章明清 李 娟 章贊德 許文江 姚建族

（1 福建省農(nóng)業(yè)科學(xué)院土壤肥料研究所，福州 350013）（2 大田縣農(nóng)田建設(shè)與土壤肥料技術(shù)推廣站，福建大田 366100）（3 福建省亞熱帶植物研究所，福建廈門 361000）（4 福建省永春縣農(nóng)業(yè)技術(shù)推廣站，福建永春 362600）

多項(xiàng)式肥效模型是實(shí)現(xiàn)農(nóng)作物計(jì)量施肥的主要技術(shù)手段［1-4］。但在施肥實(shí)踐中，這種基于多項(xiàng)式函數(shù)形式構(gòu)建的經(jīng)驗(yàn)肥效模型，因建模成功率偏低，嚴(yán)重制約了推薦施肥的精確性和模型的實(shí)用價(jià)值。就常用的二次多項(xiàng)式肥效模型而言，典型一元肥效模型比例僅占60%左右，典型二元肥效模型則僅有40.2%［5-6］，而典型三元肥效模型比例更低至23.6%［7］。即使采用蒙特卡洛建模法［8］，二元和三元二次多項(xiàng)式典型肥效模型的比例也僅有56.7%和37.3%。針對(duì)多項(xiàng)式肥效模型在應(yīng)用中存在的問題，國(guó)內(nèi)外學(xué)者在肥效模型選擇及其適用性［9-11］、試驗(yàn)設(shè)計(jì)與參數(shù)估計(jì)方法［8,12-13］、類特征肥效模型構(gòu)建［14-16］及非典型式推薦施肥優(yōu)化方法［8］等方面進(jìn)行了深入研究，提出了諸多改進(jìn)措施，但對(duì)模型設(shè)定本身是否合理及其改進(jìn)方法至今仍然鮮見研究報(bào)道，相關(guān)問題長(zhǎng)期未能得到較好解決。研究表明，模型設(shè)定偏誤［2］及由此引起的多重共線性和異方差［17-19］等問題是導(dǎo)致二次多項(xiàng)式肥效模型建模成功率偏低的重要原因。為此，作者構(gòu)建了水稻一元非結(jié)構(gòu)肥效模型［20］，克服了二次多項(xiàng)式肥效模型存在的上述缺陷，提高了肥效模型的適用性和建模成功率。本研究在此基礎(chǔ)上，根據(jù)植物營(yíng)養(yǎng)元素功能不可相互替代的原理，構(gòu)建二元非結(jié)構(gòu)肥效模型，并進(jìn)行田間試驗(yàn)驗(yàn)證，旨在提高二元肥效模型的適用性，為計(jì)量施肥和推薦施肥專家系統(tǒng)研發(fā)提供理論模型依據(jù)。

1 材料與方法

1.1 水稻二因素田間肥效試驗(yàn)設(shè)計(jì)

2017年分別在福建省永春縣、平和縣和大田縣等水稻產(chǎn)區(qū)設(shè)置了氮磷、氮鉀、磷鉀二因素田間肥效試驗(yàn)，選擇普通鐵聚水耕人為土和普通簡(jiǎn)育水耕人為土等福建稻田主要土壤類型作為供試土壤。供試水稻均為當(dāng)?shù)卮竺娣e種植的雜交早稻和雜交單季稻良種。

每個(gè)試驗(yàn)實(shí)施前，按規(guī)范方法采集一個(gè)混合基礎(chǔ)土樣。用常規(guī)方法［21］測(cè)定供試土壤主要理化性狀（表1），其中，pH為電位法，有機(jī)質(zhì)為重鉻酸鉀容量法，堿解氮為堿解擴(kuò)散法，有效磷（Olsen-P）為0.5 mol·L-1碳酸氫鈉提取—鉬銻抗比色法，速效鉀為1 mol·L-1乙酸銨提取—火焰光度計(jì)測(cè)定法。

試驗(yàn)設(shè)計(jì)選用二因素五水平回歸最優(yōu)設(shè)計(jì)，共9個(gè)處理。其中，氮磷二因素試驗(yàn)的各處理為：（1）N0P0，（2）N0P1，（3）N1P0，（4）N1P1，（5）N0.25P0.25，（6）N0.25P0.75，（7）N0.75P0.25，（8）N0.75P0.75，（9）N0.5P0.5，氮鉀、磷鉀二因素試驗(yàn)的9個(gè)處理設(shè)計(jì)與此類似，下標(biāo)為施肥量比例，處理（4）為試驗(yàn)設(shè)計(jì)的最高施肥量，各試驗(yàn)點(diǎn)最高施肥量見表1。

試驗(yàn)采用三次重復(fù)，隨機(jī)區(qū)組排列，小區(qū)面積20 m2。試驗(yàn)所用氮肥選擇尿素（N46%），磷肥選擇過磷酸鈣（P2O512%），鉀肥用氯化鉀（K2O 60%），試驗(yàn)地均不施有機(jī)肥?；史只屎妥贩适┯?，其中，磷肥全部做基肥施用；氮肥在基肥、分蘗肥和穗肥中各占總用量的50%、35%和15%；鉀肥在基肥和穗肥中各占50%，分蘗期不施鉀肥。供試水稻收獲時(shí)，各小區(qū)單收單稱，分別記錄稻谷和稻草鮮重產(chǎn)量及其曬干產(chǎn)量。試驗(yàn)區(qū)四周保留1 m寬以上保護(hù)行。除施肥外，其他田間管理措施與大田生產(chǎn)一致。

表1 水稻二元肥效試驗(yàn)供試土壤主要理化性狀及其處理（4）施肥量Table 1 Main physical and chemical properties of the test soil in the experiments on rice and fertilizer application rate in the 4th treatment

續(xù)表

1.2 旱作二因素田間肥效試驗(yàn)資料的收集整理

為了更全面地驗(yàn)證二元非結(jié)構(gòu)肥效模型的適用性，本文引用作者在國(guó)際植物營(yíng)養(yǎng)研究所合作項(xiàng)目中完成的7個(gè)氮、磷、鉀的二因素田間肥效試驗(yàn)結(jié)果。試驗(yàn)的供試作物包括花生、馬鈴薯和毛豆等，試驗(yàn)內(nèi)容、供試作物、設(shè)置地點(diǎn)、供試土壤類型和基礎(chǔ)土樣主要理化性狀見表2。其中，1999年在莆田市秀嶼區(qū)完成的花生磷鉀肥效試驗(yàn)采用二因素重復(fù)D-飽和最優(yōu)設(shè)計(jì)，共12個(gè)處理，其他6個(gè)試驗(yàn)均采用二因素3×3設(shè)計(jì)。田間試驗(yàn)方案和樣品采集方法與水稻試驗(yàn)大致相同，不再贅述。此外，本研究引用李仁崗編著的《肥料效應(yīng)函數(shù)》［22］在第20、22、102、126頁(yè)提供的中國(guó)北方冬小麥和夏玉米的4個(gè)完整氮磷肥效試驗(yàn)資料，探討新模型的建模效果，本文試驗(yàn)點(diǎn)編號(hào)分別為第14、15、16、17號(hào)。

表2 旱作物二元肥效試驗(yàn)及其供試土壤主要理化性狀1）Table 2 Main physical and chemical properties of the test soil in the binary fertilization experiments on upland crops

1.3 數(shù)據(jù)整理方法

二元二次多項(xiàng)式肥效模型采用普通最小二乘法回歸建模，二元非結(jié)構(gòu)肥效模型則采用非線性最小二乘法進(jìn)行模型參數(shù)估計(jì)。在計(jì)算機(jī)上的具體實(shí)現(xiàn)則使用MATLABR2015b 軟件的regress功能函數(shù)進(jìn)行二元二次多項(xiàng)式肥效模型的回歸建模，使用nlinfit功能函數(shù)進(jìn)行二元非結(jié)構(gòu)肥效模型參數(shù)估計(jì)和統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)，具體數(shù)學(xué)原理和軟件使用方法參見相關(guān)專著［23］。文中圖形采用該軟件編程繪制。

1.4 二元非結(jié)構(gòu)肥效模型的構(gòu)建

近年來，Zhang等［20］根據(jù)施用單位養(yǎng)分的稻谷增產(chǎn)量隨施肥量的增加呈現(xiàn)指數(shù)規(guī)律下降的事實(shí)，構(gòu)建了一元非結(jié)構(gòu)肥效模型：式中，Y為稻谷產(chǎn)量，X為施肥量，s0為土壤供肥當(dāng)量（即由土壤提供的相當(dāng)于所施肥料的養(yǎng)分?jǐn)?shù)量），單位均為kg·hm-2；c為施肥對(duì)產(chǎn)量的效應(yīng)系數(shù)；A表示施肥量X=0時(shí)土壤肥力與稻谷產(chǎn)量之間的轉(zhuǎn)換系數(shù)。

在式（1）的一元非結(jié)構(gòu)肥效模型中，當(dāng)施肥量和土壤供肥當(dāng)量均為零時(shí)，作物產(chǎn)量必等于零。因此，根據(jù)植物營(yíng)養(yǎng)元素功能不可相互替代的原理，二元非結(jié)構(gòu)肥效模型可由兩個(gè)一元非結(jié)構(gòu)模型相乘而得，即：式中，s1、s2分別表示供試土壤氮磷鉀中兩種元素養(yǎng)分的供肥當(dāng)量（kg·hm-2）。為使土壤當(dāng)季養(yǎng)分供應(yīng)當(dāng)量與施肥量具有加和性，其值大小以N、P2O5、K2O養(yǎng)分形態(tài)計(jì)量；c1、c2分別表示兩種養(yǎng)分元素的增產(chǎn)效應(yīng)系數(shù)；A=A1×A2，表示兩種養(yǎng)分施用量均為零時(shí)，土壤肥力與作物產(chǎn)量之間的轉(zhuǎn)換系數(shù)，其他代數(shù)符號(hào)的含義與式（1）相同。

分析表明，式（2）模型在施肥量范圍內(nèi)存在一個(gè)產(chǎn)量峰值，該峰值對(duì)應(yīng)的施肥量即為最高產(chǎn)量施肥量。因此，令式（2）的作物產(chǎn)量Y分別對(duì)X1、X2施肥量的導(dǎo)數(shù)等于零，得到最高產(chǎn)量施肥量計(jì)算式，令式（2）的作物產(chǎn)量Y分別對(duì)X1、X2施肥量的導(dǎo)數(shù)等于農(nóng)產(chǎn)品和肥料價(jià)格倒數(shù)比，得到經(jīng)濟(jì)產(chǎn)量施肥量計(jì)算式，即：

式中，α= PX1/PY，β =PX2/PY，PX1、PX2和PY分別表示每千克的X1、X2養(yǎng)分和農(nóng)產(chǎn)品的市場(chǎng)價(jià)格。式中Yeco表示經(jīng)濟(jì)產(chǎn)量。經(jīng)驗(yàn)表明，肥效模型計(jì)算所得最高產(chǎn)量和經(jīng)濟(jì)產(chǎn)量一般差異很小，Yeco可以用最高產(chǎn)量Ymax代替。也可以采用數(shù)學(xué)上的迭代算法得到經(jīng)濟(jì)施肥量的精確計(jì)算結(jié)果，一般迭代計(jì)算3～5次即可。

2 結(jié) 果

2.1 二元二次多項(xiàng)式肥效模型的田間試驗(yàn)資料擬合效果

水稻和旱作物的氮磷、氮鉀和磷鉀二因素田間肥效試驗(yàn)的施肥量及其產(chǎn)量結(jié)果見表3。利用常用的二元二次多項(xiàng)式肥效模型，即：對(duì)表3的水稻二元肥效試驗(yàn)結(jié)果，應(yīng)用普通最小二乘法進(jìn)行回歸建模（表4），然后對(duì)各肥效模型進(jìn)行典型性判別分析［23］。6個(gè)水稻二元二次多項(xiàng)式肥效模型的統(tǒng)計(jì)顯著性指標(biāo)F值和擬合優(yōu)度R2等均達(dá)到顯著水平。但是，僅有第6號(hào)早稻磷鉀肥試驗(yàn)點(diǎn)建立的肥效模型屬于典型式，可用于推薦施肥。在1號(hào)至5號(hào)試驗(yàn)點(diǎn)中，二元二次多項(xiàng)式肥效模型的一次項(xiàng)系數(shù)或二次項(xiàng)系數(shù)符號(hào)出現(xiàn)異常，不符合作物施肥效應(yīng)的一般規(guī)律，肥效模型均屬于系數(shù)符號(hào)不合理的非典型式。

對(duì)表3的第7號(hào)至13號(hào)試驗(yàn)點(diǎn)的馬鈴薯、毛豆和花生的7個(gè)二元肥效試驗(yàn)結(jié)果，以及冬小麥和夏玉米的4個(gè)氮磷二元肥效試驗(yàn)資料［22］，用相同方法回歸建模和典型性判別（表4）。結(jié)果表明，在第7號(hào)至17號(hào)試驗(yàn)點(diǎn)的11個(gè)試驗(yàn)中，二元二次多項(xiàng)式肥效模型均能通過顯著性檢驗(yàn)，但第13號(hào)和第17號(hào)試驗(yàn)點(diǎn)建立的肥效模型均屬于推薦施肥量外推的非典型式，喪失了推薦施肥的可靠性。

因此，在17個(gè)試驗(yàn)資料中，二元二次多項(xiàng)式典型肥效模型僅有10個(gè)，占試驗(yàn)點(diǎn)總數(shù)的58.8%，非典型肥效模型比例則占41.2%。

表3 水稻和旱作物氮磷、氮鉀、磷鉀二因素田間肥效試驗(yàn)施肥量和產(chǎn)量Table 3 Application rates and yields of rice and upland crops in the NP, NK and PK binary fertilizer experiments

2.2 二元非結(jié)構(gòu)肥效模型的田間試驗(yàn)資料擬合效果

對(duì)式（2）的二元非結(jié)構(gòu)肥效模型，應(yīng)用表3的6個(gè)水稻肥效試驗(yàn)結(jié)果和非線性最小二乘法回歸建模和典型性判別［22］。表5的1號(hào)至6號(hào)試驗(yàn)點(diǎn)結(jié)果顯示，6個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)的二元非結(jié)構(gòu)肥效模型統(tǒng)計(jì)顯著性指標(biāo)F值和擬合優(yōu)度R2同樣均達(dá)到統(tǒng)計(jì)顯著水平。與表4的相關(guān)指標(biāo)相比，應(yīng)用二元非結(jié)構(gòu)肥效模型擬合這6個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)的肥效試驗(yàn)結(jié)果，均能得到典型肥效模型，明顯提高了田間試驗(yàn)的建模成功率。

表4 二元二次多項(xiàng)式肥效模型對(duì)供試作物二元肥效試驗(yàn)資料的擬合效果Table 4 Fitting of crop responses with the binary quadratic polynomial fertilizer response model (BPFM) in the binary fertilization experiments

對(duì)表3的馬鈴薯、毛豆和花生的7個(gè)二元肥效試驗(yàn)結(jié)果，以及4個(gè)冬小麥和夏玉米氮磷二元肥效試驗(yàn)資料，應(yīng)用相同方法建立二元非結(jié)構(gòu)肥效模型，并進(jìn)行典型性判別。表5的第7號(hào)至17號(hào)試驗(yàn)點(diǎn)的結(jié)果表明，盡管這11個(gè)試驗(yàn)當(dāng)初是為建立二次多項(xiàng)式肥效模型而設(shè)計(jì)的典型肥效試驗(yàn)，二元二次多項(xiàng)式肥效模型能通過顯著性檢驗(yàn)或得到典型式的試驗(yàn)點(diǎn)，二元非結(jié)構(gòu)肥效模型同樣能夠得到相同的建模結(jié)論；第13號(hào)和第17號(hào)試驗(yàn)點(diǎn)建立的二元非結(jié)構(gòu)肥效模型與二元二次多項(xiàng)式模型一樣，均屬于推薦施肥量外推的非典型式。

因此，在1 7 個(gè)二元肥效試驗(yàn)結(jié)果中，二元非結(jié)構(gòu)肥效模型的典型式有1 5個(gè)，占試驗(yàn)點(diǎn)總數(shù)的88.2%，非典型肥效模型比例僅占11.8%。新模型建模成功率較二次多項(xiàng)式肥效模型提高了2 9.4 個(gè)百分點(diǎn)，明顯改善了肥效模型的適用性。

2.3 二元肥效模型推薦施肥量及其相關(guān)性

依據(jù)N4.3 yuan·kg-1、P2O55 yuan·kg-1、K2O 5 yuan·kg-1和農(nóng)產(chǎn)品2 yuan·kg-1的市場(chǎng)均價(jià)，應(yīng)用式（3）分別計(jì)算表5的典型二元非結(jié)構(gòu)肥效模型相應(yīng)試驗(yàn)點(diǎn)的推薦施肥量，同時(shí)，用邊際產(chǎn)量導(dǎo)數(shù)法分別計(jì)算表4中典型二元二次多項(xiàng)式肥效模型試驗(yàn)點(diǎn)的推薦施肥（表6）。結(jié)果表明，典型二元非結(jié)構(gòu)肥效模的最高施肥量和經(jīng)濟(jì)施肥量的推薦結(jié)果均在試驗(yàn)設(shè)計(jì)的施肥量范圍內(nèi)，未出現(xiàn)異常情況。

為比較兩種模型在推薦施肥量上的差異，對(duì)表6中兩種模型均能得到典型式的10個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)得到的氮、磷、鉀推薦施肥量繪制成圖，并進(jìn)行線性回歸分析。表明兩種模型推薦的最高施肥量之間以及經(jīng)濟(jì)施肥之間均存在極顯著的線性正相關(guān)關(guān)系（圖1）。回歸方程的一次項(xiàng)系數(shù)分別僅有0.915 3和0.916 1，表明當(dāng)二次多項(xiàng)式模型推薦的最高施肥量或經(jīng)濟(jì)施肥量每增加1 kg時(shí)，非結(jié)構(gòu)肥效模型的相應(yīng)推薦施肥分別僅增加0.915 3 kg和0.916 1 kg，較好地解決了二次多項(xiàng)式模型推薦施肥量普遍偏高的問題［1,11］。

表5 二元非結(jié)構(gòu)肥效模型對(duì)供試作物二元肥效試驗(yàn)資料的擬合效果Table 5 Fitting of crop responses with the binary non-structural fertilizer response model (BNFM) in the binary fertilization experiments

3 討 論

3.1 二元二次多項(xiàng)式肥效模型的局限性

肥料效應(yīng)函數(shù)法是我國(guó)測(cè)土配方施肥技術(shù)的一個(gè)重要分支體系。在過去四十年里，在多項(xiàng)式肥效模型選擇及其適用性、試驗(yàn)設(shè)計(jì)與參數(shù)估計(jì)方法、類特征肥效模型構(gòu)建方法以及非典型式推薦施肥優(yōu)化方法等方面的研究和應(yīng)用取得重要進(jìn)展［1-2］。但不可否認(rèn)的是，該法對(duì)田間肥效試驗(yàn)結(jié)果的建模成功率明顯偏低，并且長(zhǎng)期未能得到有效解決，以至于不少人對(duì)肥效模型的實(shí)用價(jià)值喪失信心。本研究在水稻田間試驗(yàn)實(shí)施前，作者曾考慮到試驗(yàn)?zāi)康氖窍Ｍ玫椒从呈┓柿颗c水稻產(chǎn)量關(guān)系全貌的肥效函數(shù)曲面，因而，試驗(yàn)設(shè)計(jì)選用二因素五水平回歸設(shè)計(jì)。雖然該設(shè)計(jì)在理論上具有5個(gè)施肥水平，且各施肥水平均勻分布在試驗(yàn)施肥量范圍內(nèi)，有利于控制效應(yīng)曲面的形狀，但是，試驗(yàn)結(jié)果用于建立二元二次多項(xiàng)式肥效模型的效果仍然不理想，在6個(gè)試驗(yàn)中僅有一個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)能得到典型肥效模型。究其原因，肥效模型設(shè)定本身的合理性和可靠性這個(gè)核心問題長(zhǎng)期未被觸及，更鮮見提出改進(jìn)建議。

MFPB型模效量產(chǎn)和量肥施濟(jì)經(jīng)/ dleiy dna etar noitacilppa .ocE 2-)mh·gk(量產(chǎn)O K OP N 2 5 2 dleiY--------------------921 7 141 26-548 52 112-112 781 63 421-122 514 8 601-432 930 8 28-491 451 21 051-241 263 4 93-48 318 7-421 952 192 5-58 591 384 11-202 662肥式6較比量肥施薦推的式型典型模效肥式項(xiàng)多次二元二和型模效肥構(gòu)結(jié)非元二表MFPB dna MFNB neewteb etar noitazilitref dednemmocer ni nosirapmoC6 elbaT項(xiàng)多次二元二MFNB型模效肥構(gòu)結(jié)非元二量產(chǎn)和量肥施高最量產(chǎn)和量肥施濟(jì)經(jīng)量產(chǎn)和量肥施高最/ dleiy dna etar noitacilppa .xaM/ dleiy dna etar noitacilppa .ocE/ dleiy dna etar noitacilppa .xaM 222---)mh·gk()mh·gk()mh·gk(量產(chǎn)量產(chǎn)量產(chǎn)O K OP N O K OP N O K OP N 2 5 2 2 5 2 2 5 2 dleiY dleiY dleiY----419 9-08 251 759 9-99 171----684 9-95 291 725 9-26 622----555 9 28-051 116 9 19-491----556 6 27-45 517 6 58-79----058 9 96-06 529 9 621-76 671 7 671 46-311 7 541 55-961 7 781 95-368 52 222-312 102 62 871-202 812 62 781-702 402 63 631-322 484 63 231-612 405 63 241-222 864 8 331-152 603 48 58-142 084 8 301-662 080 8 58-922 971 8 17-771 722 8 67-712 591 21 471-351 362 21 041-821 413 21 961-241 084 4 721-19 463 4 05-37 694 4 241-79 109 7-751 203 786 7-211 222 867 7-041 762 943 5-401 622 232 5-47 671 682 5-98 112 286 11-352 193 434 11-581 342 016 11-132 953 71 dna 31 setis latnemirepxe ta noitazilitref noitadnemmocer ton era erehT :etoN 71量肥施薦推無點(diǎn)驗(yàn)試號(hào)分養(yǎng)stneirtuN P ,N P ,N K ,N K ,N K ,N K ,P K ,N K ,N K ,N K ,N K ,N K ,N P ,N P ,N P ,N31第和號(hào)第號(hào)序.oN123456789011121415161：注

圖1 二元非結(jié)構(gòu)肥效模型與二元二次多項(xiàng)式肥效模型推薦施肥量的相關(guān)性Fig. 1 Relationship in recommendation fertilization rate between the binary non-structural fertilizer response model (BNFM) and the binary quadratic polynomial fertilizer response model (BPFM)

作者曾對(duì)當(dāng)前廣泛使用的經(jīng)驗(yàn)肥效模型的研究和應(yīng)用進(jìn)展進(jìn)行過總結(jié)，發(fā)現(xiàn)常用的二次多項(xiàng)式肥效模型存在不符合生產(chǎn)實(shí)際的兩個(gè)缺陷［2］，即：?jiǎn)挝火B(yǎng)分增產(chǎn)量與施肥量之間的函數(shù)關(guān)系采用線性模型，導(dǎo)致最高施肥量之前施肥的增產(chǎn)效應(yīng)與最高施肥量之后施肥的減產(chǎn)效應(yīng)是對(duì)稱關(guān)系，忽略了當(dāng)前廣泛推廣應(yīng)用的高產(chǎn)耐肥新品種在過量施肥時(shí)，產(chǎn)量降低幅度得到較大程度緩解的肥料效應(yīng)特征，同時(shí)，也忽略了土壤對(duì)養(yǎng)分的緩沖能力，進(jìn)而減輕過量施肥對(duì)作物產(chǎn)量負(fù)效應(yīng)的作用；其次是二次多項(xiàng)式肥效模型的回歸變量間存在強(qiáng)烈的多重共線性［18］和異方差［19］，嚴(yán)重制約了普通最小二乘法回歸建模的有效性和統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)結(jié)果的可靠性。因此，模型設(shè)定偏誤、多重共線性和異方差等因素是導(dǎo)致二次多項(xiàng)式肥效模型建模成功率偏低的重要原因。

3.2 二元非結(jié)構(gòu)肥效模型的適用性

針對(duì)多項(xiàng)式統(tǒng)計(jì)模型的多重共線性和異方差等問題，現(xiàn)代數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)已提出了諸多解決辦法［17］。研究表明，主成分回歸建模法在克服多重共線性危害［18］、廣義可行最小二乘回歸建模法在克服異方差危害［19］等方面具有實(shí)用價(jià)值。但是，這些方法并不能克服模型設(shè)定偏誤問題，而且，二次多項(xiàng)式肥效模型往往同時(shí)存在多重共線性和異方差，如何同時(shí)解決這兩個(gè)問題，目前在統(tǒng)計(jì)學(xué)上還難以做到。因此，研發(fā)新的肥效模型就成為解決相關(guān)問題的關(guān)鍵。

本研究在一元非結(jié)構(gòu)肥效模型［20］的基礎(chǔ)上，根據(jù)植物營(yíng)養(yǎng)元素功能不可相互替代的原理，建立了式（2）模型。該模型在數(shù)學(xué)形式上顯然不同于二元二次多項(xiàng)式肥效模型，也不同于根系養(yǎng)分吸收機(jī)理模型［24］，但模型中的各參數(shù)具有明確的肥效含義，應(yīng)用上也較為簡(jiǎn)便。借鑒種群生態(tài)學(xué)對(duì)不同類型模型的命名方法［25-26］，將這種介于經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ秃蜋C(jī)理模型之間的式（2）模型稱為二元非結(jié)構(gòu)肥效模型。新模型較好地克服了二次多項(xiàng)式模型在施肥效應(yīng)中的對(duì)稱缺陷，同時(shí)，不能直接進(jìn)行線性化轉(zhuǎn)換，較好地克服了困擾二次多項(xiàng)式肥效模型的多重共線性等問題，是新模型建模成功率明顯改善（表5）的主要原因。在推薦施肥量方面，兩種模型均能應(yīng)用到典型肥效模型的試驗(yàn)點(diǎn)，推薦的最高施肥量之間以及經(jīng)濟(jì)施肥之間均存在極顯著的線性正相關(guān)關(guān)系，而且新模型的推薦施肥量普遍較低，較好地克服了二次多項(xiàng)式模型推薦施肥量普遍偏高的問題［1,11］。

理論分析表明，對(duì)式（2）二元非結(jié)構(gòu)肥效模型的ex項(xiàng)進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開，即：ex=1+x+G(x),x∈(-∞, +∞)，其中，因式（2）模型的c值在10-3次方級(jí)（表5），若僅取前兩項(xiàng)，且忽略X1X2的高次項(xiàng)，并令B=(1+c1s1)，C=(1+c2s2)；則式（2）模型可轉(zhuǎn)化為：Y=A結(jié)果與二元二次多項(xiàng)式肥效模型具有相同的數(shù)學(xué)表達(dá)式。可見，二元二次多項(xiàng)式肥效模型是二元非結(jié)構(gòu)肥效模型的簡(jiǎn)化式。當(dāng)某些試驗(yàn)點(diǎn)的肥效試驗(yàn)結(jié)果能夠使剩余量G(x)達(dá)到足夠小時(shí)，這兩種模型均可能得到很好的擬合效果。表5的建模結(jié)果表明，二元二次多項(xiàng)式肥效模型能得到典型式的試驗(yàn)資料，二元非結(jié)構(gòu)肥效模型同樣能得到典型肥效模型。但當(dāng)剩余量G(x)較大時(shí)，二元二次多項(xiàng)式肥效模型可能會(huì)因過度簡(jiǎn)化導(dǎo)致擬合效果欠佳，而非結(jié)構(gòu)肥效模型因未進(jìn)行這種簡(jiǎn)化而可能仍然具有較好的擬合效果。因此，二元非結(jié)構(gòu)肥效模型具有更寬的適用范圍。

4 結(jié) 論

模型設(shè)定偏誤、多重共線性和異方差等問題是導(dǎo)致二元二次多項(xiàng)式肥效模型建模成功率偏低的主要原因，二元非結(jié)構(gòu)肥效模型較好地克服了這些已知局限性，具有更高的擬合精度和更寬的適用范圍。