魏燕明，甘旭升，張 鐵，楊國洲，席 新

（1.西京學(xué)院，西安710123；2.空軍工程大學(xué)空管領(lǐng)航學(xué)院，西安710051；3.北方聯(lián)創(chuàng)通信有限公司，南昌330000）

0 引言

小波網(wǎng)絡(luò)（Wavelet Neural Network，WNN）是一種有別于傳統(tǒng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)方法，其由小波變換推導(dǎo)而來，學(xué)習(xí)能力強，收斂速度快，也適用于傳統(tǒng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用的所有領(lǐng)域。

發(fā)揮WNN潛在性能，選擇合適學(xué)習(xí)算法至關(guān)重要，這也是當(dāng)前該領(lǐng)域研究的熱點。除了傳統(tǒng)的BP學(xué)習(xí)算法外［1］，粒子濾波（Particle Filter，PF）算法也可用于WNN學(xué)習(xí)。PF是一種基于Bayes理論的非線性遞歸估計方法，適用于狀態(tài)空間模型描述的非高斯背景的任意非線性系統(tǒng)［2］。但其性能的好壞依賴于所選擇的重要性密度函數(shù)（Importance Density Function，IDF），研究表明，采用無跡Kalman濾波（Unscented Kalman Filter，UKF）生成IDF，濾波效果更好，但其運算量偏大［3］。而降低UKF運算量的最佳途徑，是在確保估計精度前提下，在無跡變換（Unscented transforma-tion，UT）中，選取適當(dāng)采樣策略減少點個數(shù)［4］。

基于以上分析，在采用UKF算法產(chǎn)生PF算法的重要性函數(shù)過程中，引入一種改進的Sigma點采樣策略，以期減少運算量，有效地提高WNN的學(xué)習(xí)效率。并通過某型軍用飛機的氣動力建模算例進行了驗證。

1 無跡卡爾曼濾波（UKF）

UKF就是UT在Kalman濾波中的應(yīng)用。UT是UKF的核心。UT是一種計算非線性變換中的隨機變量的統(tǒng)計特征的新方法。它用固定數(shù)量的參數(shù)去近似一個高斯分布，而省去了繁瑣的雅可比與海森矩陣的計算過程。數(shù)值分析表明，UT中選取Sigma點個數(shù)的多少，對UKF的估計精度和計算量有很大影響。選取的Sigma點個數(shù)越多，UKF估計就越準(zhǔn)確，相應(yīng)的計算量也會越大。文獻［5］研究指出，在UT選取Sigma點個數(shù)過程中引入最小偏度（Minimal Skew）概念，即SUT，能夠以犧牲較小精度前提下，顯著改善計算效率。其點采樣步驟如下：

2）選取Sigma點權(quán)值

3）初始化序列

5）將均值和方差信息與Sigma點集成

根據(jù)以上過程可知，基于SUT的UKF，即SUKF。其整個計算過程無需了解非線性函數(shù)細(xì)節(jié)，其對均值和協(xié)方差的估計精度與基于UT的UKF大體相當(dāng)，且計算量明顯減少。

2 SUPF算法

PF是在Monte Carlo法基礎(chǔ)上發(fā)展起來的一種Bayes濾波［6］。它使用狀態(tài)空間中若干加權(quán)隨機粒子來逼近系統(tǒng)狀態(tài)的后驗概率密度函數(shù)（Posterior Density Function，PDF），對非高斯系統(tǒng)狀態(tài)與參數(shù)估計具有較大優(yōu)勢。PF算法的關(guān)鍵是IDF的選取。

PF的IDF越逼近PDF，精度越逼近最優(yōu)，估計值也越穩(wěn)定，但如何獲取合適的IDF是一個亟待解決的難題。標(biāo)準(zhǔn)PF主要采用狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率密度函數(shù)進行重要性采樣，粒子嚴(yán)重依賴狀態(tài)轉(zhuǎn)移模型的選取。若模型選取不準(zhǔn)，可能導(dǎo)致非常大的采樣偏差。為此，需要探索更接近于PDF的IDF。文獻［7］提出通過EKF算法計算IDF的PF算法，即EPF算法，其可逼近于一階Taylor級數(shù)；文獻［8］在PF中采用UKF算法選取IDF，即UPF算法，濾波精度更高，狀態(tài)均值和方差可近似到三階，但其需要UT，計算量偏大。由前述可知，SUKF算法是UKF算法的改進，兩者精度大體相當(dāng)，但前者運算量卻顯著降低，因此，采用SUKF算法產(chǎn)生重要性密度函數(shù)（SUPF算法），理論上可取得與UKF算法相近的PF性能，并明顯改善計算效率?；诖耍捎蠸UPF算法流程：

②計算粒子權(quán)值

③粒子權(quán)值歸一化

4）輸出結(jié)果

5）k=k+1，并轉(zhuǎn)到步驟2）。

3 基于SUPF的WNN學(xué)習(xí)算法

4 仿真分析

4.1 非線性系統(tǒng)辨識

設(shè)給定的SISO非線性系統(tǒng)為：

圖1 SUPF-WNN實現(xiàn)流程

使用7種算法進行WNN學(xué)習(xí)的20次平均訓(xùn)練時間和測試平方根誤差（MSE）對比如下頁表1所示。當(dāng)粒子數(shù)目N分別取50，100，150,200，250時，4種PF算法的WNN測試MSE和訓(xùn)練時間對比如圖2和圖3所示。圖4給出SUPF算法的WNN訓(xùn)練收斂曲線。

從仿真結(jié)果可看出：相對于傳統(tǒng)BP算法，其余6種算法都提升了WNN性能，說明使用濾波估計技術(shù)確實能夠有效降低系統(tǒng)引起的偏差。由于線性化過程中引入了模型誤差，基于EKF算法的WNN性能并不如UKF算法，這與UT改進EKF的理論分析結(jié)論相一致。而使用UPF算法進行WNN學(xué)習(xí)，較之SPF與EPU算法效果更好，其主要原因有兩個：其一，UPF算法能夠充分利用最新觀測到的信息；其二，它利用UKF算法選取IDF，更逼近于PDF，可精確到Taylor級數(shù)的三階。需要指出的是，UPF算法的計算量與UT變換的Sigma點個數(shù)成正比，這使得UPF-WNN需要更多的學(xué)習(xí)時間。而SUPF-WNN的測試精度與UPF-WNN相當(dāng)，但后者是在較少Sigma點情況下獲得的，學(xué)習(xí)時間明顯減少。主要原因是，SUPF在利用傳統(tǒng)UKF產(chǎn)生IDF時，由SUT替代了對稱分布Sigma點的UT，在繼承UKF良好性能的同時，很大程度降低了計算量。

表1 基于各學(xué)習(xí)算法的WNN性能對比

圖2 粒子數(shù)目對WNN測試性能的影響

圖3 粒子數(shù)目對WNN訓(xùn)練時間的影響

圖4 基于SUPF-WNN算法的WNN訓(xùn)練收斂曲線

4.2 飛行器氣動力建模

為深入驗證SUPF-WNN的性能及其實用性，將其引入某型軍用飛機的氣動力建模實驗，分為橫側(cè)向建模和縱向建模兩方面的測試。飛行實測數(shù)據(jù)來源于空中飛行模擬機ATTAS的副翼、方向舵和升降舵輸入激勵產(chǎn)生的兩個機動動作［10］。在實驗中，隱層節(jié)點取為15，其他參數(shù)設(shè)置同4.1，為消除量綱的影響，建模前先對飛行數(shù)據(jù)作標(biāo)準(zhǔn)化處理，部分變量解釋如圖5所示。

ATTAS的橫側(cè)向氣動力模型可表示為

式中，β為側(cè)滑角，p為傾斜角速率，r為偏航角速率，δa為副翼偏轉(zhuǎn)角，δr為方向舵偏轉(zhuǎn)角，部分變量解釋如圖5。而CY、Cn和Cl分別為側(cè)力系數(shù)、偏航力矩系數(shù)和滾轉(zhuǎn)力矩系數(shù)，可根據(jù)文獻［14］提供的方法計算得出。

ATTAS的縱向氣動力模型可表示為

式中，α為攻角，q為俯仰角速率，V為真速，δe為升降舵偏轉(zhuǎn)角。而CD、CL和Cm分別為阻力系數(shù)、升力系數(shù)和俯仰力矩系數(shù)，可根據(jù)文獻［11］提供的方法計算得出。

圖5 部分變量的符號解釋

表2 氣動力建模的仿真結(jié)果對比

從表2和圖6的實驗結(jié)果可得出與4.1大致相同的結(jié)論，基于SUPF學(xué)習(xí)算法的WNN，在測試MSE方面明顯優(yōu)于SPF-WNN和EPF-WNN，與UPF-WNN大體相當(dāng)，但訓(xùn)練時間（T，單位：s）方面要優(yōu)于UPF-WNN。這再次驗證了采用新Sigma點采樣策略的UKF來選取IDF，不僅能夠保持UPF算法在WNN學(xué)習(xí)中的優(yōu)良性能，而且減少了計算量，縮短了學(xué)習(xí)時間，從而為解決飛行器的氣動力WNN建模問題提供了方法與技術(shù)上的支持。

圖6 橫側(cè)向氣動模型預(yù)測結(jié)果

5 結(jié)論

為改善WNN訓(xùn)練效率，對其狀態(tài)空間模型引入一種改進UKF的PF學(xué)習(xí)算法。首先，將基于最小偏度Sigma點采樣策略的UT用于改進UKF算法，以代替?zhèn)鹘y(tǒng)計算量較大的對稱分布Sigma點采樣的UT，然后，采用改進UKF算法選取PF算法的重要性密度函數(shù)，進而對WNN參數(shù)進行最優(yōu)估計，完成WNN訓(xùn)練。仿真結(jié)果表明，該PF學(xué)習(xí)算法可較好地提高WNN的性能，縮短模型訓(xùn)練時間，提高建模效率。同時，也為復(fù)雜系統(tǒng)的建模預(yù)測提供了一種可靠的解決方法。