金夢(mèng)迪，張輝，劉基偉

(中國(guó)傳媒大學(xué) 數(shù)據(jù)科學(xué)與智能媒體學(xué)院，北京 100024)

1 引言

灰色關(guān)聯(lián)分析是灰色系統(tǒng)理論的重要內(nèi)容之一，是灰色關(guān)聯(lián)評(píng)估與決策、灰關(guān)聯(lián)控制的基礎(chǔ)，由于它對(duì)樣本量要求低、分布規(guī)律無(wú)需典型、計(jì)算量小且定量定性可以結(jié)合的特點(diǎn)，近年來(lái)在理論與應(yīng)用方面的研究得到了廣泛重視。然而，自從1982年以來(lái)灰色系統(tǒng)理論創(chuàng)立以來(lái)，關(guān)于灰色關(guān)聯(lián)度模型的研究都是以各個(gè)時(shí)刻點(diǎn)灰色關(guān)聯(lián)系數(shù)的簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù)作為灰色關(guān)聯(lián)度，這樣就會(huì)造成信息的損失和局部點(diǎn)關(guān)聯(lián)測(cè)度值控制整個(gè)灰色關(guān)聯(lián)度的傾向，針對(duì)這個(gè)問(wèn)題，為確保新信息優(yōu)先性，因此本文又提出一中基于時(shí)間加權(quán)的灰色凸關(guān)聯(lián)度。

2 灰色凸關(guān)聯(lián)度

對(duì)于定義在集合S上的函數(shù)，任意的x1，x2∈S有

則稱(chēng)函數(shù)f是集合S上的凸函數(shù)，所以對(duì)離散的點(diǎn)集，有以下的定義：

定義2對(duì)正離散系統(tǒng)行為序列稱(chēng)

為X在點(diǎn)t=k+1處的相對(duì)凸度。

顯然，當(dāng)X為正凸序列時(shí)，相對(duì)凸出為正數(shù)，數(shù)值越大，相對(duì)凸程度就越大；當(dāng)X為正凹序列式，相對(duì)凸度為負(fù)數(shù)，數(shù)值越大，相對(duì)凹的程度越小。

命題1對(duì)正離散系統(tǒng)行為序列X=(x(1)，x(2)，…，x(n))，依次作數(shù)乘變換、平移變換得：

X1=(x1(1)，x1(2)，…，x1(n))，

x1(i)=cx(i)，i=1，2，…，n，c>0，

X2=(x2(1)，x2(2)，…，x2(n))，

則對(duì)任意i∈{2，3，…，n-1}，X與X1在i處的相對(duì)凸度相同；X在X2處i的相對(duì)凸度一般不同。

定義3對(duì)正離散系統(tǒng)行為序列

X0=(x0(1)，x0(2)，…，x0(n))，X1=(x1(1)，x1(2)，…，x1(n))，…，Xm=(xm(1)，xm(2)，…，xm(n))，

稱(chēng)

為X0，X1的灰色凸關(guān)聯(lián)系數(shù)，其中di(k)是序列Xi在t=k處的相對(duì)凸度，i=0，1，2，…m，k=2，3，…n-1。稱(chēng)

為X0，Xi的灰色凸關(guān)聯(lián)度。若對(duì)相關(guān)因素行為序列Xi，Xj有γ0i>γ0j，則稱(chēng)X0，Xi的關(guān)聯(lián)優(yōu)于因素的關(guān)聯(lián)X0，Xj記為X0?Xi，稱(chēng)為?由灰色凸關(guān)聯(lián)度導(dǎo)出的灰色凸關(guān)聯(lián)序。

3 加權(quán)灰色凸關(guān)聯(lián)度

定義4對(duì)正離散系統(tǒng)行為序列

X0=(x0(1)，x0(2)，…，x0(n))，X1=(x1(1)，x1(2)，…，x1(n))，…，Xm=(xm(1)，xm(2)，…，xm(n))，

稱(chēng)

定理1灰色加權(quán)凸關(guān)聯(lián)度具有以下性質(zhì)：

(1)規(guī)范性，0<γ0i≤1；

(2)對(duì)稱(chēng)性，即γ0i=γi0；

(3)新信息優(yōu)先性

(4)接近性，即相對(duì)凹凸程度越接近，關(guān)聯(lián)度越大；

(5)可比性，唯一性；

(6)數(shù)乘變換一致性；

(7)數(shù)乘變換保序性；

(8)灰色關(guān)聯(lián)序干擾獨(dú)立性。

定理2加權(quán)灰色凸關(guān)聯(lián)度滿(mǎn)足新信息優(yōu)先性

對(duì)正離散系統(tǒng)行為序列X0=(x0(1)，x0(2)，…，x0(n))，Xi=(xi(1)，xi(2)，…，xi(n))之間的灰色凸關(guān)聯(lián)系數(shù)γ0i(k)，如果最后一個(gè)數(shù)據(jù)發(fā)生擾動(dòng)即γ0i(n)*=γ0i(n)+ε則X0，Xi的灰色關(guān)聯(lián)度

記灰色關(guān)聯(lián)度擾動(dòng)值為δγ0i則

類(lèi)似的，當(dāng)擾動(dòng)發(fā)生在其他位置時(shí)，即γ0i(k)=γ0i(k)+ε，我們可以獲得擾動(dòng)

當(dāng)n固定時(shí)，隨著k的增大，擾動(dòng)值δγ0i遞增，即越新的數(shù)據(jù)發(fā)生擾動(dòng)，灰色關(guān)聯(lián)度的擾動(dòng)范圍越大，滿(mǎn)足新信息優(yōu)先性。

算例分析

已知X0為主行為序列，X1，X2，X3為比較序列，具體數(shù)據(jù)如下

X0=(1.0，2.0，2.5，2.5，3.0，5.0，8.0)

X1=(1.0，1.8，2.3，2.4，2.8，4.8，1.2)

X2=(3.0，1.8，2.3，2.2，3.0，4.1，6.0)

X3=(2.6，2.1，2.5，2.1，3.0，4.1，5.7)

得到的灰色關(guān)聯(lián)系數(shù)如下

綜上所述，三維步態(tài)分析結(jié)合三維測(cè)力臺(tái)及無(wú)線(xiàn)表面肌電圖在評(píng)價(jià)人體步行過(guò)程中下肢關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)學(xué)、動(dòng)力學(xué)、地面反作用力，及表面肌電信號(hào)時(shí)具有良好的重復(fù)性，這將有助于對(duì)不同患者步行功能進(jìn)行精確的量化評(píng)估，也可用于檢測(cè)患者在步行過(guò)程中下肢各個(gè)關(guān)節(jié)在矢狀面、冠狀面、水平面上所承受的應(yīng)力，及相應(yīng)肌肉的收縮時(shí)序等。使用三維步態(tài)分析技術(shù)除了可用于臨床診斷外也可為療效評(píng)估以及相關(guān)治療的機(jī)理研究提供更精確可靠的數(shù)據(jù)和理論基礎(chǔ)，因此值得進(jìn)一步推廣。

γ01(k)=(0.960，0.987，0.963，0.965，0.594)

γ02(k)=(0.626，0.931，0.816，0.810，0.997)

γ03(k)=(0.746，0.943，0.826，0.821，0.962)

按原灰色凸關(guān)聯(lián)度公式計(jì)算得

γ(X0，X1)=0.894，γ(X0，X2)=0.836，γ(X0，X3)=0.860，

因此灰色關(guān)聯(lián)序?yàn)?/p>

γ(X0，X1)?γ(X0，X2)=γ(X0，X3)

然而按照灰色加權(quán)凸關(guān)聯(lián)度計(jì)算得

因此灰色關(guān)聯(lián)序?yàn)?/p>

γ(X0，X3)?γ(X0，X2)=γ(X0，X1)

由此可見(jiàn)，灰色加權(quán)凸關(guān)聯(lián)度充分體現(xiàn)新信息的作用，解決了舊信息擾動(dòng)控制整個(gè)灰色關(guān)聯(lián)序的問(wèn)題。

圖1

圖1可見(jiàn)，序列x2，x3更接近x1的發(fā)展態(tài)勢(shì)，然而按原先的灰色凸關(guān)聯(lián)模型卻得到相反的結(jié)果。

4 實(shí)例研究

研究2010-2016年中國(guó)城鎮(zhèn)居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)相關(guān)指標(biāo)的主次關(guān)系，數(shù)據(jù)來(lái)源：《中國(guó)統(tǒng)計(jì)年鑒》，數(shù)據(jù)序列為：

城鎮(zhèn)居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)X0=(676.5，662.6，652.8，639.4，623.2，606.8，576.3)

城鎮(zhèn)居民人均可支配收入X1=(33616，31195，28844，26467，24564，21809，19109)

城鎮(zhèn)居民人均消費(fèi)支出X2=(23079，21392，19968，18488，16674，15160，13471)

城鎮(zhèn)單位平均工資X3=(67569，62029，56360，51483，46769，41799，36539)

由未加權(quán)模型計(jì)算得到灰色關(guān)聯(lián)度如下

γ01=0.99102，γ02=0.99478，γ03=0.99435

因此灰色關(guān)聯(lián)序?yàn)椋?/p>

γ02?γ03?γ01

而由本文加權(quán)模型計(jì)算得到灰色關(guān)聯(lián)度如下

γ01=0.98921，γ02=0.99412，γ03=0.99431

因此灰色關(guān)聯(lián)序?yàn)椋?/p>

γ03?γ03?γ01

兩種方法都表明城鎮(zhèn)單位平均工資對(duì)城鎮(zhèn)居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)的影響要高于城鎮(zhèn)居民人均可支配收入；與未加權(quán)模型相比，近年來(lái)，城鎮(zhèn)單位平均工資對(duì)城鎮(zhèn)居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)的影響越來(lái)越大。

5 結(jié)論

本文灰色加權(quán)凸關(guān)聯(lián)度模型適用于注重時(shí)間因素的關(guān)聯(lián)分析問(wèn)題，且序列的意義、量綱不影響關(guān)聯(lián)度的大小。結(jié)果表明，該方法能夠反映不同時(shí)間點(diǎn)的重要性，優(yōu)化了新信息作用，對(duì)灰色關(guān)聯(lián)系數(shù)的波動(dòng)同時(shí)得到了有效控制，解決了舊信息擾動(dòng)控制整個(gè)灰色關(guān)聯(lián)序的問(wèn)題。