萬峰 武保劍 曹亞敏 王瑜浩 文峰 邱昆

(電子科技大學(xué)信息與通信工程學(xué)院,光纖傳感與通信教育部重點實驗室,成都 611731)

1 引 言

近年來,波分復(fù)用 (wave division multiplexing,WDM)通信系統(tǒng)傳輸容量已逐漸逼近非線性香農(nóng)極限[1,2].為滿足通信容量不斷提高的需求,空分復(fù)用 (space division multiplexing,SDM)應(yīng)運而生,已成為備受關(guān)注的技術(shù)之一[3?7].SDM主要應(yīng)用形式是與當(dāng)前的WDM系統(tǒng)相結(jié)合,構(gòu)成空頻復(fù)用傳輸系統(tǒng),使通信容量得到大幅提升.因此,以少模光纖等為代表的模分復(fù)用(mode division multiplexing,MDM)技術(shù)成為光通信領(lǐng)域中研究的熱點[8,9].利用光纖中各導(dǎo)波模式之間的正交性,可構(gòu)建MDM傳輸系統(tǒng)[10].

在 WDM 系統(tǒng)中,四波混頻 (four wave mixing,FWM)等光纖非線性效應(yīng)會嚴重影響通信傳輸?shù)男阅?相關(guān)理論不斷完善[11].近年來,MDM 系統(tǒng)的非線性效應(yīng)也開始受到關(guān)注.2013年,Mumtaz等[12]建立了少?；蚨嘈竟饫w中的非線性傳輸模型,并通過該模型研究了114 Gb/s信號在少模光纖中傳輸 1000 km 的通信性能.同年,Mumtaz 等[13]和Essiambre等[14]通過實驗驗證了少模光纖中模間FWM效應(yīng),證明在大頻率間隔(THz)和較大模式色散條件下也能滿足相位匹配條件.文獻[15]提出了MDM系統(tǒng)中高斯噪聲非線性理論模型,將信道間非線性作用近似為高斯噪聲處理,研究非線性對空頻復(fù)用光纖傳輸系統(tǒng)的影響.2017年,Trichili等[16]給出了小信號條件下空頻耦合模方程的近似解,分析了少模相敏參量放大過程,該理論不適用于抽運消耗的情形.

時域光纖非線性演化方程的一般處理方法是采用分步傅里葉方法數(shù)值求解,而在準(zhǔn)連續(xù)波情形下也可以得到解析解[17].解析解能更好地反映非線性過程的參數(shù)依賴關(guān)系,最近我們給出了單模高非線性光纖中簡并和非簡并FWM閑頻光幅度和相位的統(tǒng)一解析表達式,證明了非相敏放大(phase insensitive amplify,PIA)模式下閑頻光相位與輸入光初始相位之間的關(guān)系,揭示了FWM相位加減混合運算器的工作原理[18].MDM光纖系統(tǒng)的非線性比單模情形復(fù)雜,自相位調(diào)制、交叉相位調(diào)制、四波混頻等非線性項的系數(shù)均與模場交疊因子相關(guān),目前的理論研究主要集中在數(shù)值模擬或基于特定場景的半解析模型上,精確的解析分析方法還未有報道[12,19?22].

本文詳細推導(dǎo)了空頻域FWM耦合模方程的精確解析解,并采用數(shù)值方法驗證了解析結(jié)果的正確性.所得解析解適用于具有抽運消耗的情形,可用于分析WDM,MDM以及它們的聯(lián)合復(fù)用系統(tǒng)中光纖非線性效應(yīng)對光場幅度和相位的影響.最后,討論了解析分析方法在多波耦合方程簡化、大規(guī)模并行相位運算器設(shè)計以及快速非線性補償?shù)确矫娴膽?yīng)用.

2 理 論

2.1 空頻域FWM耦合模方程

利用少模光纖并采用WDM技術(shù),可實現(xiàn)光場的空頻復(fù)用傳輸.在單模光纖中,FWM過程發(fā)生在具有不同頻率的相同模式之間; 在模式復(fù)用系統(tǒng)中,具有相同或不同頻率的模式之間也會發(fā)生FWM.因此,空頻復(fù)用系統(tǒng)中的非線性耦合方程會更加復(fù)雜.為了使推導(dǎo)過程更加清晰,本文考慮準(zhǔn)連續(xù)線偏振導(dǎo)波光的非簡并FWM過程.空頻域復(fù)用系統(tǒng)中導(dǎo)波光的光場復(fù)振幅Al(l=1—4)滿足如下FWM耦合方程組:

式中c為真空中光速,z表示少模光纖的長度;ωl(l=1—4)為各導(dǎo)波光的角頻率,導(dǎo)波光之間滿足能量守恒關(guān)系,即ω4+ω3? ω2? ω1=0 ; 相位失配因子 ?β=β4+β3? β2? β1,其中βl(l=1—4)為各導(dǎo)波光的傳播常數(shù).歸一化橫向模場分布Fl,m,n,p(x,y)的交疊積分為

式中n2(x,y) 為光纖的非線性折射率參量,F為歸一化模場分布函數(shù).當(dāng)所有涉及的模場交疊積分均相同,且光頻率間隔較小時,非線性系數(shù)可以統(tǒng)一表示為γNL≈n2k0/Aeff,此時(2)式可化為單模光纖情形[23],其中k0為真空中導(dǎo)波光波數(shù),

式 中θ=?βz+φ3(z)+φ4(z)? φ1(z)?φ2(z),且滿足關(guān)系

式中參數(shù)O1,O2,O3,O4與四個光波的功率、頻率分布以及模場歸一化交疊積分有關(guān),即.

顯然,(5)式中的參數(shù)包括了多模光纖中不同頻率和模式的光場作用,體現(xiàn)了多模光纖中導(dǎo)波光的空域和頻域耦合特性.與單模光纖情形相比,多模光纖中四波混頻耦合模方程的非線性系數(shù)發(fā)生了改變,各項的非線性系數(shù)之間不再保持固定的大小關(guān)系,而是取決于耦合光場的模場分布.(4)式也與單模情形的表達式不同,不能直接利用單模光纖的推導(dǎo)過程進行解析求解,因此這種非線性系數(shù)的變化增加了推導(dǎo)解析解的難度.

下面,本文通過變量代換方法,將模式和頻率的依賴性包含到相關(guān)參量中,推導(dǎo)多模光纖中FWM功率和相位的解析表達式.令Pi=ωiQi(i=1—4)和則 (3)式—(5)式可重新表示為

式中空頻域耦合參量o1,o2,o3,o4表示為

由(6)式可知,各導(dǎo)波光之間存在如下關(guān)系:

其中Qi0=Pi0/ωi(i=1,2,3,4) ,與導(dǎo)波光的初始功率有關(guān),q(z) 表示 FWM 的轉(zhuǎn)移能量.q(z) 的物理意義可由(9)式加以分析,即q(z)=?Qi= ?Pi/ωi=?PiTi/(ωiTi)= ?Ei/(2π),其中Ti為光波相位周期,Ei=PiTi為一個周期的能量.由(6)式—(9)式可知,q(z) 滿足如下方程:

下面根據(jù)(10)式和(11)式求出轉(zhuǎn)移能量參數(shù)θ隨光纖長度z的變化關(guān)系,進而給出功率和相位的解析表達式.

2.2 功率的解析解表示

由 (11)式可知,f(θ) 是關(guān)于轉(zhuǎn)移能量參數(shù)θ的四次多項式,在初始條件確定的情況下,可以表示為的形式,其中η1<η2<η3<η4是滿足f(θ)=0 的、依次按照從小到大的順序排列的四個根,表示f(θ)最高次項的系數(shù).于是(10)式可以進一步表示為

式中ξ=sign(sinθ0),依賴于輸入光波的初始相位關(guān)系.

我們的目的是得到輸出功率的解析表示,即轉(zhuǎn)移能量參數(shù)θ(z) 隨長度z演化的表達式.當(dāng)初始條件給定時,(14)式能夠表示為第一類橢圓積分.根據(jù)第一類橢圓積分與雅可比橢圓函數(shù) s n(μ,k) 之間的互逆運算關(guān)系,FWM轉(zhuǎn)移能量參數(shù)θ(z) 的解析表達式為[17]

其中F為第一類橢圓積分.根據(jù)(9)式和(15)式,多模光纖中導(dǎo)波光的功率演化規(guī)律可解析地表示為

(15)式—(17)式描述了空頻復(fù)用多模光纖FWM作用中導(dǎo)波光的光功率演化規(guī)律,也適用于單模光纖的情形,其中參數(shù)η1—η4計及了空頻耦合作用.

根據(jù)非簡并FWM過程所滿足的頻率關(guān)系ω1+ω2=ω3+ω4,由 (17) 式可知,光波沿光纖傳播時P1(z)+P2(z)+P3(z)+P4(z)=P10+P20+P30+P40,即總功率始終保持不變,符合FWM作用過程中能量守恒的條件,一定程度上表明了我們理論推導(dǎo)的正確性.

2.3 相位的解析解表示

由 (4)式可知,導(dǎo)波光的相位與θ(z) 相關(guān),即相位的解析解可以由θ(z) 的解析式推導(dǎo)得到.為簡單起見,本文以閑頻光的相位φ4為例,將o4和K(θ)分別表示為o4=A+Bq和K(θ)=Cq+Dq2的形式,其中A,B,C,D由 (8)式、(12)式和 (13)式給出.則相位φ4的演化方程為

式中參數(shù)a,b,c,d表示如下:

(18)式具有如下通解形式[17]:

類似于閑頻光相位解析解的推導(dǎo)過程,也可以得到其他導(dǎo)波光相位的解析表達式.

(20)式—(24)式給出了多模光纖中導(dǎo)波光場相位演化的解析解,盡管形式上與單模光纖的解析解類似,但其中涉及的諸多參量如A,B,C,D以及η1—η4等有所不同.

需指出的是,上述相位的解析解是在θ(z) 單調(diào)區(qū)間內(nèi)得到的.事實上,隨著光纖長度z的增加,θ(z)的演化具有周期震蕩特性,在(10)式符號改變的位置θ(z) 的單調(diào)性也發(fā)生改變,此時相位解析解出現(xiàn)奇異 (相位跳變).此外,在z=0 的初始位置,由于θ(z)=0,當(dāng)沒有閑頻光輸入時f(θ)=0,相位的解析解也存在奇異性.因此,需單獨分析各單調(diào)區(qū)間的情況,并考慮θ(z) 周期變化對相位的累積影響,有關(guān)相位的完整表示在文獻[17]中已有詳細的討論.

3 解析解的驗證

下面利用解析解來分析多模光纖中非簡并FWM過程,并采用數(shù)值方法直接對空頻復(fù)用FWM耦合模方程(1)式進行求解,來驗證上述解析解的正確性.令兩個抽運光的頻率為f1和f2,探測光為f3,產(chǎn)生的閑頻光頻率為f4,它們的模場分布對應(yīng)于兩個模群的三個線偏振模 LP01,LP11a和LP11b,具體的模場分布和頻率分配如圖1所示.結(jié)合文獻[9,24]給出的少模光纖的參數(shù),選擇參考頻率f0為 194.81 THz,傳輸光纖長度為 4.5 km; 簡并模 LP11a和 LP11b具有相同的傳播常數(shù),差模群時延對應(yīng)的色散參量為并且假定所有模式具有相同的色散斜率.

對(1)式進行求解,首先要知道導(dǎo)波光場的交疊積分flmnp和相位失配 ?β.文獻[9,24]已給出模場歸一化交疊積分的參數(shù)flmnp/fLP01,如表1所列,其中fLP01為 LP01模的交疊積分.下面通過優(yōu)化導(dǎo)波光的頻率分布,盡可能滿足相位匹配條件?β≈0.選擇參考頻率f0=f1,則相位失配因子 ?β為

圖1 非簡并FWM過程中導(dǎo)波光的模式與頻譜分布Fig.1.Mode and frequency distribution in the non-degenerate FWM process.

根據(jù) (25) 式,可畫出相位失配隨 ?f1和 ?f2變化的情況,如圖2 所示.優(yōu)化頻率參數(shù) ?f1和 ?f2的取值,可使相位匹配失配 | ?β| 取到最小.由圖2可 知,| ?β| 對 ?f2的改變更加敏感.選擇 ?f1=0.13 THz和 ?f2=0.33 THz,使 | ?β|=0.則參與FWM 過程的導(dǎo)波光頻率為f1=194.81 THz,f2=195.14 THz,f3=194.68 THz,f4=195.27 THz.

根據(jù)上述計算參數(shù),用四階龍格庫塔法對(1)式進行數(shù)值求解[25],相同參數(shù)也代入解析式(15)式—(17)式和(20)式—(24)式,分別得到閑頻光的功率和相位隨長度z的變化曲線,如圖3所示,其中抽運 1的功率為 0.5 W,抽運2的功率為0.35 W,輸入探測光功率分別為 0.01,0.05 和 0.1 W.由圖3(a)可知,閑頻光輸出功率的解析解和數(shù)值計算結(jié)果完全相同,探測光輸入功率越大,輸出閑頻光功率達到飽和所需的光纖長度越短.再結(jié)合圖3(b)可知,在功率單調(diào)變化的區(qū)間內(nèi),閑頻光相位的解析解與數(shù)值結(jié)果也非常符合,探測光輸入功率越大,相位隨光纖長度的變化也越大.由圖3(b)可知,無閑頻光輸入時,相位在光纖輸入端出現(xiàn)了跳變,計算時閑頻光功率取了一個很小的值(如10–10W).實際上,由于噪聲的存在,閑頻光輸入會從噪聲中產(chǎn)生,解析解的條件自動得到滿足,因此在應(yīng)用中并不會受到限制.總之,在解析式的適用范圍內(nèi),本文得到的解析解與數(shù)值結(jié)果完全一致.

表1 模場的歸一化交疊積分參數(shù)Table 1.Normalized overlap integral parameters of mode fields.

圖2 相位失配因子對 ?f1 和 ?f2 的依賴Fig.2.Dependency of phase mismatching factor on ?f1 and ?f2.

圖3 解析解與數(shù)值結(jié)果的比較 (a)閑頻光功率; (b)閑頻光相位Fig.3.Comparison of analytical and numerical results:(a) Idler output power; (b) idler output phase.

上述結(jié)果表明,合理設(shè)計光纖結(jié)構(gòu)和優(yōu)化輸入?yún)?shù),少模光纖中仍可發(fā)生高效的模間FWM,同時實現(xiàn)模式和波長轉(zhuǎn)換功能.

4 解析分析方法的應(yīng)用

與數(shù)值計算方法相比,解析分析方法更加便捷.本文給出的空頻復(fù)用FWM解析解適用范圍更加廣泛,可快速分析少模光纖中的FWM效應(yīng),也可以用于擬合模場交疊積分等.下面討論解析解在多波耦合方程簡化、大規(guī)模并行相位運算器設(shè)計以及快速非線性補償?shù)确矫娴男滦蛻?yīng)用.

4.1 多波耦合項的選擇

在級聯(lián)FWM中,特別是在空頻復(fù)用多模光纖中,多組FWM過程可能同時發(fā)生,需用多波耦合方程組加以描述.每個耦合方程對應(yīng)一個特定模式和頻率的光波,并涉及與其他導(dǎo)波光的FWM耦合項,FWM耦合項數(shù)隨著導(dǎo)波光數(shù)目的增加指數(shù)增長,將導(dǎo)致傳統(tǒng)分步傅里葉算法的計算效率急劇下降.此時可利用本文給出的解析解計算FWM耦合項的貢獻大小并篩選出起主要作用的耦合項,從而簡化多波問題的分析和研究.

下面利用本文得到的多模FWM解析解,給出多波耦合項的具體篩選過程.圖4(a)是在不同相位失配下,由本文解析式計算得到的轉(zhuǎn)移能量參數(shù)θ(z)隨光纖長度變化的曲線,可以看出,FWM轉(zhuǎn)移能量的極大值θp與 ?β密切相關(guān).定義一個相位匹配度參數(shù)μ(?β) 為

式中θp(?β) 表 示θ(z) 的 極大值是相位失配 ?β的函數(shù),它不依賴于光纖長度;θmax為完全相位匹配時FWM的最大轉(zhuǎn)移能量[17],即θmax=min(Ppump1/ωpump1,Ppump2/ωpump2).顯然,相位匹配度參數(shù)描繪了不同相位失配因子下FWM耦合項的貢獻大小.利用FWM的解析解,可畫出相位匹配度μ隨 ?β的變化曲線,如圖4(b)所示.若所計算的FWM耦合項的實際相位失配因子處于μ≥μc的范圍,則該FWM耦合項的貢獻不能忽略,即保留該耦合項,其中μc為臨界值,如可取μc=0.05; 否則該FWM耦合項可忽略,從而達到簡化多波FWM耦合方程的目的.

圖4 (a) FWM 轉(zhuǎn)移能量在不同相位失配 ?β 隨光纖長度 L 的變化; (b) 相位匹配度 μ 隨 ?β 的變化Fig.4.(a) FWM energy transfer θ (z) of different ?β with fiber length L; (b) variation of phase matching parameter μwith ?β.

4.2 多通道相位運算器

由多模光纖解析解的相位關(guān)系(20)式可知,對于沒有閑頻光輸入的非相敏情形,輸出閑頻光相位可為如下形式:

圖5 輸出閑頻光相位 φ4 與輸入初相位運算 φ10+φ20?φ30之間的關(guān)系Fig.5.Dependence of output idler phase φ4 on the initial phase operation of φ10+φ20? φ30.

圖6 輸入信號 SNR 與輸出信號 SNR 的關(guān)系Fig.6.Input signal SNR vs.output signal SNR.

以圖1所示的模間FWM過程為例,利用解析解計算少模光纖相位運算器的性能.將三路四進制數(shù)字序列調(diào)制到頻率為的導(dǎo)波光場上,生成QPSK光信號,同時疊加一個零均值的高斯白噪聲; 經(jīng)過少模光纖傳輸后在頻率處產(chǎn)生閑頻光,最后由光接收機進行相位解調(diào).輸出閑頻光的信噪比(SNR)隨輸入SNR的變化如圖6所示,可以看出,輸出閑頻光的SNR與輸入導(dǎo)波光的SNR成正比,該相位運算器會導(dǎo)致約1.6 dB的SNR劣化.

由上述分析可知,利用本文的解析表達式可實現(xiàn)少模光纖中數(shù)字相位運算器的設(shè)計,以及其他全光數(shù)字運算功能[26?31].并且,若將數(shù)字運算序列分別調(diào)制到幾個模式上,利用MDM的FWM過程也能夠?qū)崿F(xiàn)多路全光相位運算,換句話說,通過設(shè)計優(yōu)化少模高非線性光纖的參數(shù),可設(shè)計空頻域復(fù)用系統(tǒng)的多通道相位運算器.

4.3 少模非線性補償

數(shù)字后向傳播算法 (digital back propagation,DBP)是目前光通信系統(tǒng)中重要的非線性補償算法之一[32],它基于分步傅里葉算法反向計算出原始信號,以補償實際傳輸中的非線性損傷.將DBP算法直接用于少模光纖系統(tǒng)的計算復(fù)雜度會更高[33],我們提出利用FWM解析解的逆運算來對少模傳輸系統(tǒng)進行非線性補償?shù)姆椒?一個算法處理流程如圖7所示.首先,通過訓(xùn)練序列得到通信鏈路的非線性響應(yīng),并采用遺傳算法或二分法對解析式中的非線性參量進行估計; 然后在實際補償中,根據(jù)解析解對應(yīng)的逆函數(shù)方程,利用不動點迭代法對接收信號運算,得出發(fā)送端的幅度信息.最后,采用相似的方式恢復(fù)出發(fā)送信號的相位,從而實現(xiàn)少模光纖非線性的補償.

圖7 基于 FWM 解析解的非線性補償框圖Fig.7.Block diagram of nonlinear compensation based on the analytic solution for FWM effect.

本文提出的非線性補償算法適用于空頻復(fù)用光傳輸系統(tǒng),它通過解析解逆函數(shù)法對接收到的信號進行反向運算,其解析特性決定了算法本質(zhì)上是單步運算過程,不會隨傳輸距離的增加提升復(fù)雜度,相比DBP基于長度的分步傅里葉迭代計算,具有先天的低復(fù)雜度優(yōu)勢.算法的具體實現(xiàn)過程與分析,將會另文發(fā)表.

本文在連續(xù)波的條件下得到了多模光纖FWM的解析解,連續(xù)光模型有助于簡化分析過程.例如,在忽略群速色散的條件下,可以采用連續(xù)或準(zhǔn)連續(xù)光來分析脈沖光在少模光纖中的傳輸特性,也可用于計算通信系統(tǒng)的信噪比等統(tǒng)計性能; 此外,周期性光脈沖可以視為不同頻率連續(xù)光波的合成,即使存在群速色散,仍可利用上述解析解進行計算分析.值得強調(diào)的是,利用FWM的解析解可以有效分析導(dǎo)波光在少模光纖中的非線性幅度和相位轉(zhuǎn)移特性,可為少模多電平全光再生器設(shè)計提供理論指導(dǎo).

5 結(jié) 論

詳細推導(dǎo)了空頻復(fù)用系統(tǒng)中非簡并FWM閑頻光幅度和相位的解析表達式,并通過數(shù)值仿真驗證了解析解的正確性.討論了解析分析法的三個新型應(yīng)用.1)根據(jù)FWM的解析解,通過引入相位匹配度參數(shù)來篩選級聯(lián)FWM多波耦合方程的耦合項,為簡化空頻域多波耦合問題提供了理論方法;2)將解析解和數(shù)值計算結(jié)果相結(jié)合,揭示了非相敏FWM相位運算器的物理本質(zhì),解析式為空頻復(fù)用系統(tǒng)的相位運算器設(shè)計提供了理論依據(jù); 3)提出了基于解析解的非線性補償方法,可用于少模傳輸系統(tǒng),與傳統(tǒng)DBP算法相比,解析法具有低復(fù)雜度的優(yōu)勢.