林新建

(福建省漳州第一中學(xué) 363000)

在過(guò)去的教學(xué)活動(dòng)中，教師可能更關(guān)心如何教，但基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)，更多地需要關(guān)心學(xué)生如何學(xué)，需要知道學(xué)生的認(rèn)知水平和認(rèn)知過(guò)程.

一個(gè)理想的教學(xué)過(guò)程大概可以描述如下：把握數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，把握學(xué)生認(rèn)知的過(guò)程；創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，提出合適的數(shù)學(xué)問(wèn)題；啟發(fā)學(xué)生思考，鼓勵(lì)學(xué)生與他人交流；讓學(xué)生在掌握知識(shí)技能的同時(shí)，理解數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)；感悟數(shù)學(xué)的思想，形成和發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

這里的關(guān)鍵是“感悟數(shù)學(xué)的思想，形成和發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”，本文從一道試題解答的探尋與啟示入手，就“思想立意”在“感悟數(shù)學(xué)思想，形成和發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”上的作用與途徑作一探析，以饗讀者.

1 探尋與啟示

例1(2011年高考新課標(biāo)卷Ⅰ理科16題)

解析本題是三角形求解問(wèn)題，解決問(wèn)題的通法是“知三求三”，即已知三邊求三角，或已知兩邊一角求另一邊兩角，或已知一邊兩角求另兩邊一角.

但直觀題目只給出一邊一角，顯然條件少了，無(wú)法直接運(yùn)用通法“知三求三”加以解決，怎么辦？

此時(shí)，若能立意于函數(shù)思想，則不難發(fā)現(xiàn)這是最值求解問(wèn)題，需要引入變量，構(gòu)造出待求最值關(guān)于這個(gè)變量的函數(shù)，問(wèn)題可輕松獲得解決.

為此，不妨設(shè)∠A=θ，則∠C=120°-θ.

進(jìn)而得AB+2BC=2sin(120°-θ)+4sinθ

評(píng)析由于變量的引入，我們湊足了三個(gè)量，從而可以運(yùn)用通法“知三求三”將問(wèn)題輕松予以解決.在這里，思想的立意是問(wèn)題獲得解決的關(guān)鍵，正是緣于函數(shù)思想的立意，我們自然地引入了變量，構(gòu)造出待求最值關(guān)于這個(gè)變量的函數(shù)，使得問(wèn)題輕松獲得解決.

為什么有許多學(xué)生解決不了一些并不復(fù)雜甚至是簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題呢？除了極少數(shù)學(xué)生不知道相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識(shí)外，絕大部分學(xué)生不是不會(huì)方法，而是由于沒(méi)有站在思想的高度來(lái)思考和引領(lǐng)方法，或者是因?yàn)樗枷氩幻鞔_而想不起來(lái)用什么方法來(lái)處理問(wèn)題.

因此，指導(dǎo)學(xué)生立意于思想，讓他們?cè)凇皾?rùn)物細(xì)無(wú)聲”中逐步領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想，并用其作為指導(dǎo)來(lái)引領(lǐng)問(wèn)題的解決就顯得尤為重要了.

2 思想立意：基于“四基”的數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)

傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教育的“雙基”是指基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，要求基礎(chǔ)知識(shí)扎實(shí)，基本技能熟練.2001年開始的課程改革，在傳統(tǒng)的“雙基”這個(gè)一維目標(biāo)的基礎(chǔ)上提出三維目標(biāo)，這就是：知識(shí)技能、過(guò)程方法、情感態(tài)度價(jià)值觀，這里所說(shuō)的情感態(tài)度價(jià)值觀就是現(xiàn)在核心素養(yǎng)所說(shuō)的態(tài)度或者必備品格.

但是，三維目標(biāo)中所說(shuō)的“過(guò)程方法”沒(méi)有成為目標(biāo)，這是因?yàn)樵诿枋觥斑^(guò)程方法”時(shí)使用的行為動(dòng)詞是“經(jīng)歷”、“體驗(yàn)”、“探索”，并沒(méi)有說(shuō)明通過(guò)這些“過(guò)程”讓學(xué)生獲得什么.為此，在修訂數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)時(shí)，把“過(guò)程”目標(biāo)表述為：通過(guò)學(xué)生參與其中的數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)過(guò)程，讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的基本思想，積累數(shù)學(xué)思維和實(shí)踐的基本經(jīng)驗(yàn).

這就把傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教育的“雙基”發(fā)展為“四基”，并且強(qiáng)調(diào)：“四基”的提出是在傳統(tǒng)的“雙基”的前提下，加上了基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，目的是通過(guò)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，學(xué)生不僅把數(shù)學(xué)作為一種技術(shù)和手段，還要學(xué)會(huì)思考，逐步具有數(shù)學(xué)抽象的能力和邏輯推理的能力.

例2(2014高考課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ第8題)

解析本題是一道考查基礎(chǔ)知識(shí)與基本方法的好題，依據(jù)對(duì)公式的靈活使用，可得到幾種常規(guī)解法，這里僅舉一例.

sinαcosβ-cosαsinβ=cosα，

但若教學(xué)僅止步于此，可以看到，這樣的教學(xué)活動(dòng)無(wú)法讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，更不可能感悟數(shù)學(xué)的基本思想，形成和發(fā)展數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng).為此必須創(chuàng)設(shè)思想立意的活動(dòng)，引領(lǐng)學(xué)生立意于思想解決問(wèn)題.

在這里，“特殊與一般思想”的立意是問(wèn)題獲得輕松解決的關(guān)鍵.正是由于“特殊與一般思想”的立意，我們“依據(jù)邏輯規(guī)則從特殊到一般與一般到特殊地進(jìn)行推理”，將問(wèn)題輕松予以解決，在這個(gè)過(guò)程中，邏輯推理等能力得到了發(fā)展.

在這里，“有限與無(wú)限思想”的立意是問(wèn)題獲得輕松解決的關(guān)鍵.正是由于“有限與無(wú)限思想”的立意，我們“從事物的具體背景中抽象出了一般規(guī)律”，并依據(jù)規(guī)律將問(wèn)題輕松予以解決，在這個(gè)過(guò)程中，數(shù)學(xué)抽象等能力得到了發(fā)展.

可見，“思想立意”能讓學(xué)生感悟知識(shí)所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)基本思想，積累數(shù)學(xué)思維和實(shí)踐的經(jīng)驗(yàn)，同時(shí)提升和發(fā)展邏輯推理與數(shù)學(xué)抽象等能力，是基于“四基”的數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng).

3 思想立意：數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展要領(lǐng)

由于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是“四基”的繼承和發(fā)展，所以“四基”就是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的有效載體，數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)當(dāng)引領(lǐng)學(xué)生立意于思想解決問(wèn)題，在問(wèn)題解決的過(guò)程中培養(yǎng)和發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

3.1 立意“特殊與一般思想”，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理核心素養(yǎng)

通常在理解題目階段，需要對(duì)題目中的隱含條件和信息進(jìn)行發(fā)掘，將抽象變具體，將隱含變清晰.

而如何將“抽象變具體、將隱含變清晰”呢？這就需要立意“特殊與一般、有限與無(wú)限”等思想，才能“從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)”，進(jìn)而“從一般到特殊和特殊到一般地予以推理”，這是數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理的前提.

例3(2010年高考新課標(biāo)卷Ⅰ理科11題)

A．(1,10) B．(5,6)

C．(10,12) D．(20,24)

例4(2013年高考新課標(biāo)卷Ⅰ理科11題)

A．(-∞,0] B．(-∞,1]

C．[-2,1] D．[-2,0]

解析本題按常規(guī)方法求解也較為繁瑣，若能立意于特殊與一般思想，同樣能從問(wèn)題的具體背景中抽象出一般規(guī)律：“|f(x)|≥ax”對(duì)于變量x在R中的任意取值都成立，則可將變量特殊化予以求解，如取x=-1，得a≥-3，排除選項(xiàng)A、B；再取x=1，得a≤ln2，排除選項(xiàng)C，故正確選項(xiàng)為D.

評(píng)析可以看出，由于特殊與一般思想的立意，我們“從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)”，進(jìn)而對(duì)問(wèn)題“從一般到特殊和特殊到一般地予以推理”，從而將問(wèn)題輕松予以解決.在這個(gè)抽象和推理的過(guò)程中，“數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理”等核心素養(yǎng)得到了發(fā)展.

3.2 立意“有限與無(wú)限思想”，發(fā)展邏輯推理、直觀想象核心素養(yǎng)

如何引領(lǐng)學(xué)生思考“按照怎樣的線索、用什么方法去研究問(wèn)題、解決問(wèn)題？”這需要立意“有限與無(wú)限、數(shù)形結(jié)合”等思想，才能“感知事物的形態(tài)變化與運(yùn)動(dòng)規(guī)律”，進(jìn)而“依據(jù)邏輯規(guī)則推出一個(gè)新的命題”，這是邏輯推理、直觀想象的基礎(chǔ).

如上例3，若能立意于有限與無(wú)限思想，則能從問(wèn)題的具體背景中感知出事物的形態(tài)與變化：b、c隨著a的變化而變化，a、b的變化具有無(wú)限性特征，它們可無(wú)限趨近于1，則可將變量極限化予以求解：令a→1，則f(a)→0，從而由f(b)=f(c)→0知b→1，c→12，abc→12，驗(yàn)證選項(xiàng)即知正確答案為C.

例5(2015年高考新課標(biāo)卷Ⅰ理科16題)

在平面四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，則AB的取值范圍是________.

解析本題直接求解難度較大，若能立意于有限與無(wú)限思想，則能從問(wèn)題的具體背景中感知出事物的形態(tài)與變化：動(dòng)點(diǎn)D的變化具有無(wú)限性的特征，它可無(wú)限趨近于點(diǎn)A，也可無(wú)限趨近于點(diǎn)C，則可將問(wèn)題極限化予以求解：

令D→A，則∠B=∠C=75°，∠A=30°，

令D→C，∠A=∠B=75°，∠C=30°，

評(píng)析可以看出，由于有限與無(wú)限思想的立意，我們“感知出事物的形態(tài)變化與運(yùn)動(dòng)規(guī)律”，進(jìn)而對(duì)問(wèn)題“從一般到特殊和特殊到一般地予以推理”，將問(wèn)題輕松地予以求解.在這個(gè)直觀和推理的過(guò)程中，“邏輯推理、直觀想象”等核心素養(yǎng)得到了發(fā)展.

3.3 立意“函數(shù)與方程思想”，發(fā)展數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)

如何引領(lǐng)學(xué)生思考“面對(duì)一個(gè)新的研究對(duì)象，從哪些角度發(fā)現(xiàn)和提出值得研究的問(wèn)題？”這需要立意“函數(shù)與方程、化歸與轉(zhuǎn)化”等思想，以便“發(fā)現(xiàn)模型、構(gòu)建模型，進(jìn)而借助模型解決問(wèn)題”，這是數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析的關(guān)鍵.

如上例5，若能立意于函數(shù)思想，則能從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)這是最值與取值范圍問(wèn)題，應(yīng)構(gòu)建出關(guān)于目標(biāo)函數(shù)的函數(shù)模型，問(wèn)題不難獲解.

為此，不妨設(shè)∠BAC=θ，則∠BCA=105°-θ，

由θ<75°及105°-θ<75°知30°<θ<75°.

從而知

例6(2010年高考新課標(biāo)卷Ⅰ文科16題)

在△ABC中，D為BC邊上一點(diǎn)，BC=3BD，

解析本題是三角形求解問(wèn)題，無(wú)論在哪個(gè)三角形中都因條件不足無(wú)法直接運(yùn)用通法“知三求三”予以求解.

若能立意于方程思想，則能從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)這是變量求解問(wèn)題，應(yīng)構(gòu)建出關(guān)于這個(gè)變量的方程模型，問(wèn)題不難獲解.

為此，可設(shè)BD=x，則DC=2x.

在△ADC中，由余弦定理得

化簡(jiǎn)得b2=2+4x2-4x.

在△ADB中，由余弦定理得

化簡(jiǎn)得c2=2+x2+2x.

所以2+4x2-4x=2(2+x2+2x)，

評(píng)析可以看出，由于函數(shù)與方程思想的立意，我們“從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題”，進(jìn)而“構(gòu)建模型、求解結(jié)論”，將問(wèn)題輕松予以求解.在這個(gè)抽象和建模的過(guò)程中，“數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)抽象”等核心素養(yǎng)得到了發(fā)展.

4 結(jié)束語(yǔ)：“立意”恒久，“素養(yǎng)”終成

經(jīng)驗(yàn)之中有規(guī)律，是我們認(rèn)識(shí)問(wèn)題的一般過(guò)程和方法，也闡明了一個(gè)簡(jiǎn)單但很深刻的教學(xué)原理：經(jīng)驗(yàn)是具體的，規(guī)律則是抽象的.規(guī)律不是從天而降的，而是從具體經(jīng)驗(yàn)中經(jīng)過(guò)不斷歸納、概括才能得到的.

如何才能培養(yǎng)學(xué)生“從經(jīng)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)規(guī)律”的能力呢？這需要培養(yǎng)“思想立意”的意識(shí)與習(xí)慣，養(yǎng)成“從一般規(guī)律的高度考察具體事例”的意識(shí)和“透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)”的習(xí)慣.

這是觀念問(wèn)題，是思維習(xí)慣問(wèn)題，也是思想方法問(wèn)題.這是一個(gè)長(zhǎng)期的、潛移默化的過(guò)程，是逐漸養(yǎng)成的一種思維習(xí)慣，這個(gè)習(xí)慣日積月累就形成了數(shù)學(xué)素養(yǎng).