(浙江工業(yè)大學(xué) 信息工程學(xué)院，杭州 310023)

0 引言

隨著機械臂的應(yīng)用越來越廣泛，操作要求越來越復(fù)雜化，精密化，單個機械臂系統(tǒng)已經(jīng)逐漸不能夠滿足控制要求。與單個機械臂相比，兩個或多個機械臂可以完成更復(fù)雜的生產(chǎn)任務(wù)，如運輸、涂裝、焊接和裝配等[1-2]。多機械臂系統(tǒng)是一個多輸入多輸出，高度非線性，耦合性強的復(fù)雜系統(tǒng)，并且又存在著參數(shù)攝動，內(nèi)部摩擦、外界干擾以及未建模動態(tài)等不確定性，這些因素給多機械臂同步跟蹤控制增加了難度。因此，提高多機械臂系統(tǒng)的穩(wěn)定性和精確性，實現(xiàn)多機械臂同步控制，具有重要的研究意義和實用價值[3-4]。

在多機械臂的同步控制過程中，最重要的是保持機械臂之間的同步性能，所以同步控制方法是保證多機械臂系統(tǒng)同步運動的關(guān)鍵手段。基于多機械臂同步控制技術(shù)重要的研究意義及現(xiàn)實意義，近年來，許多國內(nèi)外學(xué)者進(jìn)行了研究和探索，并且提出了一系列的同步控制策略，如：主從控制，領(lǐng)導(dǎo)者-跟隨者控制，相鄰交叉耦合控制等[5-7]。文獻(xiàn)[5]結(jié)合反饋控制器和非線性觀測器，設(shè)計了兩個機械臂的主從同步控制策略。主從控制方式的缺點是當(dāng)主機械臂受到擾動時對從屬機械臂產(chǎn)生影響，反之，當(dāng)從屬機械臂受到擾動時，主機械臂無法獲得從屬機械臂的反饋信號。文獻(xiàn)[6]中，提出一種領(lǐng)導(dǎo)者-跟隨者通信網(wǎng)絡(luò)拓?fù)渫娇刂品椒ǎO(shè)計的通信網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涠x領(lǐng)導(dǎo)者相互之間以及跟隨者之間的同步誤差，并且通過所設(shè)計的控制器來實現(xiàn)領(lǐng)導(dǎo)機械臂和跟隨機械臂的精確跟蹤軌跡。文獻(xiàn)[7]采用了交叉耦合同步控制策略，實現(xiàn)了多機械臂系統(tǒng)的位置誤差和同步誤差的漸進(jìn)收斂。上述提到的同步控制算法中，相鄰交叉耦合策略在多伺服系統(tǒng)中的運用最為普遍[8]。相鄰交叉耦合控制是將每個機械臂自身反饋誤差和與之相鄰的兩個機械臂之間的同步誤差作為反饋信號。其優(yōu)點是當(dāng)機械臂的數(shù)量增多時，控制器設(shè)計的復(fù)雜性不會隨之增加。文獻(xiàn)[8]提出了一種基于相鄰交叉耦合同步控制策略的多電機系統(tǒng)控制方法，保證了位置跟蹤誤差和同步誤差同時收斂。

為了進(jìn)一步提高位置跟蹤控制性能，多機械臂的控制算法逐漸得到國內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注。目前應(yīng)用于多機械臂系統(tǒng)的算法主要有基于模型控制、PID控制、滑?？刂?、自適應(yīng)控制和魯棒控制等。在眾多的方法中，滑?？刂埔驗槠漪敯粜院茫€(wěn)定性高，并且易于實現(xiàn)等優(yōu)點受到了廣泛關(guān)注[9-11]。文獻(xiàn)[9]設(shè)計了基于自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的積分滑?？刂撇呗?，實現(xiàn)兩個機械臂的同步控制。文獻(xiàn)[10]結(jié)合參數(shù)自適應(yīng)和干擾觀測器提出了一種多機械臂分散模糊控制，以保證跟蹤誤差漸進(jìn)收斂。文獻(xiàn)[11]針對多個機械臂系統(tǒng)開發(fā)了一種基于自適應(yīng)終端滑模的同步控制算法，以保證跟蹤誤差和同步誤差在有限時間內(nèi)收斂到零。在大多數(shù)有限時間控制方案中，收斂時間的上界與系統(tǒng)初始條件有關(guān)，這意味著當(dāng)初始系統(tǒng)狀態(tài)發(fā)生變化時，收斂時間上界也隨之改變。近年來，在文獻(xiàn)[12]中提出了一種固定時間的控制方案，其收斂時間的上限與系統(tǒng)初始狀態(tài)無關(guān)。隨后，固定時間控制方案被廣泛應(yīng)用于航天器、多智能體系統(tǒng)等領(lǐng)域[13]。然而，固定時間控制在具有模型不確定性的多機械臂系統(tǒng)中的研究比較少。

因此，文中針對多機械臂同步系統(tǒng)提出一種基于相鄰交叉耦合的固定時間同步控制算法。通過每個機械臂自身反饋誤差和與之相鄰的兩個機械臂之間的同步誤差作為反饋信號，結(jié)合機械臂的跟蹤誤差，得到相鄰交叉耦合誤差，用于固定時間滑模控制器，實現(xiàn)多機械的跟蹤誤差與同步誤差在固定時間內(nèi)收斂。同時，設(shè)計RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值更新律估計系統(tǒng)非線性動力學(xué)模型，從而減小其對系統(tǒng)控制的影響。然后通過李雅普諾夫定理分析系統(tǒng)的收斂性及穩(wěn)定性。最后，仿真結(jié)果證明方法的有效性。

1 系統(tǒng)模型及預(yù)備知識

1.1 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種性能良好的前向網(wǎng)絡(luò)，具有良好的函數(shù)逼近能力、收斂速度快等優(yōu)點，通常用于對未知干擾及模型不確定部分的估計。徑向基函數(shù)是中心徑向?qū)ΨQ的、局部分布的、非負(fù)衰減的非線性函數(shù)，下面給出的RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)用于近似連續(xù)函數(shù)f(x):Ra→Rb:

f(x)=W*Tφ(x)+δ

(1)

(2)

1.2 多機械臂系統(tǒng)模型

考慮由n個機械臂組成的多機械臂系統(tǒng)，其中每個機械臂有m個關(guān)節(jié)，則其動力學(xué)方程為[11]:

(3)

機械臂系統(tǒng)的動力學(xué)特性[14]如下：

特性1：慣性矩陣H(q)是對稱正定矩陣，存在正數(shù)h1,h2，滿足如下不等式:

h1‖x‖2≤xTH(q)x≤h2‖x‖2,?x∈Rmn

(4)

(5)

特性3：機械臂系統(tǒng)滿足如下線性關(guān)系:

(6)

1.3 相鄰交叉耦合同步策略

為了提高多機械臂的同步性能，減少控制器設(shè)計的復(fù)雜程度，本文采用了多機械臂相鄰交叉耦合同步控制策略，其結(jié)構(gòu)如圖1所示。

ei=qd-qi

(7)

εi=2ei-ei-1-ei+1

(8)

根據(jù)式(7)和(8)可以得到如下表達(dá)形式:

ε=Te

(9)

其中:

(10)

E=e+αε=(I+αT)e=Ae

(11)

其中，α為同步系數(shù)且為正定矩陣。由式(11)可得(I+αT)為一個滿秩矩陣，由此可以得到當(dāng)相鄰交叉耦合誤差E=0時，位置跟蹤誤差e=0，同時根據(jù)式(9)可以得到，同步誤差ε=0。

本文的控制目標(biāo)是針對多機械臂系統(tǒng)(3)，設(shè)計固定時間滑?？刂破鳓?，實現(xiàn)相鄰交叉耦合誤差E在固定時間內(nèi)收斂到零，從而實現(xiàn)跟蹤誤差e和同步誤差ε在固定時間內(nèi)收斂到零。

2 固定時間同步控制

在本節(jié)中，針對動力學(xué)模型未知的多機械臂系統(tǒng)，構(gòu)造固定時間滑模面，并在此基礎(chǔ)上設(shè)計固定時間滑?？刂破鳎ＷC系統(tǒng)的跟蹤誤差與同步誤差在固定時間滑?？刂破?，保證系統(tǒng)的跟蹤誤差與同步誤差在固定時間內(nèi)收斂。同時設(shè)計神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)更新律來逼近系統(tǒng)未知動力學(xué)模型，從而提高系統(tǒng)的魯棒性。然后利用李雅普諾夫理論證明系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

2.1 固定時間滑模面

針對系統(tǒng)(3)，設(shè)計如下固定時間終端滑模面:

(12)

(13)

對固定時間滑模面S求導(dǎo)可得:

(14)

由于γ2-1<0，所以當(dāng)E=0時滑模面會存在奇異值問題，為了避免奇異值的出現(xiàn)，將ur調(diào)整為:

(15)

其中:

(16)

(17)

2.2 控制器設(shè)計

根據(jù)式(14)可以得到:

(18)

將公式(18)代入多機械臂系統(tǒng)(3)可得:

(19)

其中非線性機械臂方程為:

(20)

如果非線性機械臂方程是已知的，則控制器可以設(shè)計為:

τ=f+K1Sρ1+K2Sρ2

(21)

其中:K1,K2>0且為正定對角矩陣，ρ1>1，0<ρ2<1為控制器參數(shù)。將控制器(21)帶入多機械臂系統(tǒng)(3)可以得到如下閉環(huán)系統(tǒng):

(22)

根據(jù)李雅普諾夫定理可以很容易證明出閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，但是如果f中的系統(tǒng)參數(shù)和結(jié)構(gòu)是未知的，上述的控制器則不能保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性。因此，采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來逼近非線性方程f。

假設(shè)存在一個理想權(quán)重向量W*，根據(jù)公式(1)可以將非線性機械臂方程(20)寫為如下形式:

f=W*Tφ(x)+δ

(23)

(24)

其中:

(25)

將控制器(24)帶入式(19)可以得到以下方程:

(26)

(27)

其中:Γ為正定對角矩陣。

2.3 穩(wěn)定性證明

引理1[14]：考慮如下非線性系統(tǒng):

(28)

其中:x(0)=0，F(xiàn)(0)=0，x∈Rn。假設(shè)存在李雅普諾夫函數(shù)V(x)，滿足以下不等式:

(29)

其中:α>0，β>0，01，則系統(tǒng)固定時間穩(wěn)定，系統(tǒng)狀態(tài)變量收斂時間上界滿足下列不等式關(guān)系:

(30)

定理1：針對多機械臂系統(tǒng)(3)，當(dāng)采用固定時間滑模面(17)時，在固定時間滑模控制器(24)和權(quán)值自適應(yīng)更新律(27)的作用下，系統(tǒng)的穩(wěn)定性可以得到保證，并且可以得到系統(tǒng)的所有信號均有界。

證明：構(gòu)造如下李雅普諾夫函數(shù):

(31)

對V1求時間導(dǎo)數(shù)，并將式(26)代入，可得:

(32)

根據(jù)機械臂的特性2，并且對式(32)的進(jìn)一步化簡可以得到如下關(guān)系式:

(33)

其中:

(34)

證明：

(a)構(gòu)造如下李雅普諾夫函數(shù):

(35)

對V2(t)求時間導(dǎo)數(shù)，并將式(26)代入，可得:

-STK1Sρ1-STK2Sρ2

(36)

根據(jù)性質(zhì)1可以得到:

(37)

根據(jù)引理1可知，滑模面S在固定時間內(nèi)收斂到零，且收斂時間滿足t1≤T1。

(b)當(dāng)S=0時，根據(jù)式(17)可得:

(38)

構(gòu)建如下李雅普諾夫函數(shù):

(39)

對V3(t)求導(dǎo)數(shù)，并將式(38)帶入，可得:

(40)

根據(jù)引理1，可以推斷出相鄰交叉耦合誤差E在固定時間內(nèi)收斂到零，收斂時間滿足t

3 仿真分析

3.1 系統(tǒng)參數(shù)設(shè)置

為驗證上述方法的有效性，選取4個二關(guān)節(jié)多機械臂系統(tǒng)為研究對象進(jìn)行仿真驗證，其表達(dá)式為:

(41)

Gi1(q)=(mi1+mi2)gri1cos(qi2)+mi2gri2cos(qi1+qi2)

Gi2(q)=mi2gri2cos(qi1+qi2)。

i=1,2,3,4，mi1,mi2為關(guān)節(jié)質(zhì)量，ri1,ri2為關(guān)節(jié)半徑，Ji1,Ji2為關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動慣量，g為重力加速度。

文中設(shè)計的針對多機械臂系統(tǒng)提出固定時間同步控制方法，包含滑模面(17)、控制器(24)及權(quán)值更新律(27)。為了驗證所提控制方法能夠使系統(tǒng)的收斂時間不受初始值影響，設(shè)置兩組系統(tǒng)變量初始值，利用MATLAB軟件建立仿真模型并進(jìn)行仿真分析。

3.2 仿真實例分析

當(dāng)系統(tǒng)變量初始值為I時，系統(tǒng)仿真結(jié)構(gòu)如圖2～4所示。由圖2可見，多機械臂的每個關(guān)節(jié)的角位置跟蹤誤差收斂時間約為1.8秒，誤差收斂精度在10-3rad，由此可見，固定時間滑?？刂品椒軌?qū)崿F(xiàn)較快的位置誤差收斂速度和較高的誤差收斂精度。由圖3可見，系統(tǒng)同步誤差收斂時間為1.8秒左右，由此可以看出文中所提的相鄰交叉耦合同步控制策略的控制器具有較好的同步性能。為驗證神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的函數(shù)逼近能力，仿真中給出了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對未知動力學(xué)方程的跟蹤估計曲線，如圖4所示。從圖中可以看出，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在1.6 s左右準(zhǔn)確跟蹤到系統(tǒng)的未知模型，驗證了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法良好的函數(shù)逼近能力。

圖2 初始值I時多機械臂位置跟蹤誤差

圖3 初始值I時多機械臂位置同步誤差

圖4 初始值I時神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近

為驗證本文的所提方法的固定時間收斂的特性，針對系統(tǒng)初始位置變化的情況下，對比系統(tǒng)位置跟蹤誤差收斂時間是否改變。如圖5所示，當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)初始變量設(shè)置為初始值II時，多機械臂的關(guān)節(jié)角位置跟蹤誤差收斂時間約為1.8秒。與初始值I時的收斂時間相比基本不變。仿真結(jié)果與文中定理2的證明結(jié)果保持一致，驗證了固定時間控制方法中系統(tǒng)的收斂速度與系統(tǒng)初始狀態(tài)無關(guān)，由此證明了上述所提方法的有效性。

4 結(jié)論

針對系統(tǒng)模型未知的多機械臂同步系統(tǒng)，提出一種基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的固定時間滑模控制方法。首先定義了相鄰交叉耦合誤差，并以此設(shè)計固定時間滑模面和控制器，從而實現(xiàn)多機械臂的位置同步誤差和跟蹤誤差在固定時間內(nèi)收斂到零。其次，設(shè)計RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值更新律，有效實現(xiàn)了對系統(tǒng)未知動力學(xué)模型的逼近，提高了控制性能。通過李雅普諾夫定理證明了系統(tǒng)位置跟蹤誤差與同步誤差的固定時間收斂性能。最后，4個機械臂控制系統(tǒng)的仿真結(jié)果表明，該控制方法收斂速度不受初始值影響。