方愿捷,費敏銳，錢 虹，王 靈，杜大軍

(1.上海大學(xué)機電工程與自動化學(xué)院，上海 200072；2.上海電力大學(xué)自動化工程學(xué)院,上海 200090)

0 引言

核能發(fā)電是能源發(fā)電的一個重要組成部分。第一批商業(yè)核電站于20世紀50年代投入運行，隨后在1973年和1979年的兩次石油危機刺激下，全世界的核電廠數(shù)量大幅增加[1]。截至2017年，已有超過430個商用核電反應(yīng)堆在31個國家運行，裝機功率約為370 GW，每年可提供超過2 400 TWh的電力[2]。核電是我國重大戰(zhàn)略方針。在2015年國務(wù)院印發(fā)的能源發(fā)展戰(zhàn)略行動計劃(2014～2020年)列明：到2020年，核電裝機容量達到58 GW，在建容量達到30 GW以上。

核電站的堆芯功率控制是核電站控制技術(shù)的核心。穩(wěn)定的堆芯功率也是核電站安全運行的可靠保障。現(xiàn)有大型堆中因為氙反應(yīng)性反饋引起的中子通量的空間振蕩效應(yīng)明顯，整體功率控制策略相對比較保守。1904年，Ernest Rutherford提出，如果可以精準控制放射元素的分解速率，就可以從少量物質(zhì)中獲得大量的能量[3]。基于該思想，產(chǎn)生了能有效控制反應(yīng)堆的空間振蕩，并獲得具有良好控制性能的空間控制[4]。

在小型核反應(yīng)堆中，由135Xe誘導(dǎo)的中子通量振蕩[3,5-6]，可以通過適當?shù)目刂瓢羲惴ǖ玫接行Э刂?。然而，在物理尺寸相當于中子遷移長度很多倍的大型核反應(yīng)堆中，空間振蕩問題必須引起足夠關(guān)注。如果忽略各位置的堆芯功率進行控制，某些部分的功率可能會超過熱能上界。因此，除了利用控制技術(shù)對堆芯總功率進行控制以外，必須對各反應(yīng)堆中各位置的功率進行控制[7]。

大部分空間控制的主要研究對象為加壓重水堆(pressurized heavy water reactor,PHWR)[8-11]及先進重水堆(advanced heavy water reactor,AHWR)[4,6-7]?？臻g功率控制的核心問題在于：具有空間特征的復(fù)雜的中子動力學(xué)模型、復(fù)雜高階非線性多參量模型的降階簡化及控制。在空間控制中，反應(yīng)堆中各參量相互作用的速度差異很大，動態(tài)現(xiàn)象復(fù)雜，并產(chǎn)生了廣泛分離的特征值組。大部分研究基于奇異攝動理論[1,8]。通過奇異攝動的特征值理論，將復(fù)雜的系統(tǒng)分解為多個子系統(tǒng)，先針對多個子系統(tǒng)進行分別設(shè)計調(diào)節(jié)器，再將系統(tǒng)復(fù)合，還原控制系統(tǒng)。文獻[12]給出了奇異攝動方法在不同類型的反應(yīng)堆控制問題中的應(yīng)用。文獻[8]將PHWR分解為1個快子系統(tǒng)和1個慢子系統(tǒng)。借鑒文獻[8]的思路，文獻[13]將AHWR分解成3個子系統(tǒng)。文獻[5]將AHWR分解為1個73階慢系統(tǒng)和1個17階的快系統(tǒng)。

目前，國內(nèi)外學(xué)者對核電堆芯的空間控制技術(shù)作了大量的研究工作[3,14-16]。本文結(jié)合以往的研究成果及最新進展，著重梳理近年來國內(nèi)外核電空間功率控制技術(shù)，闡述反應(yīng)堆堆芯的模型、狀態(tài)空間表達、空間功率控制方法。

1 堆芯動力學(xué)模型

核反應(yīng)堆模型描述了核反應(yīng)堆反應(yīng)過程中各參量的動態(tài)變化過程。核反應(yīng)堆的功率控制可保證堆芯功率穩(wěn)定運行，并保障整個核能發(fā)電過程的安全運行。堆芯內(nèi)的中子動態(tài)變化會引起核電功率和溫度等狀態(tài)動態(tài)變化。堆芯動力學(xué)模型用于描述中子的動態(tài)變化過程，并反映反應(yīng)性反饋變化的過程。

堆芯動力學(xué)的建模種類較多，適用范圍也不盡相同。目前，為了便于實現(xiàn)控制目標，均對堆芯動力學(xué)模型進行不同程度的簡化。隨著研究的深入，堆芯簡化控制模型從經(jīng)典的集總參數(shù)模型(lumped parameter model,LPM)推廣到堆芯節(jié)點模型。本文著重闡述應(yīng)用于功率空間控制的堆芯節(jié)點模型。

1.1 集總參數(shù)模型

LPM是指各個參數(shù)不隨空間變化而變化，使用平均值替代具有空間分布的各項參數(shù)。在實際核反應(yīng)堆中，各參量都具有空間分布的特性。使用LPM實際是對控制模型的一種簡化。文獻[17]基于低代價的非實時/實時的核反應(yīng)堆模擬器，建立了LPM。文獻[18]使用集中化參數(shù)方式對一回路進行建模，使其能夠在個人計算機上運行。核反應(yīng)堆中子密度具有空間分布的特點。不考慮空間分布特性，使用參量(如燃料溫度、冷卻劑溫度等參數(shù)的平均值)來替代空間分布的特征量。

包含多組緩發(fā)中子的點堆動力學(xué)模型表達式為[19]：

(1)

(2)

通常，文獻中N取6，表示6組緩發(fā)中子。

由核動力工程基礎(chǔ)知識可知，核反應(yīng)堆的熱功率正比于平均中子通量：

(3)

同時，反應(yīng)堆熱功率可以由式(4)計算獲得：

(4)

式中：PTH為反應(yīng)堆熱功率；N0,N為額定功率時平均中子密度；PTH,N為反應(yīng)堆的額定功率；φs為電子通量密度。

LPM極大地簡化了控制模型，以便實現(xiàn)控制的設(shè)計。大量文獻表明，通過線性化處理可以獲得良好的控制效果[4]。LPM忽略了中子通量、各區(qū)域功率、135I濃度、135Xe濃度等分量的空間分布情形，將各參量的分布考慮為均勻在大型反應(yīng)堆中，參數(shù)的空間分布特性將更加突出，使得LPM對于精準的控制存在局限性。

近年來，通過引入分數(shù)階的概念，分數(shù)階模型也被用于描述中子動力學(xué)模型。文獻[20]對文獻[21]的結(jié)果進行了推廣，將模型解的數(shù)值算法轉(zhuǎn)換為狀態(tài)空間中的一種形式，并進行離散化。顯然，分數(shù)階模型比LPM更復(fù)雜，計算方法也更繁雜；但是分數(shù)階模型對反應(yīng)堆的物理反應(yīng)過程的描述更加精確。

1.2 堆芯節(jié)點模型

大型反應(yīng)堆中，多參量的空間分布無法忽略，而多參量時空表達式將進一步增加被控變量，使得控制問題更加復(fù)雜，增加了控制器的設(shè)計難度。同時，過于簡化的LPM難以應(yīng)用于大型堆。目前，堆芯節(jié)點模型主要針對PHWR與AHWR建立。

1.2.1 堆芯區(qū)域劃分

為應(yīng)用堆芯節(jié)點模型，將反應(yīng)堆堆芯劃分成許多小區(qū)域[22-23]，小區(qū)域間的中子擴散構(gòu)成區(qū)域間的耦合關(guān)系。文獻[8]在一個臥式加壓管式PHWR中，使用重水作為慢化劑，并將其劃分成14個區(qū)域。PHWR模型區(qū)域劃分如圖1所示。

圖1 PHWR模型區(qū)域劃分Fig.1 PHWR model zone division

該臥式反應(yīng)堆直徑800 cm，長度600 cm，每個區(qū)域中心有液位區(qū)域控制器(liquid zone controller,LZC)的隔室。LZC可以控制慢化劑的液位以實現(xiàn)功率的分配和總功率。堆芯中分布有中子探測器檢測中子通量。由式(3)可知，堆芯功率與中子通量密切相關(guān)，堆芯的功率分布和總功率可以根據(jù)各中子探測器的輸出來估算[24]。

大量文獻研究報道了AHWR的研究成果[25-26]，并將PHWR的相關(guān)區(qū)域劃分模型推廣到AHWR中。作為PHWR的先進型AHWR，通常劃分為17個區(qū)域[5]。AHWR模型區(qū)域劃分如圖2所示。AHWR與臥式PHWR不同，采用的是立式壓力管式反應(yīng)堆，以重水作為慢化劑。AHWR由8個吸收棒(absorber rods，AR)、8個補償棒(shim rods，SR)、8個調(diào)節(jié)棒(regulating rods，RR)組成。其中，4個調(diào)節(jié)棒為自動調(diào)節(jié)棒，另外4個為手動調(diào)節(jié)棒。堆芯內(nèi)中子通量通常由堆芯外的探測器和堆芯外的電離室測得。

圖2 AHWR模型區(qū)域劃分Fig.2 AHWR model zone division

1.2.2 堆芯動力學(xué)模型

經(jīng)由區(qū)域劃分后的加壓重水堆，各區(qū)域內(nèi)的參數(shù)分量被假設(shè)為不隨空間變化。裂變產(chǎn)物氙和碘濃度及中子通量通過集總模型改寫。

以下等式構(gòu)成堆芯節(jié)點模型[8]：

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

式中：P為堆芯的功率；ρ為反應(yīng)性；Ch為緩發(fā)第h組中子先驅(qū)核濃度；I和X分別為碘和氙的濃度；βh和λh分別為第h組緩發(fā)中子的分裂產(chǎn)量和衰減常數(shù)；Σa和Σf分別為熱中子吸收和裂變截面；Eeff為每次裂變的釋放能量；V為體積，下標i與j為區(qū)域的編號；σx和σI分別為氙和碘以EeffΣfiVi標準化微觀熱中子吸收截面；λx和λI分別為氙和碘的衰減常數(shù)；N為堆芯內(nèi)區(qū)域數(shù)；m為緩發(fā)中子先驅(qū)核的組數(shù)；D為擴散系數(shù)；v為熱中子速度；l為瞬發(fā)中子壽命；Aij為區(qū)域i與區(qū)域j的交界面積；dij為區(qū)域i與區(qū)域j的距離。

式(5)～式(9)在LPM基礎(chǔ)上，增加碘與氙濃度的變化方程，同時增加了各變量的區(qū)域下標，以及區(qū)域i與區(qū)域j間的耦合系數(shù)αij。該系數(shù)取決于幾何形狀、材料組成和區(qū)域之間的距離。耦合系數(shù)很大程度上決定了堆芯節(jié)點模型的精度[8]。將式(5)～式(9)應(yīng)用于PHWR的模型中。其中，PHWR堆芯被劃分為14個區(qū)域(N=14)，并在討論空間通量不穩(wěn)定性時，忽略了冷卻劑、慢化劑反饋效應(yīng)和溫度變化等。

AHWR堆芯中子學(xué)模型如PHWR模型的式(5)～式(8)，其中N=17。增加AHWR自動調(diào)節(jié)棒的運動狀態(tài)方程為：

(10)

式中：H為調(diào)節(jié)棒的位置；k為自動調(diào)節(jié)棒的序號，k=2,4,6,8；v為調(diào)節(jié)棒的棒速。

堆芯節(jié)點模型的表達式，經(jīng)由LPM的區(qū)域擴展，各小區(qū)域內(nèi)的模型為添加了耦合系數(shù)的集總模型。借助空間區(qū)域劃分，可以使得控制目標更加聚焦于各區(qū)域的功率控制。

2 狀態(tài)空間表達

堆芯節(jié)點模型的狀態(tài)空間均表現(xiàn)為非線性、高階的特征。通常，高階非線性系統(tǒng)通過在穩(wěn)定狀態(tài)附近線性化和奇異擾動理論，對動態(tài)模型進行簡化[27]。同時，奇異攝動模型也應(yīng)用于電力系統(tǒng)等其他場合[28-29]。

設(shè)反應(yīng)堆被劃分為N個區(qū)域。各區(qū)域的穩(wěn)定狀態(tài)下，反應(yīng)性ρi0與全局反應(yīng)性ρg0滿足以下關(guān)系。

(11)

式中：下標0表示穩(wěn)定狀態(tài)；g表示全局變量。

PHWR的狀態(tài)空間表達式為：

(12)

z=[δρ1,…,δρN]T

(13)

式中：δ為增量。

式(5)～式(8)改寫為：

z(t)=Az(t)+Bu(t)

(14)

其中：

(15)

由式(12)～式(14)可以看出，該系統(tǒng)是高階系統(tǒng)，狀態(tài)變量由各區(qū)域的功率、中子先驅(qū)核濃度、碘和氙的濃度組成。由此可以推出：PHWR堆芯被劃分為14個區(qū)域，每個區(qū)域有4個狀態(tài)變量和1個輸入變量。整個狀態(tài)空間的維度為56維。

在PHWR基礎(chǔ)上，文獻[30]給出AHWR狀態(tài)空間，狀態(tài)空間可以一般性表達為：

(16)

AHWR的狀態(tài)空間表達為：

(17)

式中：δqf為水流量。

顯然，AHWR的簡化模型的復(fù)雜程度要高于PHWR模型。其控制矢量為4個獨立調(diào)節(jié)棒的棒速，通過控制4個調(diào)節(jié)棒實現(xiàn)各區(qū)域的功率穩(wěn)定控制。兩者均在穩(wěn)定運行點附近進行線性化，以獲得簡化模型[11,31]。

3 空間控制

核電站系統(tǒng)中，被控對象繁多。隨著現(xiàn)代控制方法的發(fā)展，針對核電站的其他對象的控制均取得良好的控制效果[32]。但是由氙誘導(dǎo)空間振蕩增強的控制問題仍然是當今研究的目標。通過堆芯控制抑制氙誘導(dǎo)振蕩的增強，被稱為空間控制[5]。空間控制的目標是在保證整體功率不發(fā)生氙振蕩的基礎(chǔ)上，實現(xiàn)各區(qū)域堆芯功率分布，以達到預(yù)期的分布效果[9]。

堆芯節(jié)點模型具有非線性和高階等特性。通常在穩(wěn)態(tài)工作點進行線性化近似，并使用奇異攝動方法對高階模型進行降階。即借助奇異攝動理論，根據(jù)其不同的時間尺度，將高階系統(tǒng)分解成多個低階子系統(tǒng)[27]。這些子系統(tǒng)根據(jù)極點位置進行歸類，分解為快速子系統(tǒng)或慢速子系統(tǒng)。快速子系統(tǒng)的極點位于遠離虛軸的左半平面，快速子系統(tǒng)能很快穩(wěn)定。

控制問題歸結(jié)于對各低階子系統(tǒng)進行控制器綜合求解，并進一步整合到整個系統(tǒng)的控制。

3.1 輸出反饋的空間控制

基于輸出的反饋控制框架，使用系統(tǒng)的輸出作為系統(tǒng)的反饋量，無需花費大量計算代價估計狀態(tài)變量。

在AHWR模型中，控制變量u可以分解成ug和us兩個分量，u=ug+us，分別用于控制全局功率與各區(qū)域功率。在空間功率控制問題中，通常將全局輸出功率yg進行反饋，即：

(18)

同樣可以代入y表達式，式(18)可以改寫為：

ug=-Ky

(19)

狀態(tài)變量表達式為：

z=(A-BKM)z+Bus+Bfδqf

(20)

針對該輸出反饋問題，設(shè)計符合需求的反饋增益矩陣K。

文獻[33]針對PHWR，設(shè)計了分段定周期輸出反饋控制器。其中，系統(tǒng)輸出采樣速率低于控制輸入。利用奇異攝動理論分解原模型為快速子系統(tǒng)(14階)和慢速子系統(tǒng)(42階)，分別針對慢速和快速子系統(tǒng)設(shè)計周期性輸出反饋控制律，最終通過綜合快慢子系統(tǒng)獲得整體系統(tǒng)的周期性輸出反饋增益。文獻[34]在文獻[33]的基礎(chǔ)上，設(shè)計了快速輸出采樣技術(shù)的離散雙重時間尺度系統(tǒng)控制器。這種復(fù)合狀態(tài)反饋增益是通過使用快速輸出采樣反饋增益來實現(xiàn)的。文獻[11]建立了一個14個輸入、14個輸出的新模型，通過降階獲得26階模型，在降階模型基礎(chǔ)上設(shè)計周期輸出反饋控制律。

上述輸出反饋控制均屬于多速率輸出反饋，即以不同速率對控制輸入和系統(tǒng)輸出進行采樣[35]。在這種方法中，輸出增益是分段恒定的，控制器可以很容易地實現(xiàn)[36]。

3.2 狀態(tài)反饋的空間控制

狀態(tài)反饋通常通過狀態(tài)觀測器等方法對系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)量進行觀測。狀態(tài)量的獲得較為復(fù)雜，需消耗較大的計算資源。但是狀態(tài)反饋直接作用于狀態(tài)矢量，容易獲得比輸出反饋更優(yōu)異的性能。

大型反應(yīng)堆的堆芯時安全性有著較高要求，因此控制器必須具有較強的魯棒性。而傳統(tǒng)控制方法在受干擾或者參數(shù)變化時難以獲得滿意的性能。文獻[9]設(shè)計了基于多速率輸出反饋的滑膜控制器，以實現(xiàn)PHWR的空間控制。文獻[5]將AHWR的堆芯節(jié)點模型推廣到雙重時間尺度模型，建模成一個慢速子系統(tǒng)和一個快速子系統(tǒng)。因為子系統(tǒng)中快速子系統(tǒng)穩(wěn)定特征點遠離虛軸，文獻僅針對慢速子系統(tǒng)，設(shè)計了滑膜面與滑膜控制律。

空間功率控制的輸入信號us也可以通過線性二次型方法設(shè)計實現(xiàn)。文獻[37]～文獻[38]利用降階黎卡提方程求解了優(yōu)化的反饋控制律。文獻[13]將AHWR模型分解到三重時間尺度模型，并基于線性二次型方法設(shè)計了模型。AHWR的模型堆芯節(jié)點模型高達90階，通過三重時間尺度分解方法，系統(tǒng)分解為慢速子系統(tǒng)(38階)、快速1子系統(tǒng)(35階)、快速2子系統(tǒng)(17階)。狀態(tài)矢量可以被劃分為：

(21)

文獻最終通過不同的線性二次型方法，獲得穩(wěn)定的全系統(tǒng)反饋增益，并應(yīng)用于AHWR的非線性模型，在不同的不同瞬態(tài)條件下驗證仿真結(jié)果。

另一類能夠提升系統(tǒng)的抗干擾能力的控制方法是模糊控制。模糊邏輯控制(fuzzy logic control,FLC)在核反應(yīng)堆控制應(yīng)用中已經(jīng)得較為普遍的研究[39-40]。它們可以提供對外部干擾的抵抗能力，同時可以應(yīng)用于不精確的系統(tǒng)模型，進一步在控制系統(tǒng)中集成專家經(jīng)驗[41]。

綜上所述，基于狀態(tài)反饋的空間控制策略是應(yīng)用系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)量直接反饋到系統(tǒng)進行控制。堆芯節(jié)點模型的高階特征使得狀態(tài)矢量呈現(xiàn)高維特征，需使用奇異攝動方法對系統(tǒng)降階分解，再針對不同的設(shè)計需求進行控制策略設(shè)計。隨著控制技術(shù)發(fā)展，更先進的控制技術(shù)方法將逐步應(yīng)用于空間控制中。

4 結(jié)束語

在第4代核電技術(shù)高速發(fā)展的背景下，核電控制的穩(wěn)定性、安全性始終是核電控制的核心。核電控制策略的設(shè)計基于安全性原則。核電堆芯空間控制技術(shù)可抑制大型反應(yīng)堆的氙誘導(dǎo)空間振蕩，符合安全性期望。同時，在功率分布控制的需求上，也能夠進一步實現(xiàn)堆芯各區(qū)域的功率控制優(yōu)化，削弱了傳統(tǒng)控制方法的保守性。

在系統(tǒng)模型上，針對PHWR和AHWR的堆芯區(qū)域劃分與堆芯節(jié)點模型的建立已經(jīng)較為成熟，堆芯節(jié)點模型的研究應(yīng)當契合反應(yīng)堆模型。隨著技術(shù)的推進，堆芯節(jié)點模型也會隨著堆型的發(fā)展而發(fā)展，會出現(xiàn)更先進的反應(yīng)堆型。現(xiàn)階段堆芯的節(jié)點模型中，仍然存在非線性、高階等特點。如果堆芯區(qū)域劃分精確，系統(tǒng)的階數(shù)和狀態(tài)空間的狀態(tài)矢量維度均會成倍增長。系統(tǒng)模型的簡化方法通常通過奇異攝動的方法實現(xiàn)，根據(jù)不同設(shè)計要求，設(shè)計成不同的多重時間尺度模型來進行模型降階。如果模型的簡化系統(tǒng)偏離原系統(tǒng)，會使得控制難以到達效果。因此，可以對兼顧模型誤差的簡化模型作更深一步探究。

在控制方法上，目前針對空間功率控制的方法研究主要集中在AHWR反應(yīng)堆上?；谳敵龇答伒目臻g控制策略框架上更容易實現(xiàn)，不同采樣周期與反饋速率的輸出反饋控制策略已經(jīng)取得較為成熟的研究成果。基于狀態(tài)反饋的空間控制策略存在狀態(tài)反饋高階的問題，簡化模型將堆芯節(jié)點高階模型分解成多個快速、慢速子系統(tǒng)，使得控制策略設(shè)計得到簡化。基于狀態(tài)反饋的控制策略會消耗較大的計算代價，但其直接關(guān)聯(lián)到系統(tǒng)的穩(wěn)定性等性能；同時，可以在狀態(tài)反饋的空間控制策略中應(yīng)用多種智能算法及優(yōu)化算法?；跔顟B(tài)空間反饋的控制方法具有更強的對外部干擾的抵抗能力?，F(xiàn)有的控制技術(shù)的儲備可以進一步用于研究空間控制策略。當代空間控制的研究中，還可以進一步研究各區(qū)域功率控制的優(yōu)化目標，在安全性能約束下取得更優(yōu)異的控制效果。

本文圍繞核電站堆芯復(fù)雜模型的建模和簡化的方法，介紹了堆芯節(jié)點模型及其簡化方法；從輸出反饋與狀態(tài)反饋兩個方面對空間控制技術(shù)進行介紹，并分析、歸納與總結(jié)了已有技術(shù)成果。希望本文能夠為我國核電控制技術(shù)提供進一步研究的理論依據(jù)和參考。