譚品恒，周闖，鄧文高，張家歐

(廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院， 廣西南寧530004)

0 引言

隨著對(duì)航空航天領(lǐng)域研究的深入，高精度慣性導(dǎo)航定位成為此領(lǐng)域日益重要和備受關(guān)注的研究課題[1-4]。近幾十年來，航空航天陀螺儀也歷經(jīng)幾代變換升級(jí)。其中，半球諧振陀螺儀以其高精度、高可靠性以及壽命長(zhǎng)等特點(diǎn)成為陀螺儀里最具發(fā)展前景的一種[5-8]。但也是因?yàn)檫@種特性，使這種陀螺儀中核心結(jié)構(gòu)的石英半球殼(如圖1所示)的制造工藝要求十分精細(xì)。在石英半球殼制造工藝過程中難免產(chǎn)生微觀的孔隙與晶相結(jié)構(gòu)變異，造成宏觀的密度和阻尼不均勻等瑕疵[9-11]，這對(duì)半球諧振陀螺儀的高精度工作性能有著極大的影響[12-13]。

圖1 半球諧振陀螺儀的結(jié)構(gòu)
Fig.1 Structure of Hemispherical Resonator gyroscope

半球諧振陀螺儀是慣性導(dǎo)航元件中對(duì)于物體姿態(tài)測(cè)量的模塊，其主要通過二階模態(tài)的振動(dòng)形成駐波，當(dāng)基座隨物體旋轉(zhuǎn)時(shí)，由于科氏力的作用，駐波會(huì)相對(duì)基座產(chǎn)生進(jìn)動(dòng)，其中駐波相對(duì)激發(fā)振動(dòng)的進(jìn)動(dòng)角度與基座自身旋轉(zhuǎn)的角度有恒定的比例關(guān)系，如公式(1)：

θ=Kφ,

(1)

其中θ為駐波進(jìn)動(dòng)角度；K為比例因子；φ為基座旋轉(zhuǎn)角度。通過感測(cè)電極解算測(cè)得駐波進(jìn)動(dòng)角度θ，根據(jù)上式可得到基座旋轉(zhuǎn)角度，即物體旋轉(zhuǎn)角度[14]。

無瑕疵的理想狀態(tài)半球殼，其激發(fā)模態(tài)與感測(cè)模態(tài)的固有頻率是相同的，然而密度和阻尼瑕疵會(huì)使此兩頻率分歧(即所謂的頻率裂解)，并導(dǎo)致測(cè)量的角速度有一些誤差，從而嚴(yán)重影響半球諧振陀螺儀的工作精度。李巍等[15]也嘗試設(shè)計(jì)過測(cè)試固有剛性軸的方案，但其理論和操作相對(duì)復(fù)雜，而且缺乏實(shí)驗(yàn)或者仿真支撐。根據(jù)目前相關(guān)文獻(xiàn)[16]可知，當(dāng)半球諧振陀螺儀同時(shí)存在密度和阻尼瑕疵時(shí)，可以在低頻固有剛性軸的所在方位的半球殼唇緣蝕刻去一定的質(zhì)量，半球殼的固有剛性軸在此蝕刻過程中方位不會(huì)發(fā)生變化，以此方法達(dá)到減少頻率裂解的目的。本方法建立在這個(gè)基礎(chǔ)上，通過強(qiáng)迫振動(dòng)測(cè)試和李薩如圖觀察，能較快較準(zhǔn)確地定位固有剛性軸。

1 固有軸系的定義

1.1 固有剛性軸

圖2 固有剛性軸Fig.2 Normal mode axes

半球諧振陀螺儀的誤差主要來源于諧振子的材料、工藝缺陷。其中對(duì)諧振子工作駐波影響最大的是密度ρ、楊氏模量E、薄殼的壁厚h等參數(shù)的不均勻性的傅里葉展開式的第四次諧波。該諧波的存在導(dǎo)致諧振子中出現(xiàn)2個(gè)成45°的固有軸系。如圖2所示，諧振子沿每個(gè)軸振動(dòng)的固有頻率都能達(dá)到極大值和極小值。其頻率極大值和極小值的差稱為固有頻率分裂：Δω=ω2-ω1，其中ω1、ω2為固有頻率。固有頻率小的剛性軸即A-A軸(ω1)稱為“重”軸，也稱為小剛度軸；固有頻率大的剛性軸B-B軸(ω2)稱為“輕”軸，也稱為大剛度軸[14]。若將x和y振幅的運(yùn)動(dòng)方程式轉(zhuǎn)換到固有剛性軸上，則運(yùn)動(dòng)方程式會(huì)變?yōu)榉邱詈闲问?。這樣修正某一軸的頻率，不會(huì)影響到另一軸的頻率。

1.2 固有黏性軸

半球諧振子在有阻尼的情況下存在能量耗散使振幅衰減，如果諧振子的品質(zhì)因數(shù)沿半球殼圓周角分布不均勻，即阻尼分布不均勻(阻尼瑕疵)，就使駐波發(fā)生偏移。由于缺陷四次諧波的存在，使得諧振子中出現(xiàn)2個(gè)成45°的軸系，稱為“固有黏性軸”(principal damping axes)。諧振子振動(dòng)的時(shí)間常數(shù)τ2和τ1沿著2個(gè)軸的每一個(gè)軸方向?qū)⑦_(dá)到極大值和極小值。由材料品質(zhì)因數(shù)不均勻(阻尼分布不均勻)造成的漂移速度一般難于進(jìn)行機(jī)械補(bǔ)償，通常通過算法來補(bǔ)償[14]；這主要是因?yàn)槠焚|(zhì)因數(shù)與很多因素有關(guān)，如噴鍍導(dǎo)電層、殘留的氣體壓力、空氣微粒落入表面等都將造成品質(zhì)因數(shù)的變化。由于瑕疵的隨機(jī)性，固有剛性軸和固有黏性軸一般不會(huì)重合。

2 強(qiáng)迫振動(dòng)穩(wěn)態(tài)時(shí)半球諧振子運(yùn)動(dòng)呈封閉橢圓狀的證明

2.1 基于笛卡爾坐標(biāo)系下解析方程式證明

根據(jù)二維彈簧—阻尼—質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)物理模型，參考圖3，本文用Lynch的方法[16]表示半球諧振子在笛卡爾坐標(biāo)系下的運(yùn)動(dòng)方程(2)，其中x軸代表激勵(lì)電極所在方向，x代表此方向的質(zhì)點(diǎn)位移；y軸代表感測(cè)電極所在方向，y代表此方向的質(zhì)點(diǎn)位移。激勵(lì)電極與感測(cè)電極在實(shí)際半球殼上始終保持相隔45°擺放，而在此模型笛卡爾坐標(biāo)系x-y中，它們分別代表x和y并且始終保持相隔90°，于是在此坐標(biāo)系下的角度始終為實(shí)際半球殼上角度的兩倍。

圖3 諧振半球殼二維彈簧—阻尼—質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)物理模型Fig.3 Two dimension spring-damping-particle kinetic physical model of hemispherical resonant shell

(2)

式中

(3)

ω1：極小值固有頻率；ω2：極大值固有頻率；Δω：固有頻率裂解值；τ1：極小值阻尼時(shí)間常數(shù)；τ2：極大值阻尼時(shí)間常數(shù)；θω：固有剛性軸與x軸夾角；θτ：固有黏性軸與x軸夾角；θf(wàn)：施力方向與x軸夾角。

在強(qiáng)迫振動(dòng)測(cè)試定位時(shí)，半球殼是固定不動(dòng)的，所以Ω=0；激勵(lì)電極位于半球殼直徑的兩端處，激勵(lì)電極輸入的是一對(duì)余弦力，所以fx=Acosωt,fy=0，將式(2)重寫為下列形式：

(4)

其穩(wěn)態(tài)時(shí)解的形式為：

x=Rcosωt+Ssinωty=Pcosωt+Qsinωt,

(5)

其中R、S、P、Q為常數(shù)。

將式(5)代入方程(4)有方程組(6)如下：

-A+K12P+K11R+ω(D12Q+D11S-Rω)=0K12Q+K11S-ω(D12P+D11R+Sω)=0K22P+K12R+ω(D22Q+D12S-Pω)=0K22Q+K12S-ω(D22P+D12R+Qω)=0,

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

本文將式(5)改寫成矩陣形式，有：

(11)

進(jìn)一步得：

(12)

令Δ=RQ-PS,本文可以得到：

(13)

(14)

根據(jù)二次曲線的判別式來討論方程(14)是表示橢圓、雙曲線還是拋物線。已知一般的二元二次曲線方程為：

ax2+2bxy+cy2+2dx+2ey+f=0，

(15)

(16)

(17)

根據(jù)判別式條件有：①當(dāng)I3=0時(shí)，方程為直線；②當(dāng)I3≠0時(shí)，1.I2>0時(shí)方程為橢圓；2.I2<0時(shí)方程為雙曲線；③I2=0時(shí)方程為拋物線。則具體到已知方程式有：

(18)

(19)

(20)

f=-1。

(21)

b2-ac<0，

(22)

進(jìn)一步有：

(23)

(24)

若要滿足式(24)，只要Δ=RQ-PS≠0即可。而在實(shí)際情況中，根據(jù)R、Q、P、S的解析式可知RQ≠PS是成立的，這便從解析上證明強(qiáng)迫振動(dòng)最終穩(wěn)態(tài)時(shí)，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)曲線為一封閉的橢圓。

2.2 基于Mathematica李薩如圖的數(shù)值仿真

通過圖4和圖5可以明顯看出在強(qiáng)迫振動(dòng)穩(wěn)態(tài)下半球諧振子運(yùn)動(dòng)的李薩如圖一般情況為一個(gè)封閉的橢圓，這從仿真上驗(yàn)證了理論解析證明的正確性。

3 含瑕疵半球殼固有剛性軸的定位

3.1 強(qiáng)迫振動(dòng)穩(wěn)態(tài)時(shí)橢圓參數(shù)的解析形式

圖6 橢圓方程的坐標(biāo)變換Fig.6 Coordinate transformation of elliptic equation

根據(jù)已知的方程可知，方程所代表的橢圓與坐標(biāo)軸x-y有一傾角φ，而當(dāng)進(jìn)行坐標(biāo)變換時(shí)，可以通過將原坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)φ角使橢圓的兩主軸與新的坐標(biāo)軸x′-y′分別平行。求出此φ角便可確定穩(wěn)態(tài)時(shí)橢圓傾角。

如圖6所示，當(dāng)坐標(biāo)軸從x-y旋轉(zhuǎn)φ到坐標(biāo)軸x′-y′后，坐標(biāo)之間的變換滿足下式：

(25)

則原坐標(biāo)用新坐標(biāo)表示為：

(26)

將(26)式代入(14)式有：

(27)

經(jīng)過坐標(biāo)變換后得到的新坐標(biāo)軸下表示的橢圓方程為式(27)，若要滿足橢圓主軸與新坐標(biāo)軸分別平行，則應(yīng)滿足x′y′項(xiàng)的系數(shù)為“0”：

(28)

通過式(28)可以求得坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)角度φ：

(29)

同時(shí)橢圓的長(zhǎng)半軸a和短半軸b也可以得出：

(30)

(31)

3.2 數(shù)值仿真與分析

坐標(biāo)變換旋轉(zhuǎn)的角度φ決定了穩(wěn)態(tài)時(shí)橢圓的傾角。而由于R、Q、P、S表達(dá)式的復(fù)雜性，橢圓傾角φ也不能通過直接求解其導(dǎo)數(shù)而得到最小值。因此，利用李薩如圖數(shù)值仿真模擬的方式同時(shí)配合φ相對(duì)于θf(wàn)的函數(shù)圖像對(duì)其進(jìn)行研究。

本文模擬一般情況的諧振半球殼，給定預(yù)設(shè)的初始條件:正弦力振幅A=0.01 N，ω1=5 200 Hz，ω2=5 200.01 Hz，τ1=300 s，τ2=440 s，θω=30°，θτ=-10°。改變激發(fā)角度θf(wàn)，觀察諧振半球殼穩(wěn)態(tài)時(shí)運(yùn)動(dòng)的李薩如圖(圖7～圖14)。

圖7 激發(fā)角θf(wàn)=30°李薩如圖
Fig.7 Excitation angleθf(wàn)=30° Lissajous-Figure

圖8 激發(fā)角θf(wàn)=31°李薩如圖
Fig.8 Excitation angleθf(wàn)=31° Lissajous-Figure

圖9 激發(fā)角θf(wàn)=35°李薩如圖
Fig.9 Excitation angleθf(wàn)=35° Lissajous-Figure

圖10 激發(fā)角θf(wàn)=45°李薩如圖
Fig.10 Excitation angleθf(wàn)=45° Lissajous-Figure

圖11 激發(fā)角θf(wàn)=60°李薩如圖
Fig.11 Excitation angleθf(wàn)=60° Lissajous-Figure

圖12 激發(fā)角θf(wàn)=75°李薩如圖
Fig.12 Excitation angleθf(wàn)=75°Lissajous-Figure

圖13 激發(fā)角θf(wàn)=90°李薩如圖
Fig.13 Excitation angleθf(wàn)=90° Lissajous-Figure

圖14 激發(fā)角θf(wàn)=120°李薩如圖
Fig.14 Excitation angleθf(wàn)=120° Lissajous-Figure

圖15 穩(wěn)態(tài)時(shí)橢圓傾角φ隨激發(fā)角θf(wàn)的變化Fig.15 Change of elliptic inclination φ with excitation angle θf(wàn) at steady state

從圖7到圖14可以看出，隨著激發(fā)角θf(wàn)從30°變化到120°，穩(wěn)態(tài)時(shí)李薩如圖的橢圓傾角φ從0°變化到180°?；诮o定的初始條件θω=30°，而另一固有剛性軸在李薩如圖中為120°(實(shí)際球殼中兩固有剛性軸應(yīng)相差45°)，由此可以判定在固有剛性軸上進(jìn)行強(qiáng)迫振動(dòng)激發(fā)，得到的穩(wěn)態(tài)李薩如圖橢圓呈水平狀態(tài)，傾角φ為零，即與x軸重合。圖15描述的是式(29)的圖像，它直觀的表現(xiàn)了激發(fā)角在0～π弧度之間時(shí)，穩(wěn)態(tài)橢圓傾角φ的變化。經(jīng)Mathematica計(jì)算，在0～π弧度之間，傾角φ為零時(shí)激發(fā)角θf(wàn)的值分別為0.524 32、1.308 84、2.093 63、2.879 90，分別對(duì)應(yīng)30.041 1°、74.991 1°、119.756°、165.006°。其中需要注意的是75°和165°對(duì)應(yīng)的是圖12所示的情況，而由于傾角函數(shù)φ(29)的周期為π/2，所以當(dāng)傾角φ值超過-45°后便以此傾角的補(bǔ)角方向來計(jì)算，這也解釋了圖15中從0.524 32到1.308 84這一段圖像中間傾角φ值為什么從-45°跳變到45°。另外，正是由于傾角函數(shù)φ(29)是由tan函數(shù)反推得來，所以傾角φ取不到45°或者-45°處的值，在圖15中圓圈所標(biāo)識(shí)出的點(diǎn)以及兩點(diǎn)間整條直線是無法取到的，則在此點(diǎn)所在橫坐標(biāo)處應(yīng)為斷點(diǎn)。于是傾角φ為0°(或180°)對(duì)應(yīng)的激發(fā)角θf(wàn)分別為30.041 1°(119.756°)。

綜上可知，在含有耦合瑕疵諧振半球殼固有剛性軸所在的方位的進(jìn)行激發(fā)的強(qiáng)迫振動(dòng)穩(wěn)態(tài)橢圓的傾角一定是為0°(橢圓是水平的)。故可以通過以上現(xiàn)象歸納的方法去測(cè)試一個(gè)未知具體參數(shù)的含耦合瑕疵諧振半球殼的固有剛性軸的具體方位角：給定一個(gè)半球殼任意直徑兩端處一個(gè)余弦力，使其保持強(qiáng)迫振動(dòng)，待振動(dòng)穩(wěn)定后觀測(cè)x和y兩處感測(cè)電極的位移李薩如圖，若呈現(xiàn)一封閉的傾角與x軸重合的橢圓，則可定位此激發(fā)處為固有剛性軸所在方位。否則，再更換另外的角度進(jìn)行強(qiáng)迫振動(dòng)激發(fā)，直至出現(xiàn)上述李薩如圖，便可定位其固有剛性軸。

4 結(jié)論

本研究針對(duì)的半球諧振陀螺儀是同時(shí)含有密度瑕疵和阻尼瑕疵的，這是實(shí)際中所知的半球諧振陀螺儀的一般情況。通過Lynch的二維彈簧—阻尼質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)模型建立的方程，在半球殼直徑兩端施加一對(duì)方向相反的余弦力以達(dá)成強(qiáng)迫振動(dòng)。為了使觀察到穩(wěn)態(tài)時(shí)的李薩如圖更有說服力，本文證明了強(qiáng)迫振動(dòng)穩(wěn)態(tài)時(shí)李薩如圖為一封閉的橢圓，這也為后續(xù)觀察橢圓傾角提供了可能。當(dāng)給定了初始條件和半球殼特性參數(shù)后，得到了強(qiáng)迫振動(dòng)穩(wěn)態(tài)時(shí)李薩如圖的橢圓傾角與激發(fā)角度的關(guān)系，并提供了相應(yīng)的李薩如圖。仿真實(shí)驗(yàn)表明，若以固有剛性軸方位角作為激發(fā)角來完成強(qiáng)迫振動(dòng)，則穩(wěn)態(tài)時(shí)李薩如圖的橢圓一定與x軸是重合的，即橢圓的傾角與激勵(lì)電極所在的x軸相差最小。通過這一現(xiàn)象，可以給未知具體參數(shù)的含耦合瑕疵的半球諧振陀螺儀進(jìn)行固有剛性軸的定位。