康昊華12，劉立龍*12

(1.桂林理工大學(xué)測(cè)繪地理信息學(xué)院， 廣西桂林541004;2.廣西空間信息與測(cè)繪重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 廣西桂林541004)

高鐵高鐵沉降變形觀測(cè)數(shù)據(jù)是反映高鐵路線運(yùn)營(yíng)狀況的重要指標(biāo)?？茖W(xué)分析高鐵沉降變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)，建立實(shí)時(shí)變形預(yù)測(cè)模型，對(duì)高鐵安全穩(wěn)定運(yùn)行具有重要意義。因此，在高鐵路線投入運(yùn)營(yíng)后，仍然需要長(zhǎng)期對(duì)其進(jìn)行變形監(jiān)測(cè)，并基于監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)后期變形趨勢(shì)進(jìn)行預(yù)測(cè)。

目前，常見(jiàn)變形預(yù)測(cè)模型的建立主要是基于一種數(shù)學(xué)手段，這些手段包括時(shí)間序列法、小波分析法、灰色理論和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法等[1-4]。在實(shí)際工作中，單一的預(yù)測(cè)方法各有其優(yōu)缺點(diǎn)，傳統(tǒng)的灰色預(yù)測(cè)模型GM(1,1)作為最基本的預(yù)測(cè)模型，具有算法簡(jiǎn)單、預(yù)測(cè)結(jié)果可靠性高、較為方便等優(yōu)點(diǎn)，而被廣泛應(yīng)用于高鐵沉降預(yù)測(cè)評(píng)估工作中[5-6]；但在實(shí)際的運(yùn)用過(guò)程中由于高鐵工程的線上工程壓力大，測(cè)量精度要求高，由其他因素帶來(lái)的測(cè)量誤差在其中被明顯放大呈現(xiàn)出“小沉降，大波動(dòng)”的現(xiàn)象[7]，因此在運(yùn)用原始數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)處理時(shí)往往不能獲取較好預(yù)測(cè)結(jié)果；其次傳統(tǒng)的GM(1,1)模型在預(yù)測(cè)較長(zhǎng)時(shí)間的數(shù)據(jù)時(shí)，由于數(shù)據(jù)累加常常出現(xiàn)預(yù)測(cè)結(jié)果發(fā)散的現(xiàn)象，且在預(yù)測(cè)處理規(guī)律變化不明顯、數(shù)據(jù)起伏較大的情況時(shí)結(jié)果并不理想。

針對(duì)上述單一法受原始數(shù)據(jù)受噪聲影響大、長(zhǎng)期預(yù)測(cè)不準(zhǔn)確的問(wèn)題，本文提出了一種基于小波去噪的自適應(yīng)GM(1,1)-MC組合模型。首先運(yùn)用小波去噪原理對(duì)原始監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行去噪處理，消除原始數(shù)據(jù)中的隨機(jī)擾動(dòng)誤差提升數(shù)據(jù)質(zhì)量，隨后運(yùn)用自適應(yīng)灰色預(yù)測(cè)模型進(jìn)行預(yù)測(cè)淡化原始數(shù)據(jù)中老舊數(shù)據(jù)的影響，最后運(yùn)用馬爾科夫修正模型以期提高組合模型在趨勢(shì)性分析上的預(yù)測(cè)精度和準(zhǔn)確性。

1 基于小波的自適應(yīng)GM(1,1)-MC組合模型原理

1.1 小波去噪原理

小波具有對(duì)多分辨率的時(shí)域與頻域進(jìn)行分析這一功能，通過(guò)對(duì)原始數(shù)據(jù)的多尺度分解與重構(gòu)能夠有效地剔除原始數(shù)據(jù)中的噪聲擾動(dòng)，從而提升變形數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)精度。通常情況下,本文將一個(gè)含噪聲的信號(hào)表示為：

f(t)=s(t)+g(t)。

(1)

首先對(duì)含噪信號(hào)進(jìn)行離散化的小波縮放，獲得一組離散信號(hào)f(n)。

(2)

式中，ωf(j,k)是變換后的小波系數(shù)，j=1,2,3,…,J為分解尺度數(shù)，k為平移因子。隨后針對(duì)性擇取基函數(shù)對(duì)該信號(hào)進(jìn)行一維小波，得到J尺度下的J個(gè)細(xì)節(jié)分量和J個(gè)近似分量。信號(hào)f(n)的正交小波變換的分解方法如式(3)：

(3)

其中，cj-1為近似小波系數(shù)，dj-1為細(xì)節(jié)小波系數(shù)。最后采用小波重構(gòu)獲取消噪之后的小波原信號(hào)估計(jì)值，其重構(gòu)公式為：

(4)

1.2 自適應(yīng)GM(1,1)模型

GM系列模型是灰色預(yù)測(cè)理論(grey system)中的最基本模型，尤其是GM(1,1)模型，其符號(hào)的具體含義：G(即Grey：灰色)，M(即Model：模型)，1(指1階方程)，1(代表1個(gè)變量)。原始GM(1,1)預(yù)測(cè)模型的建立過(guò)程：

設(shè)x(0)為非負(fù)的等間隔離散序列：

x(0)=(x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n))。

(5)

記x(0)的一次累加序列為：

x(1)=(x(1)(1),x(1)(2)…,x(1)(n)),

(6)

對(duì)累加序列進(jìn)行求導(dǎo)獲得原始GM(1,1)模型所使用的白化方程：

(7)

白化方程的解為：

(8)

在式(8)中可求出待定常數(shù)a、b的值，a為發(fā)展系數(shù)用以調(diào)控系統(tǒng)整體的發(fā)展局勢(shì)；b為灰色作用量，其大小直接反映數(shù)據(jù)的波動(dòng)變化情況。由式(7)可求出GM(1,1)模型的時(shí)間響應(yīng)序列為：

(9)

通過(guò)數(shù)據(jù)累減獲得GM(1,1)表達(dá)式為：

(10)

(11)

自適應(yīng)GM(1,1)是對(duì)原始模型的改進(jìn)[8-10]，將運(yùn)用傳統(tǒng)的GM(1,1)模型預(yù)測(cè)得到x(0)(n+1)添加到原始的預(yù)測(cè)序列當(dāng)中，隨后將原始數(shù)據(jù)中時(shí)間距離上離新預(yù)測(cè)值最遠(yuǎn)的的數(shù)據(jù)值x(0)(1)進(jìn)行剔除，將新獲得的預(yù)測(cè)值補(bǔ)充進(jìn)入其中保持模型預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)的等維；隨后用替換過(guò)后的數(shù)據(jù)模組繼續(xù)進(jìn)行GM(1,1)模型建立與替換，如此循環(huán)直到完成對(duì)全部數(shù)據(jù)的處理。

1.3 馬爾可夫模型

馬爾科夫模型(markov model， MC)[10-12]認(rèn)為自然界的隨機(jī)事件的產(chǎn)生都具有一定的相關(guān)性，通過(guò)對(duì)前若干次隨機(jī)事件的統(tǒng)計(jì)得出其概率分布，可以用來(lái)評(píng)估下一次隨機(jī)事件的發(fā)展?fàn)顟B(tài)。具體操作為將觀測(cè)值和預(yù)測(cè)值之間的誤差進(jìn)行狀態(tài)劃分，共劃分為n個(gè)區(qū)間(一般取3～5個(gè)區(qū)間)，即相對(duì)誤差從Sm通過(guò)k步轉(zhuǎn)變到Sn的概率表示為：

(12)

(13)

取離預(yù)測(cè)的觀察時(shí)序最近的若干個(gè)已知狀態(tài)數(shù)值，求取已知狀態(tài)轉(zhuǎn)移到預(yù)測(cè)狀態(tài)所經(jīng)歷的具體步長(zhǎng)，然后再?gòu)臓顟B(tài)轉(zhuǎn)移矩陣中找到相對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)移概率，將處于每個(gè)狀態(tài)Si(i=1,2,3,…)進(jìn)行概率統(tǒng)計(jì)，找出處于哪個(gè)Si(i=1,2,3,…)中的概率和最大，這個(gè)預(yù)測(cè)值就處于相應(yīng)的狀態(tài)區(qū)間中，由此可得修正值為：

(14)

1.4 基于小波的自適應(yīng)GM(1,1)-MC組合模型

現(xiàn)依據(jù)高鐵變形監(jiān)測(cè)工作的實(shí)際情況結(jié)合各模型的特點(diǎn)建立一種基于小波的自適應(yīng)GM(1,1)-MC組合模型，具體流程如下。

Step1：小波數(shù)據(jù)處理。選擇合適的小波基函數(shù)對(duì)實(shí)際采集到的變形數(shù)據(jù)進(jìn)行去噪處理，并通過(guò)對(duì)小波分解層數(shù)與小波閾值選取進(jìn)行研究，獲取最佳的小波去噪方式。

Step2：對(duì)分解到低頻序列的變形數(shù)據(jù)采用自適應(yīng)灰色模型進(jìn)行預(yù)測(cè)，獲取小波灰色模型的預(yù)測(cè)結(jié)果。

Step3：引入馬爾可夫修正模型對(duì)小波灰色模型的預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行修正。模型預(yù)測(cè)流程如圖1所示。

2 工程算例

2.1 算例1

本文選用貴廣高鐵某路段路基基底沉降板中LO1點(diǎn)連續(xù)20期(觀測(cè)時(shí)間為2014年4月至2014年10月，觀測(cè)間隔為7 d)的垂直方向位移觀測(cè)量為原始計(jì)算數(shù)據(jù)。采用原始測(cè)量數(shù)據(jù)的前15期作為基礎(chǔ)擬合樣本，后5期數(shù)據(jù)為檢驗(yàn)樣本。

為綜合比較各模型的預(yù)測(cè)效果，本文設(shè)計(jì)了3種方案進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn)：自適應(yīng)GM(1,1)模型(方案1)；對(duì)原始數(shù)據(jù)選用sym4小波進(jìn)行3尺度的小波分解與逆向重構(gòu)去噪后再建立自適應(yīng)GM(1,1)模型(方案2)；在方案2的基礎(chǔ)上引入馬爾科夫鏈進(jìn)行修正，殘差值狀態(tài)劃分如下s1=[-5.77 %,-1.63 %]，s2=[-1.62 %,2.65 %]，s3=[2.66 %,4.17 %](方案3)。各模型的預(yù)測(cè)結(jié)果如表1所示；實(shí)測(cè)值與3種方案的預(yù)測(cè)值對(duì)比曲線如圖2所示；3種方案的殘差比較結(jié)果如圖3所示。

表1 各模型預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比Tab.1 Comparison of predicted results of each model mm

如圖2所示，當(dāng)沉降監(jiān)測(cè)點(diǎn)的沉降曲線總體呈現(xiàn)平穩(wěn)變化趨勢(shì)時(shí)，方案1隨著預(yù)測(cè)期數(shù)的增多與實(shí)測(cè)值之間的偏離程度愈發(fā)明顯，方案2與方案3呈現(xiàn)出一定的收斂趨勢(shì)，且方案3與實(shí)測(cè)值的貼合程度最好。由圖3可見(jiàn)方案2、3的殘差在初期較為平穩(wěn)，隨著預(yù)測(cè)時(shí)間的增加后方案2的發(fā)散速度明顯快于方案3，而方案1的殘差相對(duì)而言一直處于較大狀態(tài)。從表1中可以看出，方案1的預(yù)測(cè)穩(wěn)定性不強(qiáng)，殘差最大絕對(duì)值為1.85 mm遠(yuǎn)高于方案2與方案3。方案3的預(yù)測(cè)結(jié)果最好，殘差最小絕對(duì)值為0.12 mm,最大絕對(duì)值僅為0.37 mm。

圖2 實(shí)測(cè)值與3種方案的預(yù)測(cè)值對(duì)比
Fig.2 Comparison of measured values andpredicted values of three schemes

圖3 殘差圖
Fig.3 Residual graph

2.2 算例2

鑒于實(shí)際高鐵工程中常見(jiàn)的工程體突變情況，即前期觀測(cè)數(shù)據(jù)較為穩(wěn)定，中期某一時(shí)段出現(xiàn)大幅變形，隨后又趨于穩(wěn)定，本文另選用了某高速鐵路某路基沉降監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)25期(觀測(cè)時(shí)間為2015年6月至2016年3月，觀測(cè)間隔為7 d)，前20期作為基礎(chǔ)擬合樣本，后5期數(shù)據(jù)為檢驗(yàn)樣本。

建立與算例1相同的3種方案進(jìn)行對(duì)比分析，各模型的預(yù)測(cè)結(jié)果如表2所示，圖4為實(shí)測(cè)值與3種方案的預(yù)測(cè)值對(duì)比曲線。3種方案的殘差比較結(jié)果如圖5所示。

表2 突變型工程體預(yù)測(cè)結(jié)果比較Tab.2 Comparison of prediction results for catastrophic engineering bodies mm

圖4 突變型工程體預(yù)測(cè)值對(duì)比
Fig.4 Comparison of prediction values forcatastrophic engineering bodies

圖5 突變型工程體殘差圖
Fig.5 Residual diagram of catastrophicengineering body

從表2可知，方案1的預(yù)測(cè)結(jié)果較差，殘差最大絕對(duì)值為2.15 mm，最小絕對(duì)值為0.54 mm，與實(shí)測(cè)值出現(xiàn)明顯偏差。方案2與方案3的擬合效果明顯優(yōu)于方案1，且方案3預(yù)測(cè)結(jié)果更好殘差最小絕對(duì)值為0.23 mm,最大絕對(duì)值僅為0.91 mm。可見(jiàn)在經(jīng)過(guò)小波去噪處理后的自適應(yīng)GM(1,1)模型在預(yù)測(cè)突變體工程上能夠取得較好的效果，再經(jīng)過(guò)馬爾科夫模型對(duì)殘差數(shù)據(jù)進(jìn)行修正后能夠獲取得更為準(zhǔn)確的預(yù)測(cè)結(jié)果。

由圖4可知，在變形監(jiān)測(cè)點(diǎn)變化情況較為劇烈時(shí),方案1的預(yù)測(cè)曲線明顯偏離實(shí)測(cè)值，在中部波動(dòng)較大位置與實(shí)測(cè)曲線偏差較大。與實(shí)測(cè)曲線吻合度最高的是方案3，貼合程度最好且無(wú)明顯突變發(fā)生，有效反應(yīng)了實(shí)測(cè)曲線的細(xì)節(jié)信息。從圖5中看出方案1的殘差值的明顯大于另外兩種方案，經(jīng)過(guò)小波去噪后處理的方案2與方案3殘差值存在一個(gè)明顯的收斂趨勢(shì)。

為進(jìn)一步綜合評(píng)價(jià)本文方法，選用了均方根誤差與平均絕對(duì)誤差兩項(xiàng)評(píng)價(jià)指標(biāo)結(jié)果見(jiàn)表3。

表3 3種方案的預(yù)測(cè)精度比較Tab.3 Comparisons of prediction accuracy of three schemes mm

由表3可知，方案1的預(yù)測(cè)精度較低，兩個(gè)算例的均方根誤差分別為1.31 mm與1.42mm，方案2的預(yù)測(cè)精度較好于方案1。而本文方法的預(yù)測(cè)精度明顯較高，均方根誤差分別為0.21 mm與0.64 mm，與方案1相比改善率達(dá)到了83.96 %與54.93 %，平均絕對(duì)誤差分別僅為0.18 mm與0.59 mm?？梢?jiàn)本文方法在高鐵預(yù)測(cè)的平穩(wěn)型與突變型情況中均能取得較好的預(yù)測(cè)結(jié)果。

綜上，本文方法首先利用小波分析作為數(shù)據(jù)分析的預(yù)處理工具，能有效消除原始數(shù)據(jù)中的噪聲部分；然后采用自適應(yīng)灰色預(yù)測(cè)模型對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，找出其變化趨勢(shì)；最后，通過(guò)馬爾可夫模型進(jìn)行修正可以有效削弱觀測(cè)時(shí)間變長(zhǎng)而產(chǎn)生的預(yù)測(cè)殘差迅速擴(kuò)大的情況，提升模型的整體預(yù)測(cè)精度。

3 結(jié)語(yǔ)

針對(duì)高鐵變形預(yù)測(cè)中呈現(xiàn)出的原始數(shù)據(jù)受噪聲影響大與長(zhǎng)期預(yù)測(cè)不準(zhǔn)確的問(wèn)題，本文將基于小波去噪的自適應(yīng)GM(1,1)-MC組合模型用于高鐵沉降變形監(jiān)測(cè)中，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：

①本文方法針對(duì)各單一模型的不足進(jìn)行了一定程度的補(bǔ)充具有更好的實(shí)際表現(xiàn)效果。在實(shí)際工作中采用基于小波的自適應(yīng)GM(1,1)-MC預(yù)測(cè)法來(lái)進(jìn)行高鐵沉降變形預(yù)測(cè)中具有一定的可行性。

②利用小波對(duì)原始的高鐵沉降數(shù)據(jù)進(jìn)行處理可以有效的將測(cè)量過(guò)程中的各種因素引起的噪聲進(jìn)行消除，提升了原始數(shù)據(jù)的質(zhì)量為后續(xù)的預(yù)測(cè)處理打下了良好的基礎(chǔ)。自適應(yīng)GM(1,1)-MC組合模型能夠較好地發(fā)揮新息的價(jià)值通過(guò)對(duì)模型原始數(shù)據(jù)進(jìn)行深度挖掘增強(qiáng)預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)變化趨勢(shì)的敏感性，消除長(zhǎng)期預(yù)測(cè)造成的數(shù)據(jù)發(fā)散現(xiàn)象，獲得更高精度的預(yù)測(cè)值。

③本文選取的去噪小波與分解層數(shù)對(duì)模型的預(yù)測(cè)精度有較大影響，但在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中僅是基于經(jīng)驗(yàn)處理與小樣本對(duì)比得出，更為合理的參數(shù)確定方法有待進(jìn)一步研究。