浙江寧波市奉化區(qū)松岙鎮(zhèn)中心小學(xué) 汪 杰

小學(xué)階段“周長(zhǎng)”概念教學(xué)于三年級(jí)，它具有多個(gè)核心要素，是一個(gè)“值”更是一個(gè)“過(guò)程”。到六年級(jí)圓的周長(zhǎng)學(xué)習(xí)后，周長(zhǎng)與面積概念在相互依存、相互區(qū)分的過(guò)程中，終于形成各自穩(wěn)固的知識(shí)結(jié)構(gòu)。在這一比較長(zhǎng)的概念學(xué)習(xí)期，筆者通過(guò)精選“原型”，夯實(shí)“過(guò)程”，多重“比較”等活動(dòng)來(lái)豐富心理表征，累積活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，從而達(dá)到概念自動(dòng)化的理解——化“周”于形，積“長(zhǎng)”為數(shù)。

一、概念引入階段——精選“原型”，激活經(jīng)驗(yàn)，夯實(shí)概念表象

所謂“原型”就是某一類(lèi)別的最佳正例，這個(gè)正例的關(guān)鍵特征越明顯、越具有代表性，學(xué)生形成與概念對(duì)應(yīng)的心智圖像就越清晰、越準(zhǔn)確。在概念的引入階段，尋求生活中學(xué)生有著豐富經(jīng)驗(yàn)的素材以及需要求出周長(zhǎng)的情景顯得尤為重要，而繞著操場(chǎng)跑一周，接著求出一周有多長(zhǎng)無(wú)疑是絕佳正例。

1.從“一圈”抽象到“一周”

師：小胖要減肥，爸爸制定了一個(gè)鍛煉計(jì)劃，讓他每天圍著操場(chǎng)跑一圈，我們?nèi)タ纯此窃趺磁艿模ㄒ?jiàn)圖1、圖2）。

圖1

圖2

在教學(xué)中，通過(guò)動(dòng)畫(huà)演示，激發(fā)和調(diào)用學(xué)生“跑一圈”的生活經(jīng)驗(yàn)，讓他們初步感知“邊線(xiàn)”“封閉（起點(diǎn)出發(fā)回到起點(diǎn)）”，由此激活的生活經(jīng)驗(yàn)在后續(xù)的復(fù)雜圖形“一周”邊線(xiàn)的辨別時(shí)，“跑”自然成了形象而有效的手段。

2.累加長(zhǎng)度，明晰操場(chǎng)的周長(zhǎng)

師：這個(gè)操場(chǎng)的一周到底有多長(zhǎng)呢？

（課件依次呈現(xiàn)數(shù)據(jù)：直道90米—彎道110米—直道90米—彎道110米）

生：可以這樣算：90+110+90+110=400米。

師：400米表示哪里的長(zhǎng)度？

生：操場(chǎng)一周的長(zhǎng)度。

師：對(duì)，400米是操場(chǎng)一周的長(zhǎng)度，也可以說(shuō)操場(chǎng)的周長(zhǎng)是400米。今天我們就來(lái)學(xué)習(xí)周長(zhǎng)。

正確跑出一周后，教師緊接著提出“操場(chǎng)一周有多長(zhǎng)”的度量問(wèn)題，通過(guò)數(shù)據(jù)連加得到操場(chǎng)一周長(zhǎng)度并揭示“周長(zhǎng)”概念，幫助學(xué)生即時(shí)形成“周長(zhǎng)是一周的長(zhǎng)度”這一正例表象。

二、概念形成階段——夯實(shí)“過(guò)程”，積累經(jīng)驗(yàn)，理解概念本質(zhì)

“過(guò)程策略”表明教學(xué)不只是簡(jiǎn)單的概念的“定義”學(xué)習(xí)，而是首先讓學(xué)生經(jīng)歷“定義化”的過(guò)程，同時(shí)積累操作活動(dòng)的一般程序經(jīng)驗(yàn)，滲透一定思想方法，最后實(shí)現(xiàn)過(guò)程知識(shí)與結(jié)果定義之間的融會(huì)貫通。

1.辨析一周，物化為“形”

圖3

圖4

學(xué)生描畫(huà)一周后，呈現(xiàn)交通標(biāo)志中間線(xiàn)涂色作品（見(jiàn)圖3），予以辨析。

生1：不對(duì)，這條線(xiàn)是在中間的，不屬于它的一周。

生2：一周是最外面的邊線(xiàn)，這條不算。

師：想象一下，這個(gè)交通標(biāo)志只留下一周的邊線(xiàn)會(huì)是什么圖形？

生：圓形。

教師演示，從實(shí)物中剝離出圓形；同理操作剝離出三角形（見(jiàn)圖4）。

在周長(zhǎng)概念教學(xué)中，先通過(guò)三角板和交通標(biāo)志實(shí)物的描畫(huà)一周，在辨析中強(qiáng)化“一周”的概念，接著組織學(xué)生想象并實(shí)物剝離演示，幫助學(xué)生從實(shí)物到抽象的平面圖形，增進(jìn)理解“一周”。

2.測(cè)量長(zhǎng)度，累加為“數(shù)”

（1）指名學(xué)生上臺(tái)測(cè)量三角形的周長(zhǎng)，教師隨機(jī)板書(shū)測(cè)量三邊長(zhǎng)度：12厘米、15厘米、12厘米。列式得到12+15+12=39厘米。

師：39厘米指的是什么呢？

生：三角板的一周長(zhǎng)度。

（2）測(cè)量圓形的周長(zhǎng)。師生討論達(dá)成共識(shí)“需要借助軟軟的尺子測(cè)量”后，教師演示：把線(xiàn)繞圓一周然后緩慢打開(kāi)，拉成一條線(xiàn)段。組織學(xué)生測(cè)量這條線(xiàn)段，測(cè)得長(zhǎng)度為52厘米。

師：這52厘米表示的是什么？

生：交通標(biāo)志圖的一周長(zhǎng)度。

“長(zhǎng)度是量出來(lái)的”“周長(zhǎng)是一周邊線(xiàn)長(zhǎng)度的累加”——在三角形周長(zhǎng)度量測(cè)算中，學(xué)生首先經(jīng)歷的是測(cè)量，三邊長(zhǎng)度累加計(jì)算等系列過(guò)程，由此學(xué)生經(jīng)歷了三角形周長(zhǎng)本質(zhì)的由來(lái)；同理，在圓的周長(zhǎng)測(cè)量活動(dòng)中，教師有效滲透了化曲為直的方法，體會(huì)到圓的一周邊線(xiàn)長(zhǎng)度等同于一條線(xiàn)段的長(zhǎng)度。

3.回顧過(guò)程，概括概念

師：同學(xué)們，剛才我們通過(guò)研究，得到400米、39厘米、52厘米，那這些數(shù)表示的都是什么呢？

生：400米是操場(chǎng)一周的長(zhǎng)度，39厘米是……

師：回顧一下，這些一周的長(zhǎng)度我們是怎樣得到的呢？（課件先抽象出一周，再呈現(xiàn)數(shù)據(jù)和算式）

生：量出來(lái)的。

師：量所有的線(xiàn)？

生1：不是，先找到一周，例如三角形就只需要量一周的三條線(xiàn)。

生2：量好后，還要把幾條線(xiàn)段的長(zhǎng)度加起來(lái)。

回顧操場(chǎng)、三角形、圓形一周長(zhǎng)度的研究過(guò)程，過(guò)渡到“圖形一周都有固定的長(zhǎng)度”，抽象到圖形的周長(zhǎng)。教師組織學(xué)生回顧過(guò)程，最后用生動(dòng)簡(jiǎn)練的語(yǔ)言歸納為“先跑一周，再測(cè)量求和”。

4.辨析反例，精準(zhǔn)概念

課件依次呈現(xiàn)矩形、三角形、圓形、角等圖形，組織辨析以上有無(wú)周長(zhǎng)后，教師板書(shū)周長(zhǎng)完整概念。

師：現(xiàn)在你覺(jué)得“周長(zhǎng)”的“周”指的是什么？“長(zhǎng)”呢？

生1：周指的是一周，長(zhǎng)指的是長(zhǎng)度。

生2：連起來(lái)就是“一周的長(zhǎng)度”。

生3：像三角形這樣的一周有好幾條邊的，那就可以說(shuō)成“一周的長(zhǎng)度加起來(lái)”。

概念的精準(zhǔn)便于學(xué)生記憶與提取，對(duì)周長(zhǎng)概念的再加工，能夠讓學(xué)生望文生義，在以后遇見(jiàn)時(shí)能一次次主動(dòng)觸發(fā)已有的經(jīng)驗(yàn)。

三、概念應(yīng)用階段——多重“比較”，重組經(jīng)驗(yàn)，聯(lián)結(jié)概念網(wǎng)絡(luò)

比較是一種思維的過(guò)程，也是一種教學(xué)的策略。通過(guò)相似、相近數(shù)學(xué)材料的比較、分析，配合動(dòng)作、語(yǔ)言、圖像、符號(hào)等多重表征，可以消除概念間的互相混淆，從而有效把握數(shù)學(xué)定義的本質(zhì)。

1.（三年級(jí)上冊(cè)周長(zhǎng)概念學(xué)習(xí)第一課時(shí)） 比較練習(xí)

A.誰(shuí)測(cè)量的是周長(zhǎng)呢？

（1）量身高

（2）量腰圍

B.這兩個(gè)圖形周長(zhǎng)一樣嗎（見(jiàn)圖5）？（動(dòng)態(tài)演示圖形組合）

圖5

A組習(xí)題學(xué)生通過(guò)實(shí)際的測(cè)量活動(dòng)，發(fā)現(xiàn)雖然量的都是長(zhǎng)度，但身高實(shí)質(zhì)是一條線(xiàn)段的長(zhǎng)度，而腰圍是一周曲線(xiàn)的長(zhǎng)度，進(jìn)一步突顯“封閉”“一周邊線(xiàn)”的概念核心要素。B組習(xí)題引導(dǎo)學(xué)生再一次經(jīng)歷求周長(zhǎng)的活動(dòng)，初步感知大小并不是決定周長(zhǎng)長(zhǎng)短的關(guān)鍵因素，使其更深刻地認(rèn)識(shí)周長(zhǎng)的本質(zhì)“一周邊線(xiàn)的長(zhǎng)度總和”，凸顯了先確定一周的“形”，才能進(jìn)行計(jì)算求出長(zhǎng)度總和的“數(shù)”。

2.（三年級(jí)下冊(cè)正方形面積公式學(xué)完后） 求正方形的周長(zhǎng)和面積

圖6

生：周長(zhǎng)4×4=16分米 面積4×4=16平方分米

師：怎么算式都是4×4=16？他們的意思一樣嗎？能用圖表示你的想法嗎？

教師在師生的交流修正中依次呈現(xiàn)圖6，并組織學(xué)生用語(yǔ)言表達(dá)想法：周長(zhǎng)是4條長(zhǎng)4分米的線(xiàn)段累加成為16分米的線(xiàn)段；用面積為1平方分米的單位擺，一行可以擺4個(gè)，一共4行，所以面積是4×4=16平方分米。

師：那如果邊長(zhǎng)是a呢？

生：周長(zhǎng)就是4個(gè)a累加成的一條線(xiàn)段的長(zhǎng)度；面積就是一行擺a個(gè)，可以擺a行，一共a×a個(gè)。

通過(guò)同一圖形周長(zhǎng)與面積算式比較，教師首先讓學(xué)生自主地用圖表征算式，這個(gè)過(guò)程需要提取原有周長(zhǎng)概念圖像，是對(duì)概念一次修正和完善的過(guò)程；其次圖與圖之間的比較，借助數(shù)形結(jié)合，經(jīng)歷一維的長(zhǎng)度累加與二維的面積累加過(guò)程，兩種概念間的差異性因比較而深刻；最后運(yùn)用語(yǔ)言及符號(hào)表征，回顧周長(zhǎng)與面積獲得的過(guò)程，以及運(yùn)用現(xiàn)有的心理表征對(duì)公式再識(shí)別。

同理，在探究圖形面積公式時(shí)，關(guān)于周長(zhǎng)的知識(shí)也需要不斷“點(diǎn)擊”。例如，學(xué)習(xí)平行四邊形的面積時(shí)，可讓學(xué)生大膽猜測(cè)，呈現(xiàn)“鄰邊之和乘2”的錯(cuò)例，通過(guò)拉動(dòng)平行四邊形學(xué)具，讓學(xué)生體驗(yàn)平行四邊形周長(zhǎng)不變而面積在變。

3.（六年級(jí)上冊(cè)圓的認(rèn)識(shí)單元復(fù)習(xí)時(shí)）求出圖7陰影部分的面積和周長(zhǎng)

圖7

生1：用割補(bǔ)法后就變成了一個(gè)半圓，面積是3.14×52÷2=39.25cm2（媒體動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)割補(bǔ)最后留下半圓）。

生2：周長(zhǎng)是3.14×10÷2+10=25.7cm

生3：不對(duì)，你算的是半圓的周長(zhǎng)，圖7周長(zhǎng)明顯比半圓長(zhǎng)。

師：有不同想法了，誰(shuí)對(duì)誰(shuí)錯(cuò)呢？怎么驗(yàn)證？

生4：先跑一周，再一段一段比就可以了。（學(xué)生比畫(huà)，達(dá)成共識(shí)）

師：那它的周長(zhǎng)該怎么計(jì)算呢？

生5：大圓周長(zhǎng)的一半加上兩個(gè)小圓周長(zhǎng)的一半。

生6：兩個(gè)小圓周長(zhǎng)的一半就是一個(gè)小圓的周長(zhǎng)，再加大圓周長(zhǎng)的一半。

生7：這3條圓弧的長(zhǎng)度和，就是一個(gè)大圓的周長(zhǎng)。(學(xué)生鼓掌)

師：做了這題，你現(xiàn)在有什么新的收獲呢？

生8：把面進(jìn)行“割”與“補(bǔ)”，其圖形變了面積不變。

生9：如果圖形的周長(zhǎng)不變的話(huà)，只能割補(bǔ)它的一周邊線(xiàn)。

在周長(zhǎng)概念的應(yīng)用過(guò)程中，教師調(diào)動(dòng)了學(xué)生對(duì)周長(zhǎng)概念的心理表征，去比較、去辨別等積變形后周長(zhǎng)是否發(fā)生了改變，這樣的活動(dòng)能大大降低思維定式帶來(lái)的副作用，同時(shí)還讓學(xué)生對(duì)已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行了必要的超越。例如，累加邊線(xiàn)長(zhǎng)度的經(jīng)驗(yàn)，以往的累加更多的是一種計(jì)算求和，而現(xiàn)在改造為邊線(xiàn)累加成新的圖形的邊線(xiàn)，大大提升了思維含量，更有助于學(xué)生抽象及空間想象能力的提升。