☉浙江省湖州市第二中學(xué) 劉 薇

☉浙江省湖州市第二中學(xué) 沈 恒

☉浙江省湖州市第二中學(xué) 顧建偉

題目（2018年浙江卷22）已知函數(shù)

（Ⅰ）若（fx）在x=x1，x（2x1≠x）2處導(dǎo)數(shù)相等，證明：（fx1）+（fx2）＞8-8ln2；

（Ⅱ）若a≤3-4ln2，證明：對(duì)于任意k＞0，直線y=kx+a與曲線y=（fx）有唯一公共點(diǎn).

環(huán)節(jié)一：說背景

本題是2018年浙江卷的最后一道解答題，主要考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)解決復(fù)雜函數(shù)的能力.從問題的層次上來說，難度適中、循序漸進(jìn)，第（Ⅰ）問從基本層面入手，利用抽象獲得第（Ⅱ）問的研究思路比較開闊，是區(qū)分學(xué)生數(shù)學(xué)綜合能力與素養(yǎng)的一道試題.相比于2017年浙江卷的最后一道解答題數(shù)列不等式來看，回歸到函數(shù)導(dǎo)數(shù)壓軸，凸顯了兩重優(yōu)勢(shì)：第一，命題者可以有更為寬闊的命題思路，容易命制出更好的試題；第二，學(xué)生可以有不同的、多角度的切入視角，不同的學(xué)生能用不同的方式去思考，體現(xiàn)了寬泛的入口，做到了不同層次的區(qū)分.

環(huán)節(jié)二：說題目

本題以求導(dǎo)環(huán)節(jié)為第一準(zhǔn)則，通過求導(dǎo)公式研究所得方程，進(jìn)一步獲得以x1，x2為整體的函數(shù)模型，并通過論證獲得結(jié)論；第二部分，其解答思路較為多樣化，可以用分類討論進(jìn)行驗(yàn)證，也可以用參變分離進(jìn)行證明，更可以站在一定的高度從拐點(diǎn)的視角進(jìn)行思考.因此，筆者認(rèn)為值得我們教學(xué)思考.

環(huán)節(jié)三：說解法

（Ⅰ）函數(shù)（fx）的導(dǎo)函數(shù)由得

因?yàn)閤1≠x2，所以，由基本不等式得

又因?yàn)閤1≠x2，所以x1x2＞256.由題意得

記x=x1x2＞256，則-4），所以g（x），g′（x）在x∈（0，+∞）上的變化情況如下表：

x （0，16） 16 （16，+∞）g′（x）-0+g（x） ↘ 2-4ln2 ↗

所以g（x）在（256，+∞）上單調(diào)遞增，且g（x1x2）＞g（256）=8-8ln2，即

問題（Ⅱ）的切入方式較多，下面提供多種解法：

解法1：令，則＜0，所以存在x0∈（m，n），使

所以對(duì)于任意的a∈R及k∈（0，+∞），直線y=kx+a與曲線y=f（x）有公共點(diǎn).

由（Ⅰ）可知g（x）≥g（16），又a≤3-4ln2，故-g（x）-1+a≤-g（16）-1+a=-3+4ln2+a≤0.所以h′（x）≤0，即函數(shù)h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，因此方程f（x）-kx-a=0至多有1個(gè)實(shí)根.

綜上所述，當(dāng)a≤3-4ln2時(shí)，對(duì)于任意k＞0，直線y=kx+a與曲線y=f（x）有唯一公共點(diǎn).

解法2：?jiǎn)栴}等價(jià)于與直線y=-a在-a≥4ln2-3且k＞0的條件下有唯一公共點(diǎn).

解法3：從參變視角入手，，則h′（x）=，再令+a-1，則φ′（x）=，當(dāng)x=16時(shí)，有φ（′x）=0，且φ（x）在（0，16）上單調(diào)遞增，在（16，+∞）上單調(diào)遞減，所以φ（x）≤φ（16）=4ln2-3+a≤0.因此h′（x）≤0.所以h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減.又所以對(duì)任意的k＞0均只有一個(gè)公共點(diǎn).

解法4：由拐點(diǎn)知識(shí)可知，令，則x0=16（拐點(diǎn)），所以可求得過該點(diǎn)的切線方程為，如圖1所示，當(dāng)a≤3-4ln2時(shí)，對(duì)于任意k＞0，直線y=kx+a與曲線y=f（x）有唯一公共點(diǎn).

圖1

環(huán)節(jié)四：說引申

本題從難度上來說，基本符合壓軸題的要求，從知識(shí)上來說，多角度的切入方式也成為區(qū)分學(xué)生思維的好試題.從問題本身來說，筆者認(rèn)為有幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)值得我們思考：比如參變分離方法的一般性，以及使用參變分離方法往往離不開洛必達(dá)法則，又或者兩階導(dǎo)數(shù)拐點(diǎn)的使用等，特別在不少問題的研究中發(fā)現(xiàn)，高等數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)于初等數(shù)學(xué)問題的解決往往有著極為深刻的指向性作用.

洛必達(dá)法則：（1）記a為常數(shù)，如果兩個(gè)函數(shù)f（x）和g（x）在含有a的鄰域內(nèi)滿足：兩個(gè)極限與都趨向于∞或都等于0，兩個(gè)導(dǎo)數(shù)f′（x）與g′（x）都存在（不趨向于∞），那么

（2）如果兩個(gè)函數(shù)f（x）和g（x）滿足：兩個(gè)極限與都趨向于∞或都等于0，兩個(gè)導(dǎo)數(shù)f′（x）與g′（x）都存在（不趨向于∞），那么

（3）把（2）中的4處“+∞”都替換成“-∞”.

洛必達(dá)的《闡明曲線的無窮小分析》是世界上第一本系統(tǒng)地闡述當(dāng)時(shí)新興的微積分的教科書，其影響之大，以至于數(shù)學(xué)后輩把約翰·伯努利的此結(jié)論記到洛必達(dá)的名下而稱為“洛必達(dá)法則”.隨著高中課改的深入開展，特別是對(duì)于某些函數(shù)用中學(xué)數(shù)學(xué)“技術(shù)手段”無法求其上、下確界的情況下，“洛必達(dá)法則”進(jìn)入高中數(shù)學(xué)課本的選修課程是一種趨勢(shì).

問題1：（2018年全國(guó)高考數(shù)學(xué)卷Ⅱ文科）已知函數(shù)

證明：原結(jié)論“（fx）只有一個(gè)零點(diǎn)”等價(jià)于方程a（x2+x+1）=0只有一個(gè)實(shí)根，其中x2+x+1≠0，則原結(jié)論進(jìn)一步等價(jià)于分式方程只有一個(gè)實(shí)根.由此

證明：f（x）只有一個(gè)零點(diǎn).可以構(gòu)造分式函數(shù)，求導(dǎo)得≥0，則函數(shù)g（x）在區(qū)間（-∞，+∞）上單調(diào)遞增.接下來考慮該函數(shù)有無上、下確界，因此運(yùn)用洛必達(dá)法則可得到.因此，在區(qū)間（-∞，+∞）上g（x）的值域是（-∞，+∞）.所以方程a=g（x）只有一個(gè)實(shí)數(shù)根.

問題2：（2015年吉林省競(jìng)賽題改編題）已知不等式對(duì)于任意的x＞0恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

解析：當(dāng)x＞0時(shí)，不等式等價(jià)于m≤，由此構(gòu)造函數(shù)，則導(dǎo)數(shù)其中l(wèi)nx≤x-1（可構(gòu)造函數(shù)證明或由泰勒展開式易知）故ln（x+1）≤x，則導(dǎo)數(shù)h′（x）≥0，即h（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增，則當(dāng)x＞0時(shí)，由洛必達(dá)法則可求得，故函數(shù)h（x）在（0，+∞）內(nèi)的下確界是1.又因?yàn)閙≤h（x）對(duì)于任意x＞0恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-∞，1］.

環(huán)節(jié)五：說反思

研究高考命題，要從其命制的基本知識(shí)、基本技能和基本數(shù)學(xué)思想入手，積極思考為什么這么命題？從而在教學(xué)中不斷地思考如何模仿命題，提高自身的專業(yè)化水平.本題是湖州市高二數(shù)學(xué)期末樣卷的壓軸題，也是經(jīng)過反思和改編的問題：

變式：設(shè)函數(shù)

分析：從閱卷來看，本題的平均得分僅3.1分，相對(duì)來說難度較大.問題暴露在以下幾個(gè)方面：

第一，函數(shù)求導(dǎo)不夠熟練，求導(dǎo)錯(cuò)誤的學(xué)生不在少數(shù)，說明學(xué)生在心理上懼怕壓軸題，以及基本訓(xùn)練上的不足；

第二，對(duì)于含有參數(shù)的討論分析，作為高二學(xué)生尚欠火候，對(duì)于零點(diǎn)的運(yùn)算更多的是直接思維的體現(xiàn)，而缺少一些轉(zhuǎn)化的方式；

第三，因本題的位置處在最后一題，學(xué)生對(duì)于問題的分析存在時(shí)間不夠的情況，若時(shí)間分配合理，本題學(xué)生的分析還能更為到位一些.

本題的主要解法如下：

解法1：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)

令f′（x）＞0，f′（x）＜0并結(jié)合x＞0且x≠1可得f（x）的遞增區(qū)間是；遞減區(qū)間是

解法2：（Ⅰ）當(dāng)時(shí).令

f（′x）＞0，f（′x）＜0并結(jié)合x＞0且x≠1得（fx）的遞增區(qū)間是遞減區(qū)間是

命題反思：

第一，加強(qiáng)基本求導(dǎo)環(huán)節(jié)的訓(xùn)練，加強(qiáng)利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間、極值、最值等基本技能；

第二，一般帶有參數(shù)的問題的訓(xùn)練仍需加強(qiáng)，緊跟2019年的高考新動(dòng)向，研究導(dǎo)數(shù)等熱點(diǎn)問題；

第三，教學(xué)中注重方式方法，要選用可以一題多解、一題多思的典型問題，開拓學(xué)生的思路，切記教學(xué)在于精而不在于量.

環(huán)節(jié)六：說教學(xué)價(jià)值

問題的研究是為了獲得更好的教學(xué)價(jià)值，2018年浙江高考的導(dǎo)數(shù)壓軸題給我們的教學(xué)有哪些啟示？筆者以為有以下幾點(diǎn)：

1.重視傳統(tǒng)雙基

高考數(shù)學(xué)壓軸題以數(shù)學(xué)知識(shí)為根本，從問題入手，把握數(shù)學(xué)學(xué)科的整體意義.用統(tǒng)一的觀點(diǎn)組織材料，主要體現(xiàn)在對(duì)知識(shí)的理解和靈活應(yīng)用上，據(jù)此來考查考生把知識(shí)遷移到不同情境中的能力，進(jìn)一步考查考生理性思維的廣度和深度，以及后續(xù)的學(xué)習(xí)潛能.然而能力是建立在扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)之上的，高考說明指出，高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)包括數(shù)學(xué)概念、法則、定理、定律、公式及其隱含的數(shù)學(xué)思想方法.由此可知，只有牢固地掌握數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)，才有可能順利地解答出高考數(shù)學(xué)的壓軸題.

2.關(guān)注命題導(dǎo)向

函數(shù)導(dǎo)數(shù)問題在2015年之前常常作為壓軸題出現(xiàn)，其應(yīng)用分類討論解決問題的思路一直得以延續(xù).通過問題的解決來看，本題難度并不是太大，但是其較為前沿的方向性和指導(dǎo)性，體現(xiàn)了浙江省在函數(shù)導(dǎo)數(shù)命題上一貫的延續(xù)性、科學(xué)性，追求既簡(jiǎn)單又有效的命題，成為了一道不錯(cuò)的試題.本題所涉及的核心素養(yǎng)更多的是邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算，引導(dǎo)教學(xué)向多思維的角度轉(zhuǎn)變，能夠運(yùn)用高等數(shù)學(xué)知識(shí)往往顯得更為簡(jiǎn)潔，體現(xiàn)了用思維替代運(yùn)算的命題導(dǎo)向.

3.感受多元途徑

數(shù)學(xué)學(xué)科育人的核心價(jià)值主要體現(xiàn)在數(shù)學(xué)的理性精神，以及蘊(yùn)含于其中的數(shù)學(xué)思想方法，所以需要教師引導(dǎo)學(xué)生從“就題論題”逐漸上升為“以題論法”的境界，最終達(dá)到“以題論道”的目的.數(shù)學(xué)學(xué)科育人的過程就是在課堂上師生共同“發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題”的過程.在研究數(shù)學(xué)的過程中不斷地思考“通法”和“巧法”，逐步養(yǎng)成理性思考、嚴(yán)謹(jǐn)求證的分析問題和解決問題的能力，這不僅有助于學(xué)生形成優(yōu)化而高效的學(xué)習(xí)方法，而且有助于將現(xiàn)在的學(xué)法逐漸轉(zhuǎn)化為將來的生活態(tài)度和生活形式！本題恰是將各種知識(shí)的解決方式進(jìn)行了統(tǒng)一，有助于學(xué)生理解導(dǎo)數(shù)壓軸題的一般性解決思路.

4.形成系統(tǒng)架構(gòu)

高考數(shù)學(xué)壓軸題是高中數(shù)學(xué)知識(shí)的交匯點(diǎn)，是數(shù)學(xué)知識(shí)或分支和多種思想方法融合形成的一個(gè)有機(jī)的整體.高考數(shù)學(xué)壓軸題的解題方法比較復(fù)雜或呈交叉狀，解題途徑呈連環(huán)狀，同時(shí)，考試說明也指出要從學(xué)科的整體高度和思維價(jià)值的高度來思考問題，在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的交匯處設(shè)計(jì)試題，使對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的考查達(dá)到一定的深度，對(duì)學(xué)科的整體意義和思想價(jià)值立意也達(dá)到一定的深度.因此，解答高考數(shù)學(xué)壓軸題須具有良好的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu).