☉北京市密云區(qū)第二中學(xué) 王德臣

一、問題的提出

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是一個(gè)人經(jīng)過數(shù)學(xué)教育培訓(xùn)后所具有的數(shù)學(xué)特質(zhì).正如高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)所述：“會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言描述現(xiàn)實(shí)世界.”這是一個(gè)人通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)逐步形成的關(guān)鍵能力和必備品質(zhì)，也是基本知識(shí)、基本技能、基本思想及基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的綜合體現(xiàn).

重心是中學(xué)數(shù)學(xué)及物理學(xué)中的重要概念.三角形的重心是研究幾何圖形重心的基礎(chǔ)，能夠用尺規(guī)作圖及坐標(biāo)運(yùn)算等方式進(jìn)行研究.在用點(diǎn)的坐標(biāo)來研究三種不同形態(tài)的三角形的重心的探究活動(dòng)的教學(xué)設(shè)計(jì)中，我們要解決以下四個(gè)問題：重心的意義是什么？構(gòu)成“三角形”的要素是什么？構(gòu)成“三角形”的要素與重心之間有怎樣的關(guān)系？確定“三角形”重心的方法及研究過程，以及對(duì)探究其他幾何圖形的重心有哪些指導(dǎo)意義？

二、以“三角形重心”教學(xué)為例，實(shí)施探究式教學(xué)

教師：在平面幾何中，三角形的重心是如何定義的？

學(xué)生：三角形三條中線的交點(diǎn)是三角形的重心.

教師：在解析幾何中，若△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為那么，重心G的坐標(biāo)公式是什么？

學(xué)生：三角形的重心G的坐標(biāo)為

教師：這個(gè)結(jié)論是正確的嗎？三角形的重心公式的含義是什么？

設(shè)計(jì)意圖：新知識(shí)的學(xué)習(xí)必須以學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)為基礎(chǔ)，從學(xué)生已有的知識(shí)出發(fā)，提出富有挑戰(zhàn)性的問題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生積極主動(dòng)地參與到課堂學(xué)習(xí)之中，從而引發(fā)學(xué)生的理性思考、批判和質(zhì)疑.

教師：為了回答上述問題，請(qǐng)同學(xué)們思考以下問題.

問題1：生活中的三角形有哪些呈現(xiàn)方式？如何理解數(shù)學(xué)中的三角形？

設(shè)計(jì)意圖：打破學(xué)生的原有認(rèn)知，激發(fā)學(xué)生思考三角形的其他呈現(xiàn)形態(tài).引導(dǎo)學(xué)生觀察生活現(xiàn)象并從中抽象出數(shù)學(xué)模型，理解三角形點(diǎn)系、三角形框架結(jié)構(gòu)及常規(guī)三角形（面）的概念，初步認(rèn)識(shí)到三角形的構(gòu)成要素決定了三角形的重心（性質(zhì)）.

學(xué)生：列舉生活實(shí)例，交流各種三角形的模型.

教師：三角形有三種呈現(xiàn)形式，第一種是由三個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的“點(diǎn)系三角形”，第二種是由三條邊構(gòu)成的“邊系三角形”，第三種是教材中提到的三角形，它是由三角形的平面構(gòu)成的“面系三角形”.本節(jié)課重點(diǎn)研究不同形態(tài)的三角形的重心的求法，并比較各個(gè)重心公式的異同點(diǎn).

問題2：平面內(nèi)有質(zhì)量相同的三個(gè)點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）組成的點(diǎn)系，則三點(diǎn)系Ω={A，B，C}的重心為

設(shè)計(jì)意圖：數(shù)學(xué)的課堂教學(xué)不是單一地傳授知識(shí)，更重要的是讓學(xué)生體驗(yàn)獲取知識(shí)的過程.在具體問題的引導(dǎo)下，學(xué)生通過探究設(shè)計(jì)解決問題的方案，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)、推理與運(yùn)算，用數(shù)學(xué)方法解決問題，從中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

學(xué)生：分組討論解決問題的方案，并給予證明.

證明：因?yàn)辄c(diǎn)系Ω1={A，B}的重心為點(diǎn)系Ω={A，B，C}的重心是點(diǎn)系Ω2={Ω1，C}的重心G（x，y），其中所以命題成立.

教師：聽取學(xué)生的解題方案，給予學(xué)生適當(dāng)?shù)闹笇?dǎo)，最終達(dá)成共識(shí)，學(xué)生給出證明.

總結(jié)提升：利用轉(zhuǎn)化思想，先求出其中任意兩個(gè)點(diǎn)的重心G1，再求出G1和第三個(gè)點(diǎn)的重心G，從而把三個(gè)點(diǎn)的重心轉(zhuǎn)化成兩個(gè)點(diǎn)的重心，所得結(jié)論與平面三角形的重心公式一致.

問題3：若△ABC由三條粗細(xì)質(zhì)地均勻的三條線段構(gòu)成，其中三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），則此“邊系三角形”的重心G（x，y）滿足：

設(shè)計(jì)意圖：通過層層遞進(jìn)的變式探究，激發(fā)更多學(xué)生的主動(dòng)參與，學(xué)生的思維越來越活躍，通過各種解題方案的提出，解決問題的脈絡(luò)也越來越清晰，學(xué)生頭腦中的認(rèn)知結(jié)構(gòu)不斷被激活，創(chuàng)造性的思想源源不斷涌出，身在課堂，樂在其中.

學(xué)生：設(shè)計(jì)解題方案，確定解題思路，把“邊系三角形”的重心轉(zhuǎn)化成三條邊的中點(diǎn)夠成的“點(diǎn)系三角形”的重心.

圖1

證明：為了便于書寫，不妨設(shè)AB=l1，BC=l2，CA=l3，因?yàn)榫€段l1的重心是線段AB的中點(diǎn)線段l的重心2為其中點(diǎn)線段l的重心為其中點(diǎn)3各個(gè)點(diǎn)的質(zhì)量與對(duì)應(yīng)線段的長(zhǎng)度成正比 ，設(shè) 線 段MN的 重 心 為Q（x0，y0），則x0=

點(diǎn)Q（x0，y0）的質(zhì)量與l2+l3成正比，線段PQ的重心G（x，y）為△ABC的重心，則：

教師：引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問題的結(jié)論做進(jìn)一步的總結(jié)，并抽象出一般結(jié)論，“邊系三角形”的重心是各個(gè)邊的中點(diǎn)坐標(biāo)與對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)的加權(quán)平均值.

三、活動(dòng)反思

“定性”與“定量”是數(shù)學(xué)幾何學(xué)中研究的重點(diǎn)與難點(diǎn)，本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)思路表面上看是研究三角形的重心公式，是定量的問題，實(shí)則是從“三角形”的構(gòu)成要素出發(fā)，最終發(fā)現(xiàn)不同形態(tài)的“三角形”的重心公式的實(shí)際含義，是“定性”的問題，從“定性”的角度看各個(gè)形態(tài)的三角形的重心是相同的.通過學(xué)生的探究活動(dòng)，學(xué)生獲得了一定的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)一步完善了學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，感悟到數(shù)學(xué)的理性精神，從而提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

章建躍在《數(shù)學(xué)教育隨想錄》中說：“要數(shù)學(xué)地認(rèn)識(shí)事物，其基本結(jié)構(gòu)是：定義概念——推導(dǎo)性質(zhì)——建立聯(lián)系——實(shí)踐應(yīng)用.定義概念從而明確數(shù)學(xué)對(duì)象；探索對(duì)象的要素與要素、要素與環(huán)境之間的關(guān)系和相互作用而獲得性質(zhì)；通過建立相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系而形成知識(shí)體系；應(yīng)用所得知識(shí)解決數(shù)學(xué)的內(nèi)外問題，并深化知識(shí)，拓展新知.這是一個(gè)螺旋上升、逐漸深入的過程”.本節(jié)課依托上述理論，從生活中的實(shí)際問題出發(fā)，定義了不同形態(tài)的三種“三角形”，并研究它們的重心與構(gòu)成要素之間的關(guān)系，以及三種形態(tài)的三角形的重心之間的關(guān)系.

探究式教學(xué)的關(guān)鍵是問題串的設(shè)計(jì)，問題串應(yīng)由淺入深、環(huán)環(huán)相扣，符合學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，每一個(gè)問題都富有挑戰(zhàn)性，使得不同層次的學(xué)生憑借自己的生活經(jīng)驗(yàn)及知識(shí)經(jīng)驗(yàn)都能夠積極地參與到探究活動(dòng)之中，都有“發(fā)現(xiàn)”及“表現(xiàn)”的機(jī)會(huì)，通過生活觀察、獨(dú)立思考、邏輯推理、代數(shù)運(yùn)算、轉(zhuǎn)化與化歸、幾何直觀及數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思維的基本形式，最終形成統(tǒng)一的共識(shí)，使學(xué)生真正理解“三角形”重心的意義，并在探究過程中提升解題能力，豐富思維品質(zhì).（本文得到首都師范大學(xué)王安教授的悉心指導(dǎo)，并向王教授致謝）