梁滔 李銘

(華南師范大學(xué)物理與電信工程學(xué)院物理系,廣東省量子調(diào)控工程與材料重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,廣州 510006)

1 引 言

整數(shù)量子霍爾效應(yīng)是由德國(guó)物理學(xué)家Klitzing等[1]于1980年在研究二維電子氣時(shí)發(fā)現(xiàn)的.在低溫和強(qiáng)磁場(chǎng)下二維電子氣的霍爾電阻呈現(xiàn)跳躍式變化,在某些磁場(chǎng)區(qū)域出現(xiàn)(平臺(tái),) 而且在平臺(tái)位置縱向電阻為零.霍爾電阻以h/e2為單位量化,即后來大量的實(shí)驗(yàn)表明,霍爾平臺(tái)的電阻是高度精確的,與具體材料無關(guān),以至有關(guān)國(guó)際組織把h/e2作為新的電阻標(biāo)準(zhǔn).繼 Klitzing 的這個(gè)發(fā)現(xiàn)之后,Tsui等[2]又在更強(qiáng)磁場(chǎng)下(30 T左右)發(fā)現(xiàn)了分?jǐn)?shù)量子霍爾效應(yīng).霍爾電阻在ν為1/3等分?jǐn)?shù)值也出現(xiàn)霍爾平臺(tái)[2?4].2013年清華大學(xué)Xue等[5]首次觀測(cè)到反常量子霍爾效應(yīng),他們?cè)跇O低溫(30 mK)和無外磁場(chǎng)的條件下,通過改變所施加的柵極電壓調(diào)節(jié)費(fèi)米面所在的位置,在磁性摻雜的拓?fù)浣^緣體Cr0.15(Bi0.1Sb0.9)1.85Te3薄膜中觀測(cè)到了整數(shù)為1的霍爾電阻平臺(tái).現(xiàn)在人們還在努力尋找具有整數(shù)為2以上的霍爾電阻平臺(tái)的量子反?；魻栃?yīng).

目前人們對(duì)整數(shù)量子霍爾效應(yīng)提出了多種理論解釋,如拓?fù)洳蛔冃岳碚?、安德森局域化理論、量子輸運(yùn)理論等.1982年索利斯和合作者發(fā)現(xiàn)整數(shù)量子霍爾平臺(tái)實(shí)際上是一種拓?fù)淞孔討B(tài),對(duì)應(yīng)的拓?fù)洳蛔兞渴堑谝活愅負(fù)潢悢?shù)(稱為TKNN數(shù))[6,7],這種霍爾電導(dǎo)和陳數(shù)的關(guān)系為TKNN數(shù))只適用于無窮大二維晶體,而且難以解釋縱向電阻為0的事實(shí).

整數(shù)量子霍爾效應(yīng)的安德森局域化解釋是被廣泛接受的一種理論解釋,寫進(jìn)了很多教材[8].這個(gè)解釋假設(shè)材料含有缺陷(雜質(zhì)),缺陷使朗道能級(jí)展寬成有限寬度的能帶[8?12].能帶中央是擴(kuò)展態(tài),邊沿是局域態(tài).隨著磁場(chǎng)強(qiáng)度增大,朗道能級(jí)(能帶)一個(gè)接一個(gè)掃過費(fèi)米能級(jí).當(dāng)費(fèi)米能級(jí)位于局域態(tài)中,局域電子對(duì)電導(dǎo)無貢獻(xiàn),霍爾電阻不變從而呈現(xiàn)霍爾平臺(tái).當(dāng)費(fèi)米能級(jí)位于擴(kuò)展態(tài)中,擴(kuò)展態(tài)電子對(duì)電流有貢獻(xiàn),產(chǎn)生電阻,從而霍爾電阻從一個(gè)平臺(tái)上升到另一個(gè)平臺(tái)[8?12].這種局域化解釋依賴雜質(zhì)的存在.下面將會(huì)看到,整數(shù)量子霍爾效應(yīng)實(shí)際上并不需要雜質(zhì)的存在,也不需要安德森局域化的能帶模型.

人們用介觀系統(tǒng)的電子輸運(yùn)原理對(duì)整數(shù)量子霍爾效應(yīng)現(xiàn)象做了解釋,見Datta的著作[13].在強(qiáng)磁場(chǎng)作用下的一個(gè)有限寬度薄導(dǎo)體中,具有相反大波矢的兩電子狀態(tài)在空間上是分離的,即從左到右傳導(dǎo)電流的電子局域在導(dǎo)體一個(gè)邊緣上,而從右到左傳導(dǎo)的電子局域在另一條邊緣上.這樣的電流不能發(fā)生背散射,因而不能產(chǎn)生縱向電阻.電子輸運(yùn)給出的霍爾平臺(tái)電導(dǎo)為是在費(fèi)米(能級(jí)以)下的朗道能級(jí)數(shù)目.這些霍爾平臺(tái)以2e2/h為單位量化,其中的2 是因?yàn)樽孕诿總€(gè)朗道能級(jí)上簡(jiǎn)并.Datta在其著作中指出,自旋態(tài)在磁場(chǎng)作用下發(fā)生塞曼分裂,簡(jiǎn)并解除,從而獲得通常的量子化平臺(tái)但沒有做更細(xì)節(jié)的討論[13].

但是,簡(jiǎn)單的計(jì)算表明,自旋態(tài)的塞曼分裂正好跟朗道能級(jí)間距相同,分裂后的朗道能級(jí)仍然是簡(jiǎn)并的,霍爾電導(dǎo)只出現(xiàn)奇數(shù)平臺(tái).因此,本文在介觀系統(tǒng)中量子輸運(yùn)的理論基礎(chǔ)之上,嘗試加入Rashba自旋軌道耦合[14?16],在強(qiáng)磁場(chǎng)和塞曼效應(yīng)的共同作用下,解釋二維無限長(zhǎng)條形樣品的整數(shù)量子霍爾效應(yīng).

2 電子輸運(yùn)

考慮一個(gè)二維無限長(zhǎng)條形樣品.在與樣品平面垂直方向施加均勻磁場(chǎng)B=.設(shè)樣品的x方向是無限長(zhǎng)的,y方向具有寬度W.矢勢(shì)選擇為朗道規(guī)范A=(?By,0).系統(tǒng)哈密頓量寫為

其中m?是樣品中電子的有效質(zhì)量,第二項(xiàng)是電子的Rashba自旋軌道耦合項(xiàng),第三項(xiàng)是外磁場(chǎng)下自旋的塞曼項(xiàng),第四項(xiàng)是霍爾勢(shì),其中Vh是霍爾電壓,最后一項(xiàng)是樣品邊界產(chǎn)生的邊界勢(shì)Vc(y).邊界勢(shì)選為硬墻形式,即

由于系統(tǒng)的哈密頓量中不顯含x坐標(biāo),電子的定態(tài)波函數(shù)具有以下形式:

把這個(gè)波函數(shù)代入薛定諤方程可得η(y),ξ(y) 滿足的本征方程.為了方便計(jì)算,對(duì)薛定諤方程做無量綱化處理,即用無量綱的長(zhǎng)度y代替y/a,用無量綱的波矢k代替ka,長(zhǎng)度單位a約為 6 mm.于是得到無量綱的本征方程如下:

首先不考慮自旋軌道耦合 (λh=0).得到的能譜如圖1(a)所示.容易看出,由于樣品兩邊緣的限制,朗道能級(jí)在大波矢區(qū)間快速上升,在中間部分由于霍爾勢(shì)的作用略微傾斜,形成了能帶.后面將看到,正是這些上升部分的能級(jí)提供了傳導(dǎo)電流.朗道能級(jí)在磁場(chǎng)作用下發(fā)生自旋分裂.最低的朗道能級(jí)只含有下自旋態(tài),但從第二個(gè)朗道能級(jí)開始,能級(jí)仍然是上下自旋簡(jiǎn)并的.這是因?yàn)槔实滥芗?jí)的間距恰好等于自旋的塞曼分裂,即其中ωc=eB/m?是電子回旋頻率.

圖1 (a)自旋簡(jiǎn)并的 3 個(gè)朗道能級(jí)在磁場(chǎng)中分裂,但仍有能級(jí)簡(jiǎn)并; (b)第一朗道能級(jí)波函數(shù)的模,參數(shù) α=0.06,λh=0,W=50,μ1=0.49,μ2=0.46Fig.1.(a) The lowest three spin degenerate Landau levels are split apart in the strong magnetic field,but the degeneracy is not fully resolved; (b) the modulus of the wave functions of the first Landau level for α=0.06,λh=0,W=50,μ1=0.49,μ2=0.46.

圖1(b)是最低朗道能級(jí)波函數(shù)的模的分布圖.每個(gè)波矢k對(duì)應(yīng)的波函數(shù)在y方向幾乎都是局域的.尤其大波矢區(qū)間波函數(shù)都局域在樣品的兩個(gè)邊緣上.所以,傳導(dǎo)電流主要發(fā)生在樣品的邊緣上.具有相反大波矢的電子在空間上是完全分離的.它們產(chǎn)生相反方向的電流.正是這個(gè)原因,大波矢電子不能在晶格邊沿上發(fā)生背散射從而不能產(chǎn)生電阻.而朗道能級(jí)的中間略微傾斜的部分對(duì)應(yīng)的波函數(shù)局域在樣品內(nèi)部.這部分的波函數(shù)重疊非常小.其他朗道能級(jí)的波函數(shù)也是同樣的情況.

處于能帶右邊的斜率為正的上升大波矢部分的電子局域在樣品上邊緣且向x軸正向(右)移動(dòng),而處于左邊斜率為負(fù)的大波矢部分的電子局域在下邊緣且向左移動(dòng),如圖2(a)所示.在電子輸運(yùn)過程中,電子可看做準(zhǔn)經(jīng)典波包,波包的群速度由能帶的斜率確定:

所以,處于能帶中間略微傾斜部分的電子群速度很小,流動(dòng)性很小,傳導(dǎo)電流主要發(fā)生在樣品的兩條邊沿上.x方向的總電流由下式給出:

圖2 (a)在均勻磁場(chǎng)中通電的長(zhǎng)條形,箭頭表示電子的輸運(yùn)方向; (b)自旋簡(jiǎn)并下霍爾電導(dǎo)的奇數(shù)霍爾平臺(tái).參數(shù)kBT=0.002,μ1=0.49,μ2=0.46Fig.2.(a) An long slab with current flows in a strong magnetic field,arrows indicate the direction of electron transport; (b) odd plateaus of Hall conductance due to the spin degeneracy.kBT=0.002,μ1=0.49,μ2=0.46.

其中En0是能帶n的最低能量值.

上下兩邊緣的電子不能背散射,只能單向流動(dòng),因而只能分別來自左右兩端電極.它們不產(chǎn)生電阻,因而分別具有左右電極中電子的化學(xué)勢(shì).于是,樣品兩電極的化學(xué)勢(shì)差正好給出霍爾電壓Vh,即?eVh=μ1? μ2.無量綱化的化學(xué)勢(shì)給出無量綱參數(shù)Fh=?(μ1? μ2)/W.最后(7)式的計(jì)算給出霍爾電導(dǎo)σ=I/Vh,如圖2(b)所示.

現(xiàn)在在上面的計(jì)算中加入電子的Rashba自旋軌道耦合.自旋軌道耦合對(duì)系統(tǒng)能量有顯著影響[17].這個(gè)耦合產(chǎn)生的附加能量徹底解除了能級(jí)簡(jiǎn)并,如圖3(a)所示.這正是理解整數(shù)量子霍爾效應(yīng)的關(guān)鍵所在.這時(shí),這些能級(jí)的波函數(shù)都是上下自旋混合的,邊界態(tài)都包含上下自旋.取自旋軌道耦合系數(shù)λh=0.7,重新數(shù)值計(jì)算(7)式,得到霍爾電導(dǎo)如圖3(b)所示.其中霍爾平臺(tái)準(zhǔn)確給出仍然是費(fèi)米能級(jí)所切割的能帶數(shù)目.這樣就得到了完整的整數(shù)量子霍爾效應(yīng).

從(7)式可以看出,霍爾平臺(tái)上電流的大小取決于費(fèi)米能級(jí)切割的能帶數(shù)目,而與能帶的斜率變化快慢無關(guān).所以,無論取硬墻形式的邊界勢(shì),還是取其他光滑的邊界勢(shì),霍爾平臺(tái)都會(huì)出現(xiàn)在同樣的磁場(chǎng)范圍.雖然Rashba自旋軌道耦合使朗道能級(jí)進(jìn)一步劈裂的過程會(huì)導(dǎo)致朗道能級(jí)的間隙不相等,但這對(duì)整數(shù)量子霍爾效應(yīng)的霍爾平臺(tái)的位置沒有影響,只會(huì)影響霍爾平臺(tái)的寬度.只要費(fèi)米能級(jí)位于兩個(gè)朗道能級(jí)之間,電導(dǎo)就會(huì)出現(xiàn)霍爾平臺(tái).而且隨著磁場(chǎng)的增大,朗道能級(jí)的間距整體上是變大的,霍爾平臺(tái)的長(zhǎng)度隨著磁場(chǎng)增強(qiáng)而變長(zhǎng).可見,整數(shù)量子霍爾效應(yīng)不過是個(gè)無散射的邊界效應(yīng).這個(gè)解釋不需要引入雜質(zhì),也不需要能級(jí)展寬.

(7)式也很清楚地表明,溫度對(duì)霍爾平臺(tái)有影響,計(jì)算結(jié)果如圖4(a)所示.當(dāng)樣品溫度超過一個(gè)臨界值Tc(在本文參數(shù)下kBTc約為 0.003),霍爾平臺(tái)的霍爾電導(dǎo)開始顯著偏離整數(shù).根據(jù)前面的能量單位,對(duì)于一般材料(設(shè)電子有效質(zhì)量m?=0.15m)這個(gè)臨界溫度大約為Tc=0.5 K.量子霍爾效應(yīng)作為國(guó)際電阻標(biāo)準(zhǔn),樣品超過這個(gè)臨界溫度會(huì)帶來顯著的誤差.在此臨界溫度以下,霍爾平臺(tái)的值也因溫度效應(yīng)有一定誤差.在溫度遠(yuǎn)低于臨界溫度時(shí),霍爾電導(dǎo)近似為

圖3 (a)自旋軌道耦合作用下最低的 6個(gè)朗道能級(jí); (b)自旋軌道耦合作用下的霍爾電導(dǎo)(藍(lán)線)和縱向電阻(紅線).參數(shù)α=0.06,λh=0.7,μ1=?0.02,μ2=?0.04,kBT=0.002Fig.3.(a) The lowest six Landau levels under spin-orbit coupling; (b) corresponding Hall plateaus of the conductance (blue) and the longitudinal resistance (red).α=0.06,λh=0.7,μ1=?0.02,μ2=?0.04,kBT=0.002.

圖4 (a) 溫度對(duì)霍爾平臺(tái)的影響; (b) 第二朗道能級(jí)上幾個(gè)波矢 k 對(duì)應(yīng)的波函數(shù)的模 (上自旋分量).參數(shù) λh=0.7,μ1=?0.02,μ2= ?0.04Fig.4.(a) The effect of temperature on Hall plateaus; (b) modulus of the wave functions of a few k vectors on the second Landau level.λh=0.7,μ1=?0.02,μ2=?0.04.

3 縱向電阻和背散射效應(yīng)

量子霍爾效應(yīng)的縱向電阻表現(xiàn)出明顯的振蕩行為[18],即在霍爾電阻平臺(tái)對(duì)應(yīng)的區(qū)域縱向電阻為零,而在霍爾平臺(tái)之間會(huì)出現(xiàn)峰值.從朗道能級(jí)的形成來看,當(dāng)費(fèi)米能級(jí)從一個(gè)朗道能級(jí)移動(dòng)到下一個(gè)朗道能級(jí)的中心時(shí),縱向電阻出現(xiàn)一次0電阻低谷.那么,在以上的Rashba自旋軌道耦合系統(tǒng)中,當(dāng)費(fèi)米能級(jí)非?？拷实滥芗?jí)的底部時(shí),具有相反波矢的波函數(shù)在空間上顯著重疊,從而發(fā)生背散射,產(chǎn)生了縱向電阻.

在半導(dǎo)體材料中,一般主要散射是雜質(zhì)散射和晶格散射[19].然而,在如上所述的Rashba自旋軌道耦合作用下的二維無限長(zhǎng)條形樣品中,整數(shù)量子霍爾效應(yīng)的計(jì)算和解釋并不需要引入雜質(zhì).為了方便計(jì)算縱向電阻,假設(shè)該樣品是沒有雜質(zhì)的,我們只考慮晶格散射對(duì)縱向電阻的影響.晶格振動(dòng)對(duì)電子散射的躍遷幾率為

其中 ?ω是聲子能量,是散射勢(shì),?nkn′k′(b=1),Γnkn′k′(b=?1),分別為發(fā)射和吸收聲子時(shí)的躍遷幾率.

根據(jù)玻爾茲曼方程,電導(dǎo)可由費(fèi)米面上電子碰撞的弛豫時(shí)間τF決定[20,21],即σ=ne2τF/m,而弛豫時(shí)間由下式確定[22,23]:

其中θkk′是散射角.由于電子輸運(yùn)是一維的,θkk′=0,π.只有當(dāng)θkk′= π,即k與k′異號(hào)時(shí),(10)式的積分才能對(duì)背散射有貢獻(xiàn),從而產(chǎn)生縱向電阻.為了簡(jiǎn)化,計(jì)算中散射勢(shì)取為一個(gè)常數(shù),聲子能量最大取到 2 0kBT.對(duì)(10)式進(jìn)行數(shù)值計(jì)算得到縱向電阻隨磁場(chǎng)的變化如圖3(b)所示.縱向電阻在霍爾平臺(tái)降為 0,而在霍爾平臺(tái)跳躍的時(shí)候出現(xiàn),與實(shí)驗(yàn)結(jié)果一致.

第二朗道能級(jí)上幾個(gè)波矢對(duì)應(yīng)的波函數(shù)(上自旋部分)的模顯示在圖4(b)中.容易看出,具有相反大波矢的兩波函數(shù)都局域在樣品兩邊沿,沒有重疊,因而近 似為 0 ; 具有相反小波矢的兩波函數(shù)局域在在樣品中心區(qū)域,有顯著重疊因而對(duì)縱向電阻有貢獻(xiàn).只有當(dāng)費(fèi)米能級(jí)靠近朗道能級(jí)的底部時(shí)(對(duì)應(yīng)圖3(b)中霍爾平臺(tái)跳躍區(qū)),才能發(fā)生聲子的發(fā)射和吸收,從而產(chǎn)生縱向電阻.

4 結(jié) 論

研究了Rashba自旋軌道耦合作用下二維無限長(zhǎng)條形樣品中的電子輸運(yùn),計(jì)算了樣品的霍爾電導(dǎo)和縱向電阻,得到了完整的整數(shù)量子霍爾效應(yīng).在一定強(qiáng)磁場(chǎng)范圍內(nèi),由于樣品兩邊緣的限制,能級(jí)在大波矢范圍快速上升,在小波矢范圍形成平坦的朗道能級(jí).強(qiáng)磁場(chǎng)下自旋軌道耦合完全解除了自旋簡(jiǎn)并.這是形成整數(shù)量子霍爾效應(yīng)的關(guān)鍵.位于朗道能級(jí)上升和下降區(qū)域的電子局域在樣品邊沿,形成了分離的雙向電流.計(jì)算結(jié)果表明,霍爾電導(dǎo)呈現(xiàn)臺(tái)階型,平臺(tái)出現(xiàn)在e2/h的整數(shù)倍位置,形成霍爾平臺(tái).溫度對(duì)霍爾平臺(tái)的電導(dǎo)有一定影響.在某臨界溫度以下,霍爾平臺(tái)電導(dǎo)可以達(dá)到10?9以上的精度.本文最后分析了聲子發(fā)射和吸收產(chǎn)生整數(shù)量子霍爾效應(yīng)的縱向電阻的機(jī)制,近似計(jì)算了弛豫時(shí)間,得到了縱向電阻.結(jié)果表明,縱向電阻在霍爾平臺(tái)區(qū)域?yàn)榱?而在霍爾平臺(tái)之間出現(xiàn)峰值.