)in the absence of magnetic fields,B=0 T;(b)in the presence of longitudinal magnetic fields,B1=0.01 T;(c)in the presence of transverse magnetic fields,B2=0.01 T.

圖8 界面特征尺寸隨時間變化圖(a)長度(L);(b)高度(H).D0=35 mm; Ws: 入射激波速度; t: 時間Fig.8.The evolution of characteristic scales of the bubble:(a)L,length;(b)H,height.D0=35 mm; Ws,the velocity of the incident shock wave; t,time.

3.5 DMD

DMD能從復雜的流體現(xiàn)象中提取出具有代表性的時空擬序結構(coherent structures).290 μs后復雜波系基本耗散,我們取290—340 μs之間的50個渦量圖進行DMD,擬對后期流場不穩(wěn)定性進行分析,具體的DMD算法如下:

圖9 對X SVD后的特征值圖Fig.9.The SVD of X.

由圖9可知,X的前21個特征值對應的特征模態(tài)能反映90%以上的流場信息,因此,本文取r=21進行SVD分解,在保證流場信息完整性的同時大大減少第四步的計算量.

其中*代表共軛轉置.此時,

第三步,假設矩陣A是連接X和X′的最適矩陣(X′=AX ),即A能將上一時刻的流場數(shù)據(jù)信息X推進至下一時刻X′,可得

第四步,將A(n階方陣)投影到X的正交基U上得到(r階方陣).可見對X進行r階SVD 分解能大大減少計算量.

W的列向量由特征向量組成; Λ 是對角陣,其對角元是相應的特征值λk.

第六步,重構矩陣A.其中A的特征值由 Λ 給出,特征向量為[30]:

第七步,得到A的特征值和特征向量后,可重構渦量圖.令ωk=ln(λk)/Δt,Ω=diag(ω)可得

b為初始時刻各個模態(tài)對應的振幅.記初始時刻為X1,可得 X1=Φ?b,則 b=Φ?X1

由A的特征值λk和模態(tài),對有無磁場作用下界面不穩(wěn)定性展開進一步研究.設Y0為某一時刻流場信息,則后續(xù)時刻流場信息 Y1、Y2,…,YN為:

由(13)式可知,后期流場信息與 Λ 的對角元λk=a+ib密切相關,其中a反映流場穩(wěn)定性,b反映擾動變化頻率.a＞ 1則該特征值對應模態(tài)不穩(wěn)定,a< 1則該特征值對應模態(tài)穩(wěn)定; 且b越大,擾動頻率越大.以實數(shù)為x軸,虛數(shù)為y軸,三種情況下流場特征值λk的如圖10所示,因a是實數(shù),其特征值會沿實軸對稱分布[20,21].其中B0_Eigenvalues、B1_Eigenvalues、B2_Eigenvalues分別對應無磁場、縱向磁場、橫向磁場構型.單位圓(綠色實線)外的特征值反映不穩(wěn)定模態(tài),且特征值離圓心越近,則相應的模態(tài)越穩(wěn)定.本文三種情況下的DMD特征值均在單位圓內,表明發(fā)展期流場均趨于穩(wěn)定.且無磁場、縱向及橫向磁場三種情況下,基于DMD算法重構的渦量圖與原始渦量圖一致(圖11),可見本文DMD算法在有無磁場情況下能準確地還原流場信息.因此可將DMD技術用于界面不穩(wěn)定性研究.

圖10 DMD的特征值Fig.10.The eigenvalues of DMD.

圖11 t=290 μs時原始渦量和DMD重構渦量圖(a1)無磁場 B0=0 T,原始渦量圖;(a2)縱向磁場 B1=0.01 T,原始渦量圖;(a3)橫向磁場 B2=0.01 T,原始渦量圖;(b1)無磁場 B0=0.0 T,DMD重構渦量圖;(b2)縱向磁場 B1=0.01 T,DMD重構渦量圖;(b3)橫向磁場 B2=0.01 T,DMD重構渦量圖Fig.11.The distribution of original vorticities and DMD reconstructed vorticities at t=290 μs:(a1)Original vorticities,B0=0 T,hydro cases;(a2)original vorticities,B1=0.01 T,longitudinal magnetic fields;(a3)original vorticities,B2=0.01 T,transverse magnetic fields;(b1)DMD reconstructed vorticities,B0=0 T,hydro cases;(b2)DMD reconstructed vorticities,B1=0.01 T,longitudinal magnetic fields;(b3)DMD reconstructed vorticities,B2=0.01 T,transverse magnetic fields.

圖12 無磁場、縱向和橫向磁場下DMD的四個不同特征值對應的模態(tài)圖(a1)無磁場,λ1=(0.9764,0.0000);(a2)無磁場,λ2=(0.9061,0.2856);(a3)無磁場,λ3=(0.8236,0.5226);(a4)無磁場,λ4=(0.3514,0.8943);(b1)縱向磁場,λ1=(0.9816,0.0000);(b2)縱向磁場,λ2=(0.9423,0.1925);(b3)縱向磁場,λ3=(0.8212,0.5150);(b4)縱向磁場,λ4=(0.3929,0.8828);(c1)橫向磁場,λ1=(0.9648,0.0000);(c2)橫向磁場,λ2=(0.9601,0.1703);(c3)橫向磁場,λ3=(0.8314,0.4774);(c4)橫向磁場,λ4=(0.3718,0.8279)Fig.12.DMD modes with respect to four different eigenvalues in hydro,longitudinal and transverse magnetic fields:(a1)In hydro field,λ1=(0.9764,0.0000);(a2)in hydro field,λ2=(0.9061,0.2856);(a3)in hydro field,λ3=(0.8236,0.5226);(a4)in hydro field λ4=(0.3514,0.8943);(b1)in longitudinal magnetic field,λ1=(0.9816,0.0000);(b2)in longitudinal magnetic field,λ2=(0.9423,0.1925);(b3)in longitudinal magnetic field,λ3=(0.8212,0.5150);(b4)in longitudinal magnetic field,λ4=(0.3929,0.8828);(c1)in transverse magnetic field,λ1=(0.9648,0.0000);(c2)in transverse magnetic field,λ2=(0.9601,0.1703);(c3)in transverse magnetic field,λ3=(0.8314,0.4774);(c4)in transverse magnetic field,λ4=(0.3718,0.8279).

三種情況下,DMD的不同特征值對應的模態(tài)如圖12所示.特征值λ1對應的模態(tài)反映了流場中穩(wěn)定渦結構,其包含了主要流場信息;λ2—λ4反映了流場中高頻小渦序列,且小渦擾動頻率依次增加.可知,無磁場、縱向和橫向磁場構型下,DMD均能清晰的將兩種不同尺度擾動提取出來; 雖然磁場作用下界面渦量分層,但分層的渦量中間仍有小渦擾動,其縱向磁場下擾動更多; 無磁場時氣柱上下游均存在小渦擾動,而縱向磁場作用下小渦擾動集中在下游,橫向磁場下的小渦擾動集中在上游.此外,流場發(fā)展后期,三種情況下流場均較穩(wěn)定,第一模態(tài)的大渦低頻擾動能反映流場主要信息,第二至第四模態(tài)的小渦高頻擾動在大渦外圍不斷卷起,且渦擾動頻率依次增加,渦強度不斷減小.相比于同一模態(tài)的無磁場情況,磁場作用下小渦擾動的頻率不斷減小,橫向磁場下擾動頻率最小.因此,磁場能抑制小渦擾動,且橫向磁場控制效果更好.

4 結 論

基于理想MHD,本文對無磁場、橫向和縱向磁場構型下激波與輕質(97%N2+3% SF6)圓形氣柱界面相互作用過程進行了數(shù)值研究,得到以下結論:

縱向和橫向磁場對復雜波系的演化過程影響甚微,特征波系演化時間與無磁場時一致,但磁場能抑制界面不穩(wěn)定性發(fā)展,且相同強度下,橫向磁場抑制效果更佳.其中,三種情況下入射激波上下段均在氣柱外發(fā)生非規(guī)則反射,中間段穿過氣柱形成透射激波,隨后該激波在氣柱內來回振蕩,并多次于氣柱界面形成透射-反射激波結構.無磁場時,界面卷起不穩(wěn)定渦序列,SF6射流穿過下游界面.兩種磁場下,界面相比于無磁場時光滑,但縱向磁場下界面仍有少許擾動,而橫向磁場下,界面十分更光滑,SF6射流不再穿過界面.定量分析還表明,兩種磁場均能抑制界面變形.

此外,因R-M不穩(wěn)定性的作用,上游界面處,磁力線發(fā)生嚴重扭曲,產(chǎn)生較大的洛倫茲力,使渦量沿界面兩側分層,渦層相距較遠; 而下游界面處,磁力線扭曲程度較小,洛倫茲力小,渦層距離較近.由于橫向磁場的初始磁場方向基本與流場速度垂直,其產(chǎn)生的洛倫茲力較縱向磁場大,下游界面處渦量分層相對清晰.

最后,本文采用DMD對界面不穩(wěn)定性進行了研究,結果顯示: DMD能將不同擾動渦分別提取出來,其中第一模態(tài)的大渦反映了流場的基本信息,其余模態(tài)的小渦反映了高頻擾動序列.無磁場時,氣柱上下游均存在小渦擾動,而縱向和橫向磁場作用下小渦擾動分別集中在上游和下游.磁場作用渦層中仍存在小渦擾動,縱向磁場下擾動更多;三種情況下,小渦擾動頻率依次減小,這表明磁場能抑制小渦擾動頻率,且橫向磁場的抑制效果更好.