陳功貴，曹 佳，劉 耀，郭艷艷

(1.重慶郵電大學 重慶市復雜系統與仿真控制實驗室，重慶 400065；2.四川外國語大學 教育學院，重慶 400031；3.武漢鐵路職業(yè)技術學院 機械與電子學院，湖北 武漢 430205)

0 引 言

電力系統無功優(yōu)化(Optimal Reactive Power Dispatch,ORPD)是多目標，多變量，多約束的非線性規(guī)劃問題[1-4]，其中網絡損耗[5](Ploss)是無功優(yōu)化主要考慮的目標，但僅考慮單個目標并不一定能滿足實際需求，因此多目標無功優(yōu)化[6-7](Multi-Objective ORPD,MOORPD)的提出對解決實際工程問題具有重要意義。針對MOORPD問題，確立了兩個雙目標無功優(yōu)化案例：最小化網絡損耗和電壓偏移量以及最小化網絡損耗和電壓穩(wěn)定性指標。

帝國主義算法(Imperialist Competition Algorithm,ICA)是一種受帝國競爭行為啟發(fā)的智能優(yōu)化算法[8-9]，在優(yōu)化問題上具有一定優(yōu)勢。ICA在處理單目標問題時，算法中國家位置更新以及國家優(yōu)劣判斷主要依賴國家權力值(目標函數值)大小，但在多目標問題中，由于存在多個相互影響的目標函數，故無法直接通過目標函數值判斷國家權力。因此，本文結合非劣排序和擁擠距離計算提出了全序排列帝國主義算法(Total Rank Imperialist Competition Algorithm,TRICA)用于度量多目標問題中國家權力，將國家排序順序作為國家權力大小的判斷法則。

為了將該算法應用到MOORPD問題中，提出了多目標全序排列帝國主義算法(Multi-objective TRICA,MOTRICA)。在Matlab[10]基礎上，以IEEE30節(jié)點為例針對所建立的兩個雙目標無功優(yōu)化模型進行仿真實驗。通過與多目標粒子群算法(Multi-objective Particle Swarm Optimization,MOPSO)的仿真結果進行對比研究，結果表明，MOTRICA算法具有更好的實驗表現。通過對算法的改進運用可以提高學生對智能算法的理解，通過Matlab仿真圖形有利于學生分析實驗結果，加深學生對多目標問題的認識，進一步提高學生利用仿真平臺解決實際問題的能力。

1 多目標無功優(yōu)化數學模型

一般情況下，MOORPD問題中目標函數的數學模型為：

minF(x,y)

(1)

式中：F為目標函數；g和h為約束條件；x為狀態(tài)變量或非獨立變量；y為控制變量。

1.1 目標函數

(1)網絡損耗最小。網絡損耗(Ploss)是電力系統ORPD中經濟運行最常見的目標之一，其表達式為：

minf1=minPloss=

(2)

式中：f1表示第1個目標；NE為總支路數；gk(i,j)為節(jié)點i、j之間k的電導；Ui和Uj分別為節(jié)點i和j的電壓值；δij節(jié)點i、j之間的電壓相角差。

(2)電壓穩(wěn)定性指標最小。局部電壓穩(wěn)定性指標[11-12]Lj表達式如下：

(3)

系統全局的局部電壓穩(wěn)定指標為：

minf2=min(Lindex)=max{Lj},j∈NPQ

(4)

式中:f2表示第2個目標，Lindex表示電壓穩(wěn)定性指標，其中，Lindex的數值大小和電壓穩(wěn)定性關系定義為如下：

(5)

(3)電壓偏移最小。電壓偏移是衡量電能質量的指標，也是無功優(yōu)化的安全性指標，其表達式如下：

(6)

式中:f3表示第3個目標;Vd為所有PQ節(jié)點電位和理想電位的電偏移的總和;Ui為第i個PQ節(jié)點的電壓;UREF表示標幺值(per unit,p.u.)為1的理想電壓。

1.2 約束條件

等式約束:

0,i∈N

(7)

0,i∈NPQ

(8)

式中:PGi和PDi分別為PV節(jié)點i和PQ節(jié)點i的有功功率；QGi和QDi分別為PV節(jié)點i和PQ節(jié)點i的無功功率；Gij和Bij分別為節(jié)點i和j間輸電線路的電導和電納；Ni為節(jié)點i相連接的節(jié)點數；N為平衡節(jié)點外的節(jié)點總數。

不等式約束。不等式約束根據變量的類型可分為兩類：

(1)狀態(tài)變量不等式約束

PQ節(jié)點的電壓ULi

ULi,min≤ULi≤ULi,max,i∈NPQ

(9)

PV節(jié)點的無功功率QGi

QGi,min≤QGi≤QGi,max,i∈NPV

(10)

視在功率Sij

Sij≤Sij,max,i∈NE

(11)

(2)控制變量不等式約束

發(fā)電機端電壓UGi

UGi,min≤UGi≤UGi,max,i∈NPV

(12)

變壓器抽頭變比Ti

Ti,min≤Ti≤Ti,max,i∈NT

(13)

無功補償裝置約束QCi

QCi,min≤QCi≤QCi,max,i∈NC

(14)

式中：NT為變壓器臺數；NC為無功補償裝置的投切數；min和max分別為相應變量約束值的最小和最大值。

2 多目標帝國主義算法

2.1 原始帝國主義算法

ICA初始化Npop個個體被稱為國家，根據國家權力不同又將初始個體分為帝國主義國家以及殖民地兩種，其中有Nimp個較強的帝國主義國家和Ncol個較弱的殖民地國家。帝國主義國家通過占有殖民地形成帝國，隨著殖民地的革命以及帝國之間競爭和侵占，最后只剩下一個帝國主義國家，而其他國家都是其殖民地。

(1)帝國初始化。對于Nvar維控制變量的優(yōu)化問題，每個國家都可以表示為：

country=[p1,p2,p3,…,pNvar]

(15)

式中：pi為影響國家權力的社會屬性如文化、宗教、語言等；Nvar為控制變量的維度。國家的目標函數cn如下：

cn=f(country)=f(p1,p2,p3,…,pNvar)

(16)

標準化處理帝國主義國家的目標函數Cn如下：

(17)

則帝國主義國家標準化處理后的權力pn表示為：

(18)

初始化后分配給帝國主義國家的殖民地數量NCn為：

NCn=round{pnNcol}

(19)

(2)同化過程。為了更好的掌控其占有的殖民地，帝國主義國家會將本國的思維模型和文化習俗推行到殖民地國家[13]。在此期間，殖民地會受到所屬帝國主義國家的影響更新自己的位置，如圖1所示。圖中，更新距離s為：

s～R(0,β×d)

(20)

式中：R為s到β×d內均勻分布，β>1；d為兩者的直線距離。偏離角度θ定義如下：

θ～R(-γ,+γ)

(21)

式中：0<γ<π為偏移角度的變化范圍。

圖1 同化過程

(3)革命過程。殖民地除了同化過程有機會改變自己的社會屬性，ICA算法也允許殖民地通過突變來改變自己的社會屬性，這一過程稱為殖民地的革命過程。殖民地社會屬性發(fā)生改變后，如果其cn低于帝國主義國家，則互換兩者的位置。

(4)競爭過程。競爭過程用于模擬現實社會中帝國主義國家之間相互競爭以提高自己權力的過程。帝國的權力大小是衡量帝國在競爭過程中勝利或失敗的決定性因素，其總目標函數值表示如下：

TCn=Cost(imperialistn)+ζmean{Cost(colonies of empiren)}

(22)

式中,ζ是殖民地對帝國主義國家的影響因子。

根據帝國總目標函數值可以計算標準化后的目標函數：

(23)

然后由此可以計算出帝國主義國家的侵占概率：

(24)

對于Nimp個帝國，可以將侵占概率生成一個1×Nimp的矩陣P，定義為如下：

P=[pp1,pp2,pp3,…,ppNimp]

(25)

再生成一個與P同型矩陣R，定義為如下：

R=[r1,r2,r3,…,rNimp],r1,r2,r3,…,rNimp～

U(0,1)

(26)

由此可得矩陣D:

D=P-R=[D1,D2,D3,…,DNimp]=[pp1-r1,

pp2-r2,pp3-r3,…,ppNimp-rNimp]

(27)

在矩陣D中，元素最大值的索引為侵占該殖民地的帝國主義國家：

(5)帝國滅亡。隨著帝國間的競爭，權力較小的國家會被權力更大的國家所侵占。最終只剩下一個帝國主義國家，而其他的國家成為其殖民地，該帝國主義國家的位置即為算法的最優(yōu)解。

2.2 全序排列帝國主義算法

帝國主義算法的尋優(yōu)過程主要根據國家權力大小進行。在單目標問題中，國家權力大小通過目標函數值大小就可以確定，但是在多目標問題中，由于存在多個相互沖突或互相影響的目標函數[14]，因而無法直接通過目標函數值來確定國家權力的大小。針對ICA在多目標應用中存在的問題，提出了全序排列帝國主義算法優(yōu)化國家權力的度量法則，該法則首先根據約束情況對國家進行非劣排序實現層級劃分，然后對同一層級的國家根據擁擠距離計算進行排序，從而實現對所有國家的全序排列。

(1)國家權力層級劃分。首先根據約束違反情況對所有國家劃分非劣層級，其中約束違反總合計算如下：

(28)

式中：Svio為約束違反總合；M是狀態(tài)變量的不等式約束總數。

對于任意兩個國家y1和y2，其占優(yōu)情況可以由如下法則進行判斷：

若Svio(y1)

若Svio(y1)>Vio(y2)，則y2優(yōu)于y1;

若Svio(y1)= Vio(y2)

若fi(x,y1)≤fi(x,y2)?i∈{1,2,…,Npop}且fj(x,y1)

(2)國家權力全序排列。由非劣排序可以將國家進行初步的層級排序，即將所有國家劃分在了不同的權力層，對于同一層級的國家i和國家j，國家權力大小比較通過擁擠距離的大小進行判斷，若idistance大于jdistance表明在當前層級中國家i更強，則該國家在所在層級的排序更靠前，即權力更大。由此通過國家的兩個屬性：國家所在的非劣層級irank和國家的擁擠距離idistance可以確定所有國家的全序排列關系。其全序排列法則如下：

若irank

若irank=jrank且idistance>jdistance，則inj；

(3)最優(yōu)折衷解確定。改進算法應用到多目標問題中得到帕累托前沿[15]后，利用模糊群決策法[16]可以從帕累托前沿中找到最優(yōu)折衷解，第k個目標的隸屬度定義為：

(29)

(30)

式中:Nobj是目標函數個數，yfi最大的帕累托解為所求的最優(yōu)折衷解。

2.3 改進算法處理多目標無功優(yōu)化問題

全序排列思想不僅應用于國家權力大小的比較，還應用于多目標問題中外部儲存空間中個體的更新。在算法迭代過程中，通過全序排列實現對所有國家權力的度量優(yōu)化找到最優(yōu)的國家個體集。外部儲存空間則保留下每一代的優(yōu)秀個體，并且通過全序排列再次對保留的所有個體進行二次篩選，保留住最優(yōu)秀的N0個個體，維持外部儲存空間的容量不變。改進算法處理MOORPD問題的流程圖如圖2所示。

圖2 MOTICA無功優(yōu)化流程圖

3 基于Matlab的無功優(yōu)化仿真實驗

為驗證MOTRICA的有效性和性能，采用IEEE30節(jié)點測試系統為例證明MOTRICA在MOORPD問題上的有效性。3個控制變量的變化范圍分別為：發(fā)電機端電壓上、下限值為1.1p.u.和0.9p.u.;變壓器抽頭變比上、下限值為1.1和0.9;無功補償容量的上限值為0.3p.u.;其中功率的基準值等于100 MVA。將MOTRICA分別應用到案例1(最小化網絡損耗和電壓穩(wěn)定性指標)和案例2進行優(yōu)化(最小化網絡損耗和電壓偏移量)，每種算法分別運行30次，并將所得結果與MOPSO算法結果進行對比。參數設置如表1所示。

表1 算法參數設置

3.1 案例1結果分析

該案例對網絡損耗和電壓穩(wěn)定性指標進行優(yōu)化，并在IEEE30節(jié)點中進行電力系統MOORPD測試實驗。圖3為MOTRICA和MOPSO兩種算法的帕累托前沿對比圖。由圖3可見，兩種算法都能獲得帕累托前沿，但MOTRICA算法收斂效果更優(yōu)。圖4標注了MOTRICA算法求出的最小網絡損耗，最小電壓穩(wěn)定性指標以及利用模糊群決策法找到的最優(yōu)折衷解。

表2給出了MOTRICA和MOPSO算法在IEEE30節(jié)點測試系統中各目標的最小目標值以及最優(yōu)折衷解。由表2可見，采用MOTRICA算法獲得的最小Ploss，最小Lindex以及最優(yōu)折衷解都比MOPSO算法得到的結果好。在最優(yōu)折衷解中，相比于MOPSO，Ploss和Lindex分別減少約1.14×10-4p.u.和1.39×10-3。MOTRICA獲得的最小Ploss和最小Lindex比MOPSO所得結果減少約5.1×10-5p.u.和8.2×10-3。

圖3 帕累托前沿對比圖(案例1)

圖4 MOTRICA帕累托前沿(案例1)

表2 優(yōu)化結果對比(案例1)

3.2 案例2結果分析

該案例對網絡損耗和電壓偏移量兩個目標函數進行同時優(yōu)化，如圖5所示為算法所獲得的帕累托前沿對比圖?？梢钥闯霾捎肕OTRICA算法找到的最小網絡損耗和最小電壓偏移量以及最優(yōu)折衷解都比MOPSO算法所得到的結果更好，且MOTRICA能夠得到分布更加均勻的帕累托前沿。圖6標注了MOTRICA算法求出的最小網絡損耗，最小電壓偏移量和以及利用模糊群決策法找到的最優(yōu)折衷解。

圖5 帕累托前沿對比圖(案例2)

圖6 MOTRICA帕累托前沿(案例2)

采用模糊群決策方法獲得的最優(yōu)折衷解以及通過算法求得的最小Ploss和最小Vd結果對比如表3所示。從表3可以看出，采用MOTRICA所獲得最優(yōu)折衷解比MOPSO算法所獲得的最優(yōu)折衷解更優(yōu)，且最小Ploss和最小Vd數值也更小。在最優(yōu)折衷解中，相比于MOPSO，Ploss和Vd分別減少約7.3×10-5p.u.和1.711×10-2。MOTRICA獲得的最小Ploss和最小Vd比MOPSO所得結果分別減少約6.3×10-5p.u.和3.81×10-3。

表3 優(yōu)化結果比較(案例2)

4 結 語

為解決多目標無功優(yōu)化問題并將帝國主義算法應用到多目標問題中，建立了兩個雙目標無功優(yōu)化模型，引入了非劣排序和擁擠距離計算對國家進行層級排序和全序排列用于解決算法中國家權力的度量問題，基于此提出了全序排列帝國主義算法用于解決MOORPD問題。將從IEEE30節(jié)點系統得到的實驗結果與MOPSO算法進行對比研究，結果表明MOTRICA在兩個雙目標模型中能找到使系統網絡損耗更小且電能質量更高，網絡損耗更小且電壓穩(wěn)定性更好的解，由此驗證了MOTRICA的有效性和優(yōu)越性。將算法改進和仿真實驗應用到電力系統教學中，使學生能夠更形象直接的掌握算法思想，更深入的理解MOORPD問題，進一步拓展了學生的綜合實踐能力。