彭 聰，王杰貴，朱克凡

(國防科技大學(xué)電子對抗學(xué)院， 合肥 230037)

0 引言

在經(jīng)典的多目標(biāo)跟蹤算法中，由于雷達(dá)等傳感器分辨率較低，通常目標(biāo)視為點(diǎn)目標(biāo)進(jìn)行跟蹤，此時(shí)只考慮跟蹤目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)信息，而未包含目標(biāo)的外形信息。近年來，隨著傳感器技術(shù)的提升，運(yùn)動(dòng)目標(biāo)在一個(gè)采樣周期里不再只返回一個(gè)量測值，這種在同一時(shí)刻能夠得到至少一個(gè)量測值的目標(biāo)稱為擴(kuò)展目標(biāo)。擴(kuò)展目標(biāo)可以由運(yùn)動(dòng)狀態(tài)(位置、速度和加速度等)和擴(kuò)展形態(tài)(大小、形狀和朝向)共同表征，擴(kuò)展目標(biāo)跟蹤就是基于傳感器得到的信息，利用相應(yīng)的信號處理方法，對擴(kuò)展目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和擴(kuò)展形態(tài)進(jìn)行精確估計(jì)的過程。

傳統(tǒng)的多目標(biāo)跟蹤算法如聯(lián)合概率數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)算法、多假設(shè)跟蹤算法等都依賴于數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)，這類算法會(huì)帶來“組合爆炸”問題[1]，復(fù)雜的多維計(jì)算會(huì)增加算法的運(yùn)行時(shí)間，影響跟蹤性能。基于隨機(jī)有限集的多目標(biāo)跟蹤算法規(guī)避了數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)，有效的解決了“組合爆炸”問題。隨機(jī)集理論是Matheron于上世紀(jì)七十年代提出的，主要應(yīng)用于幾何方面，在上述基礎(chǔ)上， Mahler提出了有限集統(tǒng)計(jì)特性理論，它是隨機(jī)集的一種特例，將隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)理論延伸到了隨機(jī)集合(random finite set, RFS)，并率先將RFS理論應(yīng)用于多目標(biāo)跟蹤領(lǐng)域。RFS框架下的多目標(biāo)跟蹤利用Bayes法則傳遞目標(biāo)的概率密度，但是算法中的積分為集值積分，很難求解。做為一種近似的濾波方法，概率假設(shè)密度(probability hypothesized density, PHD)濾波器被提出來，它傳遞的目標(biāo)概率密度的一階統(tǒng)計(jì)近似矩。2009年，Mahler將PHD濾波技術(shù)應(yīng)用于擴(kuò)展目標(biāo)領(lǐng)域，并給出了擴(kuò)展目標(biāo)PHD(extended target PHD, ET-PHD)濾波器的更新方程[2]。2010年，Granstrom等學(xué)者給出了ET-PHD的高斯混合實(shí)現(xiàn)形式，即ET-GM-PHD濾波[3]。

擴(kuò)展目標(biāo)跟蹤面臨的首要問題就是量測集的劃分，文獻(xiàn)[4]中提出了一種基于距離的劃分方法，該方法對空間上距離較遠(yuǎn)且量測比較密集的情況跟蹤效果較好；文獻(xiàn)[5]提出k-means劃分方法，其劃分準(zhǔn)確度好于距離劃分，但是本質(zhì)上，以上兩種劃分方法都是基于距離劃分的，在量測密度差距較大的環(huán)境下，兩者劃分效果不理想。針對此問題，文獻(xiàn)[6]提出了一種基于SNN相似度的量測劃分方法，該方法對量測密度不敏感，但存在計(jì)算量偏大的不足。

本文在文獻(xiàn)[6]的基礎(chǔ)上，提出了基于動(dòng)態(tài)網(wǎng)格密度的SNN相似度劃分算法，該算法首先通過動(dòng)態(tài)網(wǎng)格計(jì)算量測集的密度分布情況，利用雙閾值對量測集進(jìn)行雜波濾除；然后根據(jù)SNN相似度對處理后的觀測數(shù)據(jù)進(jìn)行劃分，以達(dá)到節(jié)省計(jì)算時(shí)間，提高跟蹤穩(wěn)定性的目的。

1 ET-GM-PHD濾波技術(shù)

1.1 ET-PHD濾波技術(shù)

ET-PHD濾波算法的預(yù)測步和標(biāo)準(zhǔn)的PHD濾波算法預(yù)測步一致，其更新方程是預(yù)測強(qiáng)度vk|k-1(x)和一個(gè)量測偽似然函數(shù)LZ(x)的乘積形式，下面給出ET-PHD濾波算法的具體形式[7]。

1)預(yù)測部分

設(shè)k-1時(shí)刻的后驗(yàn)強(qiáng)度為vk-1，則ET-PHD預(yù)測強(qiáng)度為：

βk|k-1(xk|xk-1)]vk-1(xk-1)dxk-1

(1)

式中：γk(xk)表示k時(shí)刻新生目標(biāo)的RFS的強(qiáng)度函數(shù)；pS,k(xk-1)為目標(biāo)在k時(shí)刻存活的概率；fk|k-1(xk|xk-1)為k時(shí)刻單目標(biāo)的轉(zhuǎn)移概率密度；βk|k-1(xk|xk-1)表示衍生目標(biāo)的強(qiáng)度。

2)更新部分

假設(shè)k時(shí)刻的預(yù)測強(qiáng)度vk|k-1(x)和量測集Zk，且量測個(gè)數(shù)服從Poisson分布，ET-PHD更新方程為：

vk(x)=LZ(x)vk|k-1(x)

(2)

LZ(x)是量測的偽似然函數(shù)：

LZ(x)=1-(1-e-γ(x))pD(x)+

(3)

式中:γ(·)表示擴(kuò)展目標(biāo)所產(chǎn)生的量測值的均值；pD(·)為目標(biāo)被檢測概率；p∠Zk表示p為量測集合Zk的一個(gè)劃分子集；ωp為劃分p的權(quán)值；|W|為子集W內(nèi)元素的個(gè)數(shù)；dW為觀測子集W的非負(fù)系數(shù)；φz(x)為擴(kuò)展目標(biāo)量測的似然函數(shù)；λk為單位空間內(nèi)的雜波個(gè)數(shù)；ck(zk)為雜波的分布函[8]。

1.2 ET-GM-PHD濾波技術(shù)

由于ET-GM-PHD濾波算法和標(biāo)準(zhǔn)的GM-PHD濾波算法的預(yù)測步和更新步一致，因此文中只給出標(biāo)準(zhǔn)GM-PHD濾波算法的預(yù)測和更新方程。

GM-PHD濾波器滿足以下假設(shè)條件:

1)每個(gè)目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)模型和量測模型均為高斯線性的，即：

fk|k-1(x|xk-1)=N(x;Fk-1xk-1,Qk-1)

(4)

gk(z|x)=N(z;Hkxk,Rk)

(5)

2)目標(biāo)的生存概率和檢測概率與目標(biāo)狀態(tài)相互獨(dú)立，即：

pS,k(x)=pS,k

(6)

pD,k(x)=pD,k

(7)

(3)新生目標(biāo)的RFS強(qiáng)度為高斯混合形式，即：

(8)

基于以上假設(shè)，GM-PHD濾波器的預(yù)測步可表示為：

(9)

更新步可表示為：

(10)

1.3 擴(kuò)展目標(biāo)量測劃分問題

從上述例子可見，量測值的增加將使得量測集的劃分?jǐn)?shù)迅速增加，影響跟蹤的實(shí)時(shí)性，因此尋找準(zhǔn)確快速的量測劃分方法是ET-GM-PHD濾波中的重要一步。針對這個(gè)問題，提出了基于動(dòng)態(tài)網(wǎng)格密度的SNN相似度的量測劃分算法。

2 基于動(dòng)態(tài)網(wǎng)格密度的SNN相似度量測劃分方法

在SNN算法的基礎(chǔ)上，利用動(dòng)態(tài)網(wǎng)格技術(shù)對量測數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，從而達(dá)到減小算法運(yùn)行時(shí)間，提高跟蹤精度的效果。

2.1 基于動(dòng)態(tài)網(wǎng)格密度的量測集預(yù)處理

定義1：網(wǎng)格單元：數(shù)據(jù)空間中的每一維均勻的分成若干等分，從而將數(shù)據(jù)空間劃分成若干個(gè)互不相交的超矩形單元，這樣的單元稱為網(wǎng)格單元。采用動(dòng)態(tài)網(wǎng)格劃分，根據(jù)每一時(shí)刻數(shù)據(jù)點(diǎn)的數(shù)量來決定網(wǎng)格的劃分?jǐn)?shù)[9]：

K=(Nz,k(1-γ))1/d

(11)

式中:Nz,k表示k時(shí)刻量測集的個(gè)數(shù)z，γ表示數(shù)據(jù)壓縮率，d表示數(shù)據(jù)的維數(shù)。

定義2：網(wǎng)格單元的中心與重心。設(shè)一個(gè)網(wǎng)格中有m個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)b1,b2,…,bm，該單元的中心點(diǎn)Uc是一個(gè)d維的向量(uc1,uc2,…,ucd),uci=(li+hi)/2,li和hi分別表示網(wǎng)格單元第i維的最小值和最大值；重心點(diǎn)Ub是一個(gè)d維的向量(ub1,ub2,…,ubd)，ubi=(b1i+b2i+…+bmi)/m。

定義3：網(wǎng)格單元密度。網(wǎng)格單元中數(shù)據(jù)點(diǎn)的個(gè)數(shù)用den(C)表示。

2.1.1 改進(jìn)的密度閾值的選取

密度閾值的選取是區(qū)分量測和雜波的關(guān)鍵，在利用式(11)對數(shù)據(jù)空間進(jìn)行動(dòng)態(tài)網(wǎng)格劃分后，選擇合適的密度閾值，對量測劃分結(jié)果的影響很大。傳統(tǒng)的方法中主要利用單密度閾值來判斷高低密度網(wǎng)格，該方法具有明顯的不足：密度閾值選取偏大時(shí)，會(huì)將量測和雜波一同濾除；密度閾值選取偏小時(shí)，則會(huì)認(rèn)定雜波為量測。鑒于此，文中借鑒平均密度的思想，采用雙密度閾值對量測和雜波進(jìn)行區(qū)分，在原有密度閾值的基礎(chǔ)上，添加一個(gè)核心密度閾值[10]。

假設(shè)G為生成的網(wǎng)格數(shù)量，den(Ci)為網(wǎng)格單元密度，max(den(Ci))表示密度最大的網(wǎng)格單元，min(den(Ci))表示密度最小的網(wǎng)格單元，有如下定義，密度閾值ε：

(12)

核心密度閾值ε′：

(13)

定義den(Ci)≥ε′的網(wǎng)格為核心網(wǎng)格，den(Ci)≥ε的網(wǎng)格為高密度網(wǎng)格，den(Ci)≤ε的網(wǎng)格為低密度網(wǎng)格，核心網(wǎng)格也是高密度網(wǎng)格。在濾除雜波的過程中，將含有核心網(wǎng)格的高密度網(wǎng)格區(qū)域認(rèn)定為量測，不包含核心網(wǎng)格的高密度網(wǎng)格區(qū)域和低密度網(wǎng)格區(qū)域認(rèn)定為雜波[11]。

2.1.2 移動(dòng)網(wǎng)格邊界優(yōu)化技術(shù)

為了使量測值和雜波劃分結(jié)果更準(zhǔn)確，需要對邊界信息進(jìn)行處理。問題描述如圖1(a)，單元中C點(diǎn)和B點(diǎn)同屬于量測值，但由于密度閾值的設(shè)置，處于低密度網(wǎng)格中的C點(diǎn)將被當(dāng)作雜波被濾除。為了避免這種情況發(fā)生，文中采用移動(dòng)網(wǎng)格邊界優(yōu)化技術(shù)[12]，對低密度網(wǎng)格以及不含核心密度的高密度區(qū)域中的數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行處理。掃描需要處理的網(wǎng)格中的數(shù)據(jù)點(diǎn)，以網(wǎng)格重心為中心，依據(jù)式(11)劃分的網(wǎng)格邊長建立新的網(wǎng)格，若新建網(wǎng)格的密度den(Cj)≥ε′，則保留網(wǎng)格中的數(shù)據(jù)點(diǎn)，將其歸為量測值。如圖1(b)中所示，以C點(diǎn)為中心建立新的網(wǎng)格，此時(shí)den(Cj)≥ε′，故將C認(rèn)定為量測，避免了上述問題中將邊界量測點(diǎn)C歸為雜波的情況。為了保證算法的運(yùn)行效率，移動(dòng)網(wǎng)格邊界優(yōu)化步驟只執(zhí)行一次。

圖1 移動(dòng)網(wǎng)格邊界優(yōu)化

2.1.3 雜波濾除預(yù)處理

基于動(dòng)態(tài)網(wǎng)格密度量測集預(yù)處理的步驟如下：

步驟2:將全部數(shù)據(jù)映射到已劃分的網(wǎng)格單元中，計(jì)算網(wǎng)格的密度；

步驟3:根據(jù)式(12)、式(13)得到的密度閾值和核心密度閾值對網(wǎng)格進(jìn)行雜波濾除；

步驟4:利用移動(dòng)網(wǎng)格邊界優(yōu)化技術(shù)，對邊界值進(jìn)行提取，保留符合要求的邊界值。

為驗(yàn)證動(dòng)態(tài)網(wǎng)格雜波剔除效果，進(jìn)行了雜波濾除仿真實(shí)驗(yàn)，圖2是在γ=0.5的情況下得到的雜波剔除仿真圖。圖2(a)是量測圖，有3個(gè)高密度區(qū)域?yàn)榱繙y點(diǎn)集合；圖2(b)是經(jīng)過雙密度閾值濾波后得到的效果圖，從圖中可以看到，由于右下角量測集網(wǎng)格密度小于核心密度，被視為雜波剔除了；圖2(c)是經(jīng)過移動(dòng)網(wǎng)格邊界優(yōu)化技術(shù)處理后的仿真圖，原來被視為雜波處理的量測集經(jīng)過移動(dòng)網(wǎng)格邊界優(yōu)化后，重新被認(rèn)定為量測值。經(jīng)過動(dòng)態(tài)網(wǎng)格濾波后，雜波占比由原來的37.7%降低至8.1%，雜波剔除效果比較明顯。

圖2 動(dòng)態(tài)網(wǎng)格雜波剔除

2.2 基于SNN相似度的量測劃分算法

2.2.1 SNN相似度

針對不同擴(kuò)展目標(biāo)產(chǎn)生量測密度差異較大的情況，引入共享最近鄰(SNN)相似度的概念，以SNN相似度為劃分指標(biāo)，對擴(kuò)展目標(biāo)量測集進(jìn)行量測劃分。

各詩家的詩選本無疑都蘊(yùn)含著自己的詩學(xué)理想和個(gè)人偏向，沈德潛選詩自然也不例外。沈德潛作詩主張“格調(diào)說”，“格調(diào)說”由明前后七子提倡，在當(dāng)時(shí)及清初都備受批判，沈德潛重新關(guān)注并發(fā)揚(yáng)光大，成為了影響世人創(chuàng)作的重要思想主張?！案裾{(diào)說”提倡“格高調(diào)響”，在創(chuàng)作上提倡發(fā)揚(yáng)詩教傳統(tǒng)，對“溫柔敦厚”“教化人倫”“合乎風(fēng)雅”之詩格外看重?！秳e裁》作為沈德潛的代表作，必然浸潤著“格調(diào)說”的種種主張。在初刊本的序中，沈德潛提到了詩選本的重要性：

簡而言之，當(dāng)兩個(gè)量測點(diǎn)共同包含一定數(shù)目的最近鄰點(diǎn)時(shí)，則認(rèn)定這兩個(gè)量測點(diǎn)相似。

SNN相似度劃分算法中需要對K值進(jìn)行設(shè)定，K值的設(shè)定范圍是依據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果統(tǒng)計(jì)得到的，文中采用文獻(xiàn)[4]的統(tǒng)計(jì)結(jié)果，如表1所示：

表1 參數(shù)K的設(shè)定范圍

SNN相似度的具體計(jì)算步驟如下：

初始化k；

令Xun=X；

計(jì)算數(shù)據(jù)集X的距離矩陣；

IfXun≠?，則

{任意選擇一個(gè)x∈Xun;

計(jì)算x的k-鄰域Vk(x)={x1,x2,…,xk},

其中x1,x2,…,xk是x的k-鄰域中的數(shù)據(jù)點(diǎn)

Fori=1,i≤k

{ifx∈Vk(xi) 則

SNN(x,xi)=Vk(x)∩Vk(xi);

else SNN(x,xi)=?;}

Xun=Xun-Vk(x);}

End If

2.2.2 基于SNN相似度的劃分算法具體實(shí)現(xiàn)步驟

SNN相似度代表了兩量測點(diǎn)的k-鄰域之間共同量測點(diǎn)的個(gè)數(shù)，基于SNN相似度的量測集劃分方法將SNN相似度大于一定相似度閾值sl的量測歸于同一簇中，實(shí)現(xiàn)步驟如下：

步驟1：量測集經(jīng)過預(yù)處理后，統(tǒng)計(jì)量測集內(nèi)每兩個(gè)量測點(diǎn)之間的歐式距離；

步驟2：根據(jù)步驟1得到的統(tǒng)計(jì)結(jié)果，找到每個(gè)量測值的K個(gè)最近鄰點(diǎn)，計(jì)算每兩個(gè)量測點(diǎn)之間的SNN相似度；

步驟3：根據(jù)SNN相似度，建立n維的SNN相似度矩陣N，n為量測點(diǎn)的個(gè)數(shù)，如圖3所示。

圖3 構(gòu)建SNN相似度矩陣

步驟4：選擇相似度閾值sl，sl從0到K-1內(nèi)選取，選取不同的閾值sl得到不同的劃分結(jié)果，共K種劃分結(jié)果。文中未討論如何選取sl得到正確的劃分結(jié)果，根據(jù)實(shí)驗(yàn)仿真劃分統(tǒng)計(jì)結(jié)果，選取K/2作為相似度閾值sl。

步驟5：保留≥sl的SNN相似度，用1表示，其余的用0表示，形成矩陣Sth，對于圖2(b)，選取sl=2，可表示為圖4，將矩陣Sth中同一個(gè)的1連通域?qū)?yīng)的量測置于同一個(gè)簇，連通域的個(gè)數(shù)即為簇的個(gè)數(shù)。

圖4 SNN相似度矩陣Sth

圖5分別是采用k-means算法和基于SNN相似度劃分算法的結(jié)果。從圖5(a)中可以看到，k-means算法將目標(biāo)1劃分成了兩個(gè)簇，并且和目標(biāo)2混淆了；圖5(b)是基于SNN相似度劃分的劃分結(jié)果，與正確的劃分結(jié)果一致，參數(shù)K=6，sl=3。

圖5 k-means劃分和SNN相似度劃分效果圖

3 仿真實(shí)驗(yàn)與分析

文中采用ET-GM-PHD濾波器，對量測密度相差較大的幾個(gè)擴(kuò)展目標(biāo)進(jìn)行跟蹤，對提出的基于動(dòng)態(tài)網(wǎng)格密度的SNN相似度劃分算法和傳統(tǒng)的k-means劃分算法進(jìn)行跟蹤性能的比較。

3.1 仿真場景設(shè)置

(14)

擴(kuò)展目標(biāo)的量測方程可表示為：

(15)

式中：量測噪聲vk是均值為0，協(xié)方差Rk=(20 m/s)2I2的高斯白噪聲，且目標(biāo)產(chǎn)生的量測互不相關(guān)。

3.2 仿真結(jié)果分析

為了驗(yàn)證文中提出的算法的特性，本次實(shí)驗(yàn)進(jìn)行100次蒙特卡洛仿真，和傳統(tǒng)的基于k-means劃分的多擴(kuò)展目標(biāo)PHD濾波進(jìn)行對比，PHD濾波器采用高斯混合的實(shí)現(xiàn)形式。仿真結(jié)果如下。

圖6 目標(biāo)和雜波態(tài)勢圖

圖6顯示的是目標(biāo)和雜波的態(tài)勢圖，目標(biāo)產(chǎn)生量測個(gè)數(shù)和雜波個(gè)數(shù)均服從泊松分布，仿真場景中共4個(gè)目標(biāo)，目標(biāo)1，2的量測密度服從λ=10的泊松分布，目標(biāo)3，4的量測密度服從λ=30的泊松分布，目標(biāo)初始狀態(tài)和始末時(shí)間如表2所示，雜波個(gè)數(shù)服從λ=10的泊松分布。

表2 目標(biāo)初始狀態(tài)和始末時(shí)間

圖7給出了兩種算法的平均運(yùn)行時(shí)間，從圖中可以看出，相較于傳統(tǒng)的基于k-means劃分的PHD算法，文中提出的算法在運(yùn)行時(shí)間上減少了30%～40%，這是因?yàn)樵诹繙y劃分階段前進(jìn)行了動(dòng)態(tài)密度網(wǎng)格濾波，將大量的雜波剔除，減少了計(jì)算機(jī)對雜波的無效計(jì)算時(shí)間。

圖7 算法平均運(yùn)行時(shí)間

圖8是兩種算法對目標(biāo)數(shù)估計(jì)的仿真圖。如圖中所示，兩種算法在目標(biāo)交叉，產(chǎn)生新生目標(biāo)和衍生目標(biāo)時(shí)都會(huì)發(fā)生目標(biāo)個(gè)數(shù)的錯(cuò)誤估計(jì)，但是文中算法發(fā)生誤判的時(shí)間較短，這是因?yàn)榛赟NN相似度的劃分算法不再以距離為聚類標(biāo)準(zhǔn)，對于本實(shí)驗(yàn)中密度相差較大的量測集的劃分效果要比k-means算法好，只有在目標(biāo)極為接近時(shí)，才會(huì)導(dǎo)致本算法錯(cuò)誤劃分量測集。

圖8 目標(biāo)估計(jì)個(gè)數(shù)比較

圖9給出了兩種算法的OSPA距離圖，OSPA距離[15]是隨機(jī)有限集框架下的多目標(biāo)跟蹤算法的性能評價(jià)指標(biāo),公式定義如下：

(16)

c為勢誤差與狀態(tài)誤差調(diào)節(jié)因子，p決定了對異常值的敏感性。本實(shí)驗(yàn)中c=10，p=2。如圖9(b)所示，本算法的OSPA距離僅在56 s，67 s，77 s時(shí)刻左右出現(xiàn)了較大波動(dòng)，波動(dòng)時(shí)間較短，而傳統(tǒng)算法的OSPA距離波動(dòng)次數(shù)較多，持續(xù)時(shí)間較長，這說明文中所提出的算法在對多擴(kuò)展目標(biāo)進(jìn)行跟蹤時(shí)，有較好的穩(wěn)定性。圖中出現(xiàn)較大波動(dòng)均是在目標(biāo)數(shù)目估計(jì)出現(xiàn)誤差的情況下發(fā)生的，因此OSPA曲線也可以反應(yīng)目標(biāo)數(shù)目的變化。

圖9 兩種算法OSPA比較

綜上所述，文中提出的算法在對量測密度差異較大的擴(kuò)展目標(biāo)跟蹤時(shí)，所用時(shí)間節(jié)省了30%～40%，跟蹤穩(wěn)定性也好于傳統(tǒng)算法。

4 結(jié)束語

針對擴(kuò)展目標(biāo)產(chǎn)生量測密度差異較大的情況，文中提出了一種基于動(dòng)態(tài)網(wǎng)格密度的SNN相似度的劃分算法，對比于傳統(tǒng)的劃分算法，文中算法在降低計(jì)算時(shí)間的同時(shí)，保證了跟蹤過程的穩(wěn)定性和精確性，為擴(kuò)展目標(biāo)PHD濾波算法提供了一種新的劃分方法。下一步將對算法中參數(shù)sl的選擇問題進(jìn)行研究。