☉江蘇省蘇州市田家炳實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué) 何小寅

教師選取數(shù)學(xué)例題、習(xí)題必然要比學(xué)生有想法、有經(jīng)驗(yàn)，易于學(xué)生接受是教師選取例題、習(xí)題過程中應(yīng)該秉持的原則.脫離學(xué)生的實(shí)際接受能力的題目就像不合腳的鞋子一樣，不適合學(xué)生的同時(shí)還會(huì)妨礙學(xué)生對(duì)知識(shí)的鞏固和理解.筆者結(jié)合“反證法”這一內(nèi)容的教學(xué)，主要談?wù)劸x例題、習(xí)題這一方面的思考.

反證法的定義與應(yīng)用是這一教學(xué)內(nèi)容的重點(diǎn)，根據(jù)筆者多年的教學(xué)實(shí)踐反映，學(xué)生對(duì)教材本身配備的例題、習(xí)題往往會(huì)感到很別扭.數(shù)論知識(shí)在教材的編寫中占據(jù)的地位極低，學(xué)生掌握數(shù)論知識(shí)比較少的同時(shí)對(duì)教材中設(shè)計(jì)的前三道數(shù)論問題自然會(huì)感到無從下手.很多教師在教學(xué)中會(huì)提醒學(xué)生運(yùn)用反證法來解決問題，但真正能夠順利運(yùn)用反證法證明的學(xué)生卻少之又少，故例題的存在自然是沒有意義可言的，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性大受打擊的同時(shí)也會(huì)感到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)特別無趣，教師費(fèi)盡心思教學(xué)或許能使學(xué)生明白，但學(xué)生對(duì)反證法的理解卻談不上了.

教材中有一道證明題是有關(guān)平面幾何的，運(yùn)用反證法進(jìn)行平面幾何的證明在高中階段并未作要求，因此學(xué)生很難想到該題的切入點(diǎn)，思考這一難題的過程往往也會(huì)沖淡反證法知識(shí)的應(yīng)用.總之，教材中所呈現(xiàn)的這四道例題往往會(huì)令教師和學(xué)生都感到例題的設(shè)置是偏離對(duì)反證法的理解與應(yīng)用的，顯然這是偏離學(xué)生實(shí)際的編寫.

遺忘曲線的規(guī)律是大家所熟知的，學(xué)生學(xué)習(xí)的知識(shí)往往會(huì)隨著時(shí)間的推移而逐漸遺忘，因此，教師應(yīng)從學(xué)生最近學(xué)習(xí)的知識(shí)中進(jìn)行例題、習(xí)題的編制或選取，使學(xué)生能夠感到熟悉和親切的同時(shí)增加其學(xué)習(xí)的信心，學(xué)生的學(xué)習(xí)能力逐漸增強(qiáng)的同時(shí)也會(huì)增加其數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的積極性和興趣.

因此，筆者認(rèn)為應(yīng)對(duì)這一章節(jié)內(nèi)容中的例題和習(xí)題進(jìn)行新的設(shè)計(jì).筆者所在的數(shù)學(xué)教研小組因此進(jìn)行了新的研究，從不等式、解析幾何、函數(shù)與方程、立體幾何這四個(gè)方面進(jìn)行了新的選擇并因此取代了教材中的例題.這些學(xué)生所熟悉的知識(shí)凸顯了反證法的應(yīng)用，這些不糾纏于知識(shí)細(xì)枝末節(jié)的例題也更具代表性，反證法得到廣泛應(yīng)用的同時(shí)也令學(xué)生更好地接受了新的知識(shí).

例1設(shè)a，b，c∈（0，+∞），求證三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)不小于2.

證明：假設(shè)均小于2，即，則，所以，所以

例2已知二次函數(shù)y=ax2+2bx+c，y=bx2+2cx+a，y=cx2+2ax+b（a，b，c為三個(gè)互不相等且都不為零的實(shí)數(shù)）.證明它們的圖像至少有一個(gè)和x軸存在兩個(gè)交點(diǎn).

證明：假設(shè)三個(gè)圖像和x軸都不存在兩個(gè)交點(diǎn)，因此將三式相加，可得a2+b2+c2≤ab+bc+ac，（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2≤0，所以a=b=c.這與題設(shè)中a，b，c互不相等這一條件是矛盾的，因此三個(gè)函數(shù)的圖像至少有一個(gè)和x軸存在兩個(gè)交點(diǎn).

例3已知函數(shù)，請(qǐng)運(yùn)用反證法證明f（x）=0無負(fù)數(shù)根.

證法1：假設(shè)存在，滿足，則ax0=又0＜ax0＜1，因此，即，這與假設(shè)x0＜0矛盾，因此方程f（x）=0無負(fù)數(shù)根.

證法2：假設(shè)存在x0＜0（x0≠-1），滿足

（1）若-1＜x0＜0，則，因此f（x0）＜-1，這與f（x0）=0矛盾；

（2）若x0＜-1，則，因此（fx）0＞0，這與（fx0）=0矛盾.

所以方程f（x）=0無負(fù)數(shù)根.

例4如圖1所示，已知△ABC是銳角三角形，直線SA⊥平面ABC，AH⊥平面SBC.求證：H不可能是△SBC的垂心.

圖1

證明：假設(shè)H是△SBC的垂心.連接BH，則BH⊥SC.又AH⊥平面SBC，SC?平面SBC，所以AH⊥SC.因?yàn)锳H∩BH=H，所以SC⊥平面ABH.又AB?平面ABH，所以SC⊥AB.

又因?yàn)镾A⊥平面ABC，AB?平面ABC，所以AB⊥SA.又因?yàn)镾A和SC相交于點(diǎn)S，所以AB⊥平面SAC.所以AB⊥AC，即∠BAC=90°，這與△ABC是銳角三角形這一條件相矛盾，故H不可能是△SBC的垂心.

練習(xí)A：

1.運(yùn)用反證法證明“三角形中最多只有一個(gè)內(nèi)角為直角”這一命題時(shí)可以假設(shè)（ ）.

A.有兩個(gè)內(nèi)角為直角 B.有三個(gè)內(nèi)角為直角C.至少有兩個(gè)內(nèi)角為直角 D.內(nèi)角都不是直角

2.設(shè)a，b，c∈（-∞，0），求證中至少有一個(gè)不大于-2.

練習(xí)B：

1.命題“a，b為實(shí)數(shù)，若|a-1|+|b-1|=0，則a=1且b=1”，運(yùn)用反證法證明時(shí)可假設(shè)______.

2.若x，y＞0且x+y＞2，求證：與中至少有一個(gè)小于2.

3.若以下方程：x2+4ax-4a+3=0，x2+（a-1）x+a2=0，x2+2ax-2a=0中至少有一個(gè)方程有實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

說明：上述例題和習(xí)題的設(shè)計(jì)不僅考慮到了學(xué)生對(duì)這些題目的接受程度，還體現(xiàn)了以下幾個(gè)方面的內(nèi)容：

（1）由例4可以看出，否定性命題的證明往往可以運(yùn)用反證法來解決.

（2）當(dāng)“至少多少個(gè)”、“至多多少個(gè)”這樣的字眼在題目中出現(xiàn)時(shí)往往可以考慮運(yùn)用反證法來證明，例1就很好地體現(xiàn)了這一點(diǎn).

（3）例1和練習(xí)A中的第2題之間存在著非常密切的聯(lián)系，練習(xí)A中的第2題對(duì)a，b，c三個(gè)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行了改變，由正實(shí)數(shù)到負(fù)實(shí)數(shù)這一條件的改變也令學(xué)生在練習(xí)中獲得了知識(shí)與方法的鞏固.

（4）將式子相加是解決例1的基本辦法，先變形再相加是解決練習(xí)B中第2題的處理辦法，層層遞進(jìn)的關(guān)系也因此得到了很好的體現(xiàn)，如此設(shè)計(jì)也使學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解得到了逐步的加深.

總之，教師在精選例題的過程中應(yīng)本著貼近學(xué)生實(shí)際、促使學(xué)生能力發(fā)展的目的，使學(xué)生在分析、思考與反思中更好地掌握解題規(guī)律并積累更多的解題經(jīng)驗(yàn).

（1）要有針對(duì)性.選擇的例題或習(xí)題主要為了解決什么問題是教師在選題時(shí)應(yīng)該思考的.題目練習(xí)的目的性和針對(duì)性往往能夠決定題目的質(zhì)量，對(duì)癥下藥的選題才能更好地起到有的放矢的教學(xué)效果.

（2）要有可行性.學(xué)生當(dāng)前的學(xué)習(xí)水平如何、學(xué)生當(dāng)前學(xué)習(xí)中需要解決的問題在哪里、例題或習(xí)題選擇的目的是什么都是教師在精選例題或習(xí)題時(shí)需要注意的.難易有度、數(shù)量適宜且能貼合學(xué)生實(shí)際需要與教學(xué)內(nèi)容的練習(xí)才是可行的，才是能夠解決學(xué)生學(xué)習(xí)需求的好練習(xí).

（3）選題應(yīng)具有糾錯(cuò)功能.學(xué)生在平時(shí)的作業(yè)及考試中都會(huì)犯錯(cuò)，教學(xué)的重難點(diǎn)、學(xué)生學(xué)習(xí)上的問題、教學(xué)中的疏漏往往都會(huì)在一些典型錯(cuò)誤上得到體現(xiàn).教師在教學(xué)中應(yīng)能及時(shí)地發(fā)現(xiàn)這些問題，并選擇、編制相應(yīng)的例題、習(xí)題來幫助學(xué)生糾錯(cuò)，使學(xué)生能夠在糾錯(cuò)的過程中達(dá)到查漏補(bǔ)缺、穩(wěn)步提升的學(xué)習(xí)效果.

（4）題目應(yīng)具有嚴(yán)密性.教師只有具備扎實(shí)的教學(xué)功底和數(shù)學(xué)素養(yǎng)，才能在海量的數(shù)學(xué)題中選出合適的例題或習(xí)題，才能有計(jì)劃、有步驟地將知識(shí)性、思想性及解題技巧均融合于一體的例題或習(xí)題提供給學(xué)生，使學(xué)生在嚴(yán)密而科學(xué)的解題思考中獲得知識(shí)與能力的共同提升.