張艷艷 陳家麟 查國橋 周世平

(上海大學(xué)物理系,上海市高溫超導(dǎo)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,上海 200444)

1 引 言

大約在 45年前,前蘇聯(lián)科學(xué)家 Berezinskii[1]猜測奇頻s-波配對態(tài)作為一個(gè)基態(tài)可存在于液氦超流中.隨著鈣鈦礦銅氧化物超導(dǎo)電性的發(fā)現(xiàn),人們也曾嘗試探討這類超導(dǎo)體中的奇頻配對態(tài)[2-4].如 Pauli 不相容原理所要求,在同一時(shí)刻置換一對電子的坐標(biāo)和自旋時(shí),電子對關(guān)聯(lián)波函數(shù)振幅將要改變符號.一個(gè)頻域?yàn)榕紝ΨQ的自旋單態(tài) s-波/d-波、或者一個(gè)自旋三重態(tài) p 波對關(guān)聯(lián)函數(shù)就遵守該準(zhǔn)則.基于這一基本對稱性的考慮,人們建議在一個(gè)自旋旋轉(zhuǎn)或者是平移對稱破缺的非均勻超導(dǎo)系統(tǒng)中,可望存在奇頻自旋三重態(tài) s 波[5],或奇頻自旋單態(tài) p 波[6].事實(shí)上,有跡象表明,頻域奇稱配對態(tài)極有可能是在半金屬[7,8]和基于鈥/鈷[9,10]的超導(dǎo)異質(zhì)結(jié)中承載著長程超流的態(tài).盡管如此,無須引入對稱破缺場或者是磁性拓?fù)淙毕莸那疤嵯?在一個(gè)均勻的超導(dǎo)系統(tǒng)中仍未見存在奇頻 s 波配對態(tài)的證據(jù).然而,Annica等[11]的工作 卻為尋找奇頻配對態(tài)帶來一絲曙光,他們建議源于鐵基超導(dǎo)序參量奇-偶宇稱的軌道耦合可望為奇頻配對態(tài)提供一條有效路徑.其實(shí),如此的相互作用在多帶超導(dǎo)體如鐵基超導(dǎo)體[12]和重費(fèi)米子超導(dǎo)體[13]中普遍存在著; 而奇-偶宇稱的帶間/軌道間的耦合對基態(tài)對關(guān)聯(lián)函數(shù)的對稱性注入了一個(gè)約束機(jī)制,允許在不違反 Pauli 不相容原理的前提下,實(shí)現(xiàn)自旋單態(tài)與三重態(tài)的轉(zhuǎn)換; 進(jìn)而可以引發(fā)偶頻-奇頻配對態(tài)間的轉(zhuǎn)換.

系統(tǒng)的哈密頓量對稱性的自發(fā)破缺往往能誘導(dǎo)出新的元激發(fā).例如,整數(shù)量子Hall態(tài)[14]與分?jǐn)?shù)量子Hall 態(tài)[15]以及基于能帶反轉(zhuǎn)的強(qiáng)自旋-軌道耦合作用所導(dǎo)致的自旋量子Hall效應(yīng)[16,17]等都是對稱破缺誘導(dǎo)的新物質(zhì)態(tài)強(qiáng)有力的佐證.多帶超導(dǎo)中,不同對稱性的對態(tài)帶間耦合為非平庸的電子對態(tài)和奇異渦旋束縛態(tài)提供一種機(jī)制.僅以相對簡單的雙帶硼化鎂超導(dǎo)體為例,基于一個(gè)雙帶的 GL自由能泛函,Babaev和Speight[18]提出可能存在任意分?jǐn)?shù)量子磁通,以及由 Meissner 疇和渦旋團(tuán)簇所組合成的 “semi-Meissner”態(tài)的建議.Moshchalkov等[19]和Nishio等[20]報(bào)道了外磁場中硼化鎂單晶超導(dǎo)中 “條紋與蜘蛛網(wǎng)狀” 共存的磁通渦旋結(jié)構(gòu)實(shí)驗(yàn)觀測現(xiàn)象,并建議在渦旋間相互作用為長程相吸引、短程相排斥相互競爭框架下理解之,提出了所謂 “Type-1.5 ” 超導(dǎo)體的觀點(diǎn).然而,也有一些學(xué)者對 第 “1.5 類” 超導(dǎo)體和分?jǐn)?shù)量子磁通的觀點(diǎn)提出了質(zhì)疑.例如,文獻(xiàn)[21-23]指出,由于兩個(gè)帶的對關(guān)聯(lián)函數(shù)必須耦合在同一個(gè)規(guī)范場中,因而那種在傳統(tǒng)Ginzburg-Landau(GL)模型框架中兩個(gè)孤立的特征長度的假定是非本質(zhì)的.此外,在SU(2)模型框架下,? imánek[24]給出了雙帶超導(dǎo)體中由超導(dǎo)環(huán)流所屏蔽的一個(gè)單渦旋的磁通量依然是量子化(h/2e)的結(jié)論.由此可見,僅從澄清雙帶超導(dǎo)體中“semi-Meissner” 態(tài)是否為熱力學(xué)意義上的基態(tài)及其物理本質(zhì)角度,更為深入的研究顯得十分必要.

本文通過求解描述硼化鎂超導(dǎo)體的金茲堡-朗道模型,證明了 π 帶與 σ 帶間耦合確實(shí)提供了一個(gè)內(nèi)在的對稱破缺機(jī)制; 特別是,適當(dāng)?shù)奶荻锐詈蠌?qiáng)度下,可以誘導(dǎo)出一種新的疇結(jié)構(gòu); 其中對應(yīng)兩個(gè)帶的對勢函數(shù)相位差在疇內(nèi)部為一個(gè)恒定值,穿越疇壁卻顯示出劇烈變化,并由此誘導(dǎo)出自發(fā)磁偶極子.與σ?guī)У牧菍ΨQ結(jié)構(gòu)不同,繞晶面對稱軸每轉(zhuǎn)動90°該局域自發(fā)磁偶極子極性翻轉(zhuǎn)一次,具有二度旋轉(zhuǎn)對稱結(jié)構(gòu).與此旋轉(zhuǎn)對稱自發(fā)破缺相對應(yīng)的,允許存在時(shí)間反演破缺束縛態(tài)ψσ±iψπ; 與此同時(shí),自發(fā)磁性疇壁散射引起的自旋相反的電子的費(fèi)米波矢失配則允許自旋單態(tài)與自旋三重態(tài)的共存; 而一個(gè)偶宇稱的三重態(tài)必將是頻域奇稱的配對態(tài).

2 模 型

(1)式為一個(gè)表述雙帶超導(dǎo)的GL自由能泛函一般形式,

其中下標(biāo)i=1,2 以區(qū)別兩個(gè)凝聚帶的指標(biāo); 符號Δ1,Δ2和A為對勢函數(shù)和矢勢函數(shù).αi=νFi,Ni和Vi分別表示對應(yīng)帶費(fèi)米面電子的平均速度、態(tài)密度和吸引勢強(qiáng)度.定義轉(zhuǎn)變溫度為NiViln(2eγωi/πTi)=1 ,其中ωi為 Debye 頻率,γ表示 Euler 常數(shù).動量算符記為Π=iκ-1?+A,κ為等效 GL 參數(shù).符號γ1,γ2和γ3分別表示帶間Josephson 耦合、二階耦合和梯度耦合強(qiáng)度.

模型的參數(shù)值取決于具體材料費(fèi)米面處的電子結(jié)構(gòu).對硼化鎂化合物,M g+離子提供了導(dǎo)帶中的載流子,扮演著電荷庫的角色,其軌道運(yùn)動對電輸運(yùn)貢獻(xiàn)度卻不大; 而正六面頂角的硼軌道電子主導(dǎo)了材料的電行為.類似于苯環(huán)中碳原子 s p2軌道鍵合,一個(gè)元胞中六個(gè)頂角上最近鄰原子對軌道構(gòu)成了 σ 鍵,而剩余的那個(gè)p 軌道電子沿六角平面c-軸形成了 π 鍵.前者具有較強(qiáng)的電子-聲子耦合模,給出了2 維的 σ 主帶; 后者則呈現(xiàn)相對較弱的電子-聲子耦合,對應(yīng) π-帶配對.參考掃描隧道顯微鏡觀測數(shù)據(jù)[25]和緊束縛模型擬合結(jié)果[26],我們選取Δ1=7meV ,Δ2=2.35meV ,N1=0.4N0,N2=0.6N(0).其中N(0)=0.41 states/(eV·Cell·Spin),面內(nèi)費(fèi)米速度主帶(σ-band)的轉(zhuǎn)變溫度T1=39K ,而 π-帶的轉(zhuǎn)變溫度T2可以在(20—30)K 之間取值.

由這些參數(shù)出發(fā),在弱耦合極限下通過求解平衡態(tài)方程可以估算耦合參數(shù)強(qiáng)度.首先,假設(shè)約瑟夫森耦合項(xiàng)與 π-帶對勢有相同的溫度分布.弱耦合條件下其次,將γ1代入平衡態(tài)方程得到

利用松弛迭代公式(2)和周期性邊界條件(3)將自由能泛函極小化:

其中?j為松弛因子,取值范圍為(0,2).迭代精度,即相鄰兩次迭代所對應(yīng)的能量增量|δF|≤ 10-8.

其中g(shù)k(X)稱作生成函數(shù),θ和ck(k=1,2)為任意常數(shù).磁場平均強(qiáng)度B ≡2πm/|t1×t2|; 整數(shù)m表示外加磁場通量渦度,即Φ=mΦ0,|t1×t2|表示磁元胞的面積.方便起見,選取θ=ck=0 .

3 結(jié)果與討論

先討論面外垂直磁場下帶間耦合引起的相分離現(xiàn)象.為避免受限尺寸效應(yīng)對數(shù)值解的影響,我們選取足夠大的磁元胞尺寸Lx×Ly=128×128ξ2.圖1 給出溫度為T∈(T1,T2)時(shí)的計(jì)算結(jié)果,圖2給出了溫度為T

下面簡要分析引起一個(gè)四度旋轉(zhuǎn)對稱的渦旋格子到二度旋轉(zhuǎn)對稱格子的起因.由于渦旋芯附近波函數(shù)幅值較低,直接耦合項(xiàng)的貢獻(xiàn)可以忽略， 于是重點(diǎn)考慮梯度耦合項(xiàng)的貢獻(xiàn).一個(gè)梯度算符可以等效為一個(gè)軌道角動量.作為一階近似,渦旋芯附近該軌道角動量可表示為如圖1所示,π-帶與 σ-帶波函數(shù)相位繞向是彼此相反的,前者為逆時(shí)針方向,后者卻是順時(shí)針的.由此我們推斷,梯度耦合項(xiàng)對兩個(gè)不同帶的電子軌道施加了方向相反的角動量.如果有意識地引用“自旋”來描述該相位反向環(huán)繞效應(yīng),就可以假設(shè) σ-帶電子是自旋向上的,π-帶是下自旋.梯度耦合項(xiàng)則誘導(dǎo)出一個(gè)等效軌道磁場,相對于兩個(gè)互為相反的自旋帶彼此是反向的,這等同于 Rashba 自旋-軌道相互作用.由于其強(qiáng)度與兩個(gè)帶波函數(shù)模的乘積成正比,在合適的溫度下當(dāng)|ψπ|2=|ψσ|2時(shí),該等效軌道場強(qiáng)度達(dá)到最大值; 從而可望誘導(dǎo)相分離而形成新的兩度旋轉(zhuǎn)對稱的渦旋格子.

本節(jié)考慮零外場條件,探索與帶間耦合相對應(yīng)的自發(fā)對稱破缺所誘導(dǎo)的新物質(zhì)態(tài).溫度設(shè)置為T=0.1K,結(jié)果如圖3 所示,顯示出非常奇特的疇結(jié)構(gòu).坐標(biāo)空間中,除去環(huán)狀的疇壁近鄰區(qū)域外,兩個(gè)帶的波函數(shù)幅度ψ1和ψ2都是均勻不變的.與此同時(shí),它們的位相差在疇內(nèi)部也是一個(gè)不變的常量,但在非?？拷h(huán)形疇界的兩側(cè)呈現(xiàn)出急劇的凸陡,與此相對應(yīng)的自發(fā)場空間分布也一并示于圖中.環(huán)繞著環(huán)形疇壁,自發(fā)磁場的極性螺旋進(jìn)動,與六角對稱的晶面結(jié)構(gòu)不同,繞晶面對稱軸每轉(zhuǎn)動π/2弧度該局域自發(fā)磁偶極子極性翻轉(zhuǎn)一次,因而具有二度旋轉(zhuǎn)對稱.顯然,這是帶間耦合散射過程所導(dǎo)致的旋轉(zhuǎn)自發(fā)對稱破缺.而旋轉(zhuǎn)對稱自發(fā)破缺則允許存在時(shí)間反演破缺束縛態(tài)與此同時(shí),磁性疇壁散射引起的自旋相反的電子的費(fèi)米波矢失配則允許自旋單態(tài)與自旋三重態(tài)共存,而一個(gè)(軌道)偶宇稱的三重態(tài)必將是頻域奇稱的配對態(tài).事實(shí)上,頻域奇稱的配對態(tài)與自旋/軌道指標(biāo)輪換而反號的對態(tài)是互易的,由于關(guān)于軌道奇偶對換操作(P)和時(shí)間反演操作(T)服從這樣的原則: 作用于自旋單態(tài)TP=+1,作用于自旋三重態(tài) TP=—1.

圖1 當(dāng)溫度 T ∈(T1,T2),外-磁場磁通渦量 m=2 時(shí),四度旋轉(zhuǎn)對稱的Abriksov渦旋格子圖(a)-(c)分別為 π-帶和σ 帶序參量和磁場的空間分布圖;(e)(g)分別為對應(yīng)的等高圖;(d)和(h)分別為 π 帶和σ 帶波函數(shù)的相位分布圖,兩者的相位繞向彼此相反Fig.1.The fourfold rotational symmetric Abrikosov vortex for the superconductor with coupled π-and σ-pairings under the external magnetic flux of two quanta(m=2)and at the temperature T ∈(T1,T2): Panels(a)-(c)show the spatial distributions for π-and σ-channel amplitude and magnetic field H,respectively;(e)-(g)show the contour plots,respectively;(d)and(h)show the phase distribution for the π-and σ-channel,An opposite phase winding is indicated in the π-and σ-channels.

有必要強(qiáng)調(diào),不同于一個(gè)平庸的點(diǎn)缺陷,在那里局域?qū)莶ê瘮?shù)嚴(yán)格趨于零; 自發(fā)磁疇則是一種奇特的非平庸拓?fù)淙毕?尤其是電子局域坐標(biāo)穿越疇界時(shí),由于帶間波函數(shù)相位差的突變,可望誘發(fā)所謂的“相孤子”或者是“磁扭結(jié)”.而一個(gè)閉合的二度旋轉(zhuǎn)對稱扭結(jié)環(huán),正是一種拓?fù)浞瞧接沟腟kyrmion(斯格明子)結(jié)構(gòu).另一方面,外場中,一旦斯格明子模與Abrikosov磁通格子得以共存,則可望對前文提到的由Meissner疇和渦旋團(tuán)簇所構(gòu)成的“Semi-Meissner”現(xiàn)象給予一種解釋.此外,時(shí)間反演對稱破缺態(tài)究竟以何種方式呈現(xiàn),與超導(dǎo)體配對態(tài)對稱性是密切相關(guān)的,與此同時(shí),它還決定了相應(yīng)基態(tài)載流與否.基于此分析,在討論同樣是多帶超導(dǎo)體的鐵基超導(dǎo)體系的基態(tài)對稱性扮演了重要作用.更為細(xì)致的討論將在后續(xù)工作給出.

圖2 當(dāng)溫度 T=0.1K ,外磁 場磁 通渦量 m=2 時(shí),π-和σ-帶空間分 離的兩度旋 轉(zhuǎn)對 稱半渦旋圖(a)-(c)分別為 π-和σ-帶序參量和磁場的空間分布圖Fig.2.The twofold rotational symmetric semi-vortex unit,consisting of spatially separated π-wave and σ-channel cores at the temperature T=0.1K and under the external magnetic flux of two quanta(m=2),(a)-(c)show the contour plots for π-and σ-channel amplitude and magnetic field H,respectively.

圖3 當(dāng)溫度 T=0.1K 時(shí)自發(fā)場圖(a)-(c)分別為 π-帶和σ-帶序參量和磁場的空間分布圖;(d)-(f)分別為對應(yīng)的等高圖Fig.3.Spontaneous magnetic field at the temperature T=0.1K ,Panels(a))-(c)show the spatial distributions for π-andσchannel amplitude and spontaneous magnetic field H,respectively;(d))-(f)show the contour plots,respectively.

值得關(guān)注的是,近期多帶/多分量超導(dǎo)體時(shí)間反演對稱破缺態(tài)以及與其相關(guān)的非平庸渦旋態(tài)的討論引起了諸多研究者的關(guān)注.如Garaud等論述了多帶超導(dǎo)體中時(shí)間反演破缺態(tài)的熱電力學(xué)征兆[29,30]以及渦旋結(jié)構(gòu)變化[31].Lin等[32]分析了缺陷誘導(dǎo)的不同時(shí)間反演破缺(T-broken)態(tài)的特征.Grinenko等[33]給出了鐵砷超導(dǎo)體中時(shí)間反演破缺超導(dǎo)電性的觀點(diǎn),此外,時(shí)間反演破缺態(tài)支持了本文的疇結(jié)構(gòu),特別是疇界將一對簡并的時(shí)間反演破缺態(tài)ψσ±iψπ局域化[34].如果將ψσ±iψπ理解為內(nèi)稟軌道角動量為±1而與正/負(fù)自發(fā)磁場局域相對應(yīng),正如在向列超導(dǎo)體[35]和Bose-Einstein凝聚[36,37]冷原子系統(tǒng)中有望發(fā)現(xiàn)拓?fù)浞瞧接沟臏u旋態(tài)斯格明子態(tài)和Majorana零能模[38].

最后,利用微擾近似分析給出一個(gè)關(guān)于多帶超導(dǎo)體的典型相圖.定義產(chǎn)生、湮滅算符為其中H表示磁場強(qiáng)度.近似至ψ1,2的一次項(xiàng),并利用對易關(guān)系[p+,p-]=1,平衡態(tài)GL方程(2)式可寫為,

其中ι2=hc/2eH,α1=λ1,α2=λ2,γ1=和λ2=(1/2)N2(0)V2.為避免可能的指數(shù)發(fā)散,已將溫度函數(shù)ln(Ti/T)在Ti附近作Taylor級數(shù)展開至兩階項(xiàng).分析中,梯度耦合強(qiáng)度γc作為一個(gè)可變參量,取值范圍接下來,通過逐級近似遞推方式(這里考慮了零階與一階近似),給出相變場曲線方程.第一步,取γc零階近似下,(4)式退化為關(guān)于ψ1,ψ2的獨(dú)立的簡諧振子方程.記各自的基態(tài)為|0〉1,|0〉2,他們分別滿足然后,考慮耦合項(xiàng)的一階近似,粒子數(shù)表象中,|0〉1僅與|2〉2耦合,|0〉2僅與|2〉1疊加.于是,假設(shè)對應(yīng)兩個(gè)帶的本征態(tài)為其中c1,2和d1,2為待定的常數(shù).將代入到(4)式中,即可得到關(guān)于這些待定系數(shù)的方程組.由此可以求得本征值和本征態(tài).對于σ?guī)У淖钚”菊髦凳?取最低的本征值為零,即可得到相變場曲線方程,

將表征不同帶指標(biāo)的下標(biāo)互換,即可得到π-帶的相變場方程.由此描繪出的相圖示于圖4.可以看出,在略低于超導(dǎo)-正常相變的溫區(qū),尤其是π-帶電子間吸引勢較弱時(shí),體系是 σ 帶占優(yōu)的; 合適的溫度范圍內(nèi),當(dāng)|ψπ|與|ψσ|大體相當(dāng)時(shí),則是π-σ混合相,雙帶間的耦合是諸多反?，F(xiàn)象的主要誘因; 更低的溫區(qū),當(dāng)|ψπ|＞|ψσ|時(shí),帶間耦合強(qiáng)度反而變?nèi)趿?系統(tǒng)行為將是 π 帶占主導(dǎo).這樣的單帶-混合相-單帶相變或許是多帶/多分量超導(dǎo)體相圖中的一個(gè)普遍現(xiàn)象.

圖4 帶間耦合強(qiáng)度 γ c=0.5 時(shí)雙帶超導(dǎo)體MgB2相圖Fig.4.The phase diagram for the two-band superconductor MgB2 with the interband coupling strength γ c=0.5 .

4 結(jié) 論

基于一個(gè)半唯像的雙帶金茲堡-朗道模型,研究了雙帶超導(dǎo)體MgB2中奇頻配對態(tài)存在性問題.證明了帶間耦合特別是梯度耦合作用,可以誘導(dǎo)“半-渦旋”結(jié)構(gòu)以及四度旋轉(zhuǎn)對稱與二度旋轉(zhuǎn)對稱的渦旋格子相變.研究發(fā)現(xiàn),零外磁場下,帶間耦合所引起的自發(fā)磁場的極性繞晶面對稱軸每轉(zhuǎn)動π/2弧度翻轉(zhuǎn)一次,因而具有二度旋轉(zhuǎn)對稱.顯然,這是帶間耦合散射過程所導(dǎo)致的自發(fā)對稱破缺.一個(gè)旋轉(zhuǎn)對稱自發(fā)破缺則允許存在時(shí)間反演破缺束縛態(tài)與此同時(shí),磁性疇壁散射引起的自旋相反的電子的費(fèi)米波矢失配則允許自旋單態(tài)與自旋三重態(tài)共存,而一個(gè)(軌道)偶宇稱的三重態(tài)必將是頻域奇稱的配對態(tài).

事實(shí)上,如果將自發(fā)磁疇理解為一個(gè)磁性正常疇,則整個(gè)體系就等價(jià)于一個(gè)磁性金屬-超導(dǎo)結(jié)結(jié)構(gòu).與磁性界面散射相對應(yīng)的反常Andreev 反射和近鄰效應(yīng)所引起的配對態(tài)對稱性,如自旋單態(tài)與三重態(tài)的轉(zhuǎn)換[39]、s-波超導(dǎo)局域態(tài)密度中的零能峰[40]等都是存在奇頻s-波配對態(tài)的強(qiáng)有力佐證.

感謝張凌峰博士(Dr.L-F Zhang)富有成果的討論.