☉江蘇省溧水高級(jí)中學(xué) 李國(guó)林

在一些教學(xué)中，不難發(fā)現(xiàn)有些老師對(duì)向量的教學(xué)是存有疑問的.向量作為一個(gè)運(yùn)算體系，不僅具備圖形的直觀性也具備數(shù)的抽象性，這讓大家無所適從.本文將從教學(xué)中體現(xiàn)出來的一些與向量相關(guān)的問題進(jìn)行思考.

一、相等向量的“困擾”

向量相等這一概念使得很多初次接觸向量的人無法對(duì)平行或者共線作出區(qū)分，但這樣定義，保障了向量在幾何構(gòu)建中的基礎(chǔ)作用，而且是必不可少的.

1.運(yùn)算需要方面

代數(shù)運(yùn)算中，合并和化簡(jiǎn)是不可或缺的，且基本元的選擇多為實(shí)數(shù)、單項(xiàng)式.在向量幾何中，可將空間中某一向量看成運(yùn)算的基本元，但這樣是非常復(fù)雜的.所以為了讓運(yùn)算基本元更簡(jiǎn)便，可以這樣定義向量變換的不變性：①平移不會(huì)改變其本身；②數(shù)乘不改變共線.也就是說空間內(nèi)兩個(gè)任意的平行或共線的向量，可以這樣理解：②反向或者伸縮得到的結(jié)果是①.因此，“非零代表”（基底）可以線性地表達(dá)三維空間內(nèi)任意的一組平行向量.這樣運(yùn)算基本元也就變得更加簡(jiǎn)便了.

2.知識(shí)內(nèi)部的和諧方面

相等向量的概念是了解向量加法中的三角形法則和平行四邊形法則的基礎(chǔ)；通過平行四邊形法則可以證明向量的交換律“c=a+b=b+a”；向量減法運(yùn)算的意義可以從“a+（-b）”的幾何意義中得出；可以這樣說，若沒有相等向量，就無法將向量差的坐標(biāo)表示與其幾何意義聯(lián)系起來.

有這樣一個(gè)問題：向量中的“基本定理”有何意義？

數(shù)學(xué)中的“基本定理”都具備一個(gè)里程碑的作用，就比如代數(shù)基本定理：每個(gè)次數(shù)≥1的復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)域上至少有一根，這個(gè)定理對(duì)我們分解多項(xiàng)式、求方程的根都有很大的幫助.我們將從這樣兩個(gè)方面來展現(xiàn)向量“基本定理”的作用.

（1）“基底”是其中心思想，它使運(yùn)算基本元得到了很大程度的簡(jiǎn)化，這也體現(xiàn)了歷代數(shù)學(xué)家的智慧.就像前面所說：①直線的基本定理是一維基向量體現(xiàn)共線向量；②平面的基本定理是二維基向量體現(xiàn)共面向量；③空間的基本定理是三維基向量體現(xiàn)空間向量.這三種維度的基本定理都可以最大限度地實(shí)現(xiàn)向量基本元的簡(jiǎn)化.

（2）基于這三個(gè)維度的基本定理，如果能夠在圖形中選擇一個(gè)合適的基底，那么在使用向量來解答幾何問題時(shí)就會(huì)更加方便了.

二、向量教學(xué)實(shí)踐研究與思考

向量這一章很重要，但教學(xué)的任務(wù)卻僅僅停留在了解的程度，這是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的.向量的基本定理與其他的幾何定理并不一樣，向量中選基底的這種思想需要引起高度的重視.在某次課堂上，某位老師這樣導(dǎo)入向量知識(shí)：

①小明在銀行存了x元，小紅存了小明的3倍，小王存了小明的1.5倍，小吳欠別人錢，欠的錢是小明的2倍，用小明的錢來表示這三人的錢.

②平面內(nèi)存在非零向量e1，則哪些向量可以用e1來表示？哪些不可以？

③可不可以加一個(gè)非零向量e2來使得平面上的所有向量都可以用e1，e2表示出來？

不難看出，問題①和②有推進(jìn)關(guān)系，并且有相似之處.提出問題③時(shí)，這位老師在黑板上畫了四組圖，分別由三個(gè)互不相等且方向不同的向量e1、e2和a組成，然后再點(diǎn)撥學(xué)生，平移不變自身，要求學(xué)生畫出以e1、e2為鄰邊，a為對(duì)角線的平行四邊形，并算出e1、e2正向伸長(zhǎng)或者反向縮短的系數(shù)，從而寫出a的表達(dá)式，然后由四位同學(xué)在黑板上完成.

圖1

圖2

圖3

圖4

也就是說，借助“數(shù)乘不變共線”，大部分學(xué)生可以完成平行四邊形的構(gòu)造，平面的基本定理也能很快地概括出來.章建躍先生說過：基本定理中的數(shù)乘系數(shù)作為坐標(biāo)λ1，（λ1，λ2），（λ1，λ2，λ3），這三者分別具有刻畫直線、平面、空間的功能，從而體現(xiàn)了基本定理的深化.

很多學(xué)生對(duì)于向量的掌握程度只有單純的坐標(biāo)運(yùn)算，而對(duì)于向量的整體運(yùn)算、理解及運(yùn)用都是不到位的，但整體運(yùn)算對(duì)于解題是有很大幫助的.那是什么原因?qū)е逻@種情況的呢？筆者認(rèn)為有這兩種：

①整體運(yùn)算就是把相關(guān)向量用基向量表示出來，且基向量沒有模長(zhǎng)和方向的要求，如果把基向量的模長(zhǎng)定為1，并要求兩兩垂直，再分離基向量的系數(shù)，去掉基本元，這就是坐標(biāo)運(yùn)算的原理.其實(shí)，不難看出，這兩個(gè)都是向量的定理，其中的差異是要對(duì)向量的定義有著熟練的掌握.聯(lián)系直角坐標(biāo)系進(jìn)行坐標(biāo)運(yùn)算，這些學(xué)生已經(jīng)學(xué)過了，所以對(duì)于向量的運(yùn)算，大家要漸漸養(yǎng)成用坐標(biāo)運(yùn)算來解決向量問題的習(xí)慣.

②學(xué)習(xí)向量也是為了在高考中解題更加方便，所以只需構(gòu)建相應(yīng)的直角坐標(biāo)系再用向量解決立體幾何問題即可.

問題發(fā)現(xiàn)了，那么就要尋找解決問題的方法.解決的方法還是要從基本定理出發(fā)，逐漸深入地理解.其實(shí)整體運(yùn)算可以有效解決對(duì)于某些建立坐標(biāo)系較為復(fù)雜的問題.如下題：

已知四面體A-BCD（圖5），若AC⊥BD，AB⊥CD，求證：AD⊥BC.

圖5

這道題體現(xiàn)了在四面體中若有兩對(duì)棱垂直，那么第三對(duì)棱也互相垂直.在沒有學(xué)過向量時(shí)，只能通過構(gòu)造平面，而這種方法很復(fù)雜，即使是構(gòu)建坐標(biāo)系也很復(fù)雜.但如果掌握了向量的整體運(yùn)算，這道題便可以很快得到解決.

有同學(xué)可能會(huì)有疑問，解析幾何和向量幾何都是運(yùn)用直角坐標(biāo)系來解決問題，他們之間有什么異同點(diǎn).

第一，解決問題的方式.不同點(diǎn)在于解析幾何必須在坐標(biāo)系內(nèi)完成，而向量不僅僅依賴于坐標(biāo)系.相同點(diǎn)在于它們的運(yùn)算過程大同小異，通過解析幾何的解題三步驟，可以得到向量幾何的解題三步驟：

（1）運(yùn)用定理，將線段轉(zhuǎn)化為向量.

（2）向量進(jìn)行運(yùn)算，得出模長(zhǎng)、夾角.

（3）運(yùn)算結(jié)果具體成相應(yīng)的幾何性質(zhì).

第二，解決的手段.解析幾何通過方程，橫縱坐標(biāo)相互制約，可得到運(yùn)動(dòng)軌跡.向量幾何是通過向量運(yùn)算，所以它的解題方法多種多樣.對(duì)于平行和三點(diǎn)共線的問題，解析幾何的解題是需要確定斜率和點(diǎn)是否在直線上，向量幾何只需要記住“數(shù)乘不變共線”即可.

有這樣一道題：如圖6，A，D，B三點(diǎn)在同一直線上，AB=3AD，BC=3DE，DE∥BC.證：A，E，C三點(diǎn)在同一直線上.

圖6

由于高考對(duì)于立體幾何向量的要求不高，所以大部分同學(xué)不會(huì)學(xué)得很透徹，如何解決學(xué)得過于片面這一問題呢？有這樣一道問題：

假設(shè)向量a=（m，1），設(shè)b=（1，2），且|a+b|2=|a|2+|b|2，則實(shí)數(shù)m=______.

上述題目是一道高考原題，只需要套用公式即可，但并不能體現(xiàn)向量知識(shí)的深度，這對(duì)于教師的教學(xué)來說也是一種阻礙，若想激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生從心底去學(xué)習(xí)才能真的學(xué)得好.

其實(shí)解析幾何與向量都是有解題技巧的，若教師對(duì)向量的教學(xué)加以重視，并且掌握向量解題的技巧，便可以大大加快解題速度，何樂而不為呢！