(1.廣州市海珠外國(guó)語(yǔ)實(shí)驗(yàn)中學(xué)， 廣東 廣州 510230； 2.廣州大學(xué) 計(jì)算科技研究院， 廣東 廣州 510006)

1989年文獻(xiàn)[1]中提出了教育數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)：為了數(shù)學(xué)教育的需要，對(duì)數(shù)學(xué)成果進(jìn)行再創(chuàng)造，是“教育數(shù)學(xué)”的任務(wù). 其中涉及中學(xué)課程中三角和幾何的知識(shí)結(jié)構(gòu)改革的想法[2-3]， 后來(lái)這一思想得到進(jìn)一步的豐富和發(fā)展[4-7]．

教育數(shù)學(xué)這一理論能夠均衡數(shù)學(xué)教育中“教育方面”與“數(shù)學(xué)方面”的關(guān)系[8]，是數(shù)學(xué)的三種(原始、學(xué)術(shù)、教育)形態(tài)之一[9]，它賦予了數(shù)學(xué)親近和簡(jiǎn)巧的感覺(jué)，易于被人接受，在教學(xué)實(shí)踐中小試牛刀便發(fā)揮出了威力[10]，究其緣由，發(fā)現(xiàn)其真正的旨趣所在便是改造數(shù)學(xué)使之更適宜教學(xué)和學(xué)習(xí)[11]，在規(guī)模實(shí)踐中能展現(xiàn)出數(shù)學(xué)教育改革的關(guān)鍵與核心是其在課程改革上的理論成果[12]．有些研究者嘗試構(gòu)建包含數(shù)學(xué)本質(zhì)、數(shù)學(xué)展現(xiàn)、認(rèn)知特征、課程目標(biāo)四個(gè)維度的教育數(shù)學(xué)分析框架[13]，探索教育數(shù)學(xué)成果的判別標(biāo)準(zhǔn)[14]，這些使得教育數(shù)學(xué)的理論研究也日漸羽豐翼滿．同時(shí)，這些方面相關(guān)工作和進(jìn)展開(kāi)始得到數(shù)學(xué)家的支持[15]．近期在廣州召開(kāi)的“教育數(shù)學(xué)與中小學(xué)課程專(zhuān)題研討會(huì)”上[16]，諸多數(shù)學(xué)教育界的專(zhuān)家學(xué)者對(duì)教育數(shù)學(xué)進(jìn)行剖析和把脈，為教育數(shù)學(xué)怎樣更好地促進(jìn)數(shù)學(xué)課程改革群策群力．本文也是對(duì)這次會(huì)議所形成建議的一個(gè)呼應(yīng)．

教育數(shù)學(xué)在初中階段的舞臺(tái)上，三角是其研究?jī)?nèi)容的一方面.按現(xiàn)行的義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，在九年級(jí)同時(shí)引進(jìn)4種三角比，而正弦就是其一．教材中把“直角三角形中銳角的對(duì)邊與斜邊的比值，叫做這個(gè)銳角的正弦”，此定義形成于16世紀(jì)．到高中階段，再引進(jìn)18世紀(jì)數(shù)學(xué)家歐拉所建立的三角函數(shù)定義系統(tǒng)．

按照這樣的數(shù)學(xué)定義體系，正弦是較為深層的概念．即便僅僅講銳角的正弦，須先有相似形知識(shí)，故只能到九年級(jí)才能教．然而對(duì)于七八年級(jí)學(xué)生來(lái)說(shuō)，正是邏輯思維形成的關(guān)鍵階段，這個(gè)階段讓他們體會(huì)不同種類(lèi)知識(shí)之間的聯(lián)系，對(duì)激發(fā)其思維能力非常重要．三角中正弦概念，是數(shù)形結(jié)合的紐帶，是代數(shù)與幾何間的橋梁．

能否設(shè)想在七年級(jí)就引入正弦，使學(xué)生早些把代數(shù)、幾何和三角方面的知識(shí)串通起來(lái)，并使他們體會(huì)先進(jìn)的函數(shù)思想呢？這一想法并非獨(dú)創(chuàng)，著名的數(shù)學(xué)教育家和數(shù)學(xué)家弗賴登塔爾早就提出讓中學(xué)生提前兩年學(xué)習(xí)三角的想法[17]，而且主張一開(kāi)始只學(xué)正弦，并把正弦作為最早介紹給學(xué)生的函數(shù)例子之一．由于未能發(fā)現(xiàn)三角知識(shí)是如何在小學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上產(chǎn)生的，他的設(shè)想未能進(jìn)入教學(xué)設(shè)計(jì)層面.作者為實(shí)現(xiàn)這一設(shè)想，考慮圖1所示幾何模型：在任意△ABC的兩邊AB和AC上分別取點(diǎn)P和Q，使AP=AQ=1，分別以S△ABC和SAPQ記△ABC和△APQ的面積．則由小學(xué)知識(shí)便得：

圖1 幾何模型Fig.1 Geometry model

可見(jiàn)，任意△ABC的面積與其兩邊AB、AC的乘積之比，是一個(gè)僅僅與這兩邊夾角A大小有關(guān)的數(shù)值，即頂角為A兩腰為1的等腰三角形的面積S△APQ．

一個(gè)重要的特例，是∠ACB為直角的情形，如圖2．這時(shí)有

圖2 直角三角形模型Fig.2 Right-angled triangle model

也就是說(shuō)，在直角三角形中，銳角A的對(duì)邊與斜邊之比，僅僅與角A大小有關(guān)，其數(shù)值等于頂角為A兩腰為1的等腰三角形面積的2倍，即2S△APQ；直觀地說(shuō)，就是邊長(zhǎng)為1且有一個(gè)角為A的菱形面積，即有一個(gè)角為A的單位菱形面積．

這樣引入正弦，就不依賴相似三角形的知識(shí)．

作為過(guò)渡性教學(xué)設(shè)計(jì)，直接把“有一個(gè)角為α的邊長(zhǎng)為1的菱形的面積”定義為sinα[2-4,6-7]. 其出發(fā)點(diǎn)是小學(xué)生都熟悉的矩形面積等于長(zhǎng)乘寬(圖3)：

圖3 矩形面積Fig.3 Rectangle area

如果把此矩形變斜，變成平行四邊形，單位正方形相應(yīng)地就成了邊長(zhǎng)為1的菱形，其面積公式見(jiàn)圖4.

圖4 平行四邊形面積Fig.4 Parallelogram area

圖4的等式右端最后一個(gè)圖形指“有一個(gè)角為α的邊長(zhǎng)為1的菱形面積”，給它命名“角α的正弦”，用符號(hào)sinα表示，可得到一個(gè)平行四邊形的面積公式．再取其一半，則是已知兩邊一夾角的三角形面積公式：

把這個(gè)式子同時(shí)乘以2，再同時(shí)除以abc，即可推出正弦定理．當(dāng)∠ACB為直角時(shí)，又可推出“直角三角形中，銳角的正弦為對(duì)邊與斜邊之比”．

按照上述方式得到的正弦定義有著更簡(jiǎn)單、更直觀、更嚴(yán)謹(jǐn)(直角的正弦值為1，本定義的解釋為它是單位正方形的面積，而課本上則要用極限來(lái)解釋)、更一般(本定義覆蓋了銳角、鈍角、直角和平角的情形，而課本上只指銳角)的優(yōu)勢(shì)．

在文獻(xiàn)[18]和[19]中，建議使用單位菱形面積來(lái)引入正弦，并在七年級(jí)就開(kāi)始學(xué)習(xí)三角．國(guó)內(nèi)數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域?qū)＜覐埖熘鎇20]當(dāng)即發(fā)文回應(yīng)，并提出寶貴建議．他在2009年出版的《我親歷的數(shù)學(xué)教育》中回顧此事時(shí)還寫(xiě)道：“如果三角學(xué)真的有一天會(huì)下放到小學(xué)的話，這大約是一個(gè)歷史起點(diǎn)”[21]．

在《一線串通的初等數(shù)學(xué)》(下簡(jiǎn)稱(chēng)《一線串》)中[22]，為“重構(gòu)三角”課程改革提供了系統(tǒng)性可操作方案．同時(shí)，也有著作探討了相應(yīng)的幾何解題方法與公理體系[23]．

此方案在理論上是誘人的，但在教學(xué)實(shí)踐層面上，從傳統(tǒng)視角看似不妥，在應(yīng)試教育的大環(huán)境中更被認(rèn)為有風(fēng)險(xiǎn)，因而在文獻(xiàn)[2]中提出的用單位菱形面積定義正弦，近30年后才有相關(guān)教學(xué)嘗試的報(bào)導(dǎo). 且在32年后才出現(xiàn)首次初中全程教學(xué)實(shí)驗(yàn)，即2012年開(kāi)始的廣州市海珠外國(guó)語(yǔ)實(shí)驗(yàn)中學(xué)的重構(gòu)三角教學(xué)實(shí)驗(yàn)(下簡(jiǎn)稱(chēng)海珠實(shí)驗(yàn)).本文主要報(bào)道該實(shí)驗(yàn)的設(shè)計(jì)和實(shí)施情況．

1 初步教學(xué)實(shí)驗(yàn)案例回顧

用單位菱形面積定義正弦在教學(xué)中實(shí)施的最早文獻(xiàn)，均見(jiàn)于2008年.其中既有高中的輔助教學(xué)，也有初中的主課教學(xué).

1.1 王文俊在高中的實(shí)驗(yàn)

華東師范大學(xué)王文俊[24]認(rèn)為：“大部分老師和學(xué)生比較欣賞并認(rèn)可三角函數(shù)新定義體系.在教學(xué)實(shí)踐后，高一新生能很快記住新定義，合理地應(yīng)用新定義解釋相關(guān)性質(zhì)和公式，并運(yùn)用三角公式來(lái)解題.高二學(xué)生通過(guò)新定義初步學(xué)習(xí)，感受到了用面積定義正弦的新穎性，較客觀地認(rèn)識(shí)新定義與初、高中三角函數(shù)定義各自優(yōu)勢(shì).特別是,與高二學(xué)生相比，未學(xué)過(guò)高中三角函數(shù)定義的高一學(xué)生對(duì)用面積定義正弦表現(xiàn)出更大的興趣，新定義體系能讓學(xué)生更容易地掌握三角部分內(nèi)容．

1.2 王雅瓊在高中的實(shí)驗(yàn)

青海民族學(xué)院數(shù)學(xué)系王雅瓊[25]總結(jié)了利用菱形的面積定義正弦的好處：“賦予角的正弦新的幾何意義，具有較強(qiáng)的直觀性，學(xué)生易于接受，特別讓剛學(xué)習(xí)三角函數(shù)的學(xué)生較快地建立直觀理解.”，這種方式，讓學(xué)生深感巧妙、激發(fā)興趣，開(kāi)拓了學(xué)生思維．

1.3 崔雪芳在初中的實(shí)驗(yàn)

寧波教育學(xué)院崔雪芳在初一普通班上了一堂“角的正弦”的實(shí)驗(yàn)課.實(shí)驗(yàn)過(guò)程顯示[26]：三角和面積相聯(lián)系，比起直角三角形的‘對(duì)邊比斜邊’定義更為直觀，更易掌握，降低了教學(xué)臺(tái)階；教學(xué)引申更加順利，學(xué)生能夠保持濃厚的興趣，對(duì)后續(xù)的學(xué)習(xí)也產(chǎn)生了期待；全新的課程體系有利于學(xué)生‘?dāng)?shù)形’融合，讓后續(xù)學(xué)習(xí)的思維空間得到拓展；在三角、幾何、代數(shù)這三者間搭建起相互聯(lián)系的思維通路”．

崔雪芳還組織過(guò)另外七個(gè)班進(jìn)行實(shí)驗(yàn)[27]，同樣得出在初一“以‘單位菱形面積’定義正弦引進(jìn)三角函數(shù)的可行性；并且此種方式有利于學(xué)生自主構(gòu)建直觀的數(shù)學(xué)模型，能夠總結(jié)出多種數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法，有利于把握其‘?dāng)?shù)學(xué)本質(zhì)’.

上述幾位老師的教學(xué)實(shí)驗(yàn)，初步驗(yàn)證了文獻(xiàn)[18]、[19]中重建三角設(shè)想的可行性，為初中的全程實(shí)驗(yàn)提供了經(jīng)驗(yàn)和信心．

2 海珠實(shí)驗(yàn)的背景和教學(xué)框架設(shè)計(jì)與課時(shí)安排

教學(xué)改革中全過(guò)程的實(shí)驗(yàn)，無(wú)疑是非常重要的．廣州市科協(xié)在2012年啟動(dòng)千師萬(wàn)苗工程項(xiàng)目，海珠實(shí)驗(yàn)進(jìn)行了貫穿初中三年全程的“重構(gòu)三角”教學(xué)實(shí)驗(yàn)．

海珠實(shí)驗(yàn)在2012年6月專(zhuān)門(mén)設(shè)立了兩個(gè)“數(shù)學(xué)教育創(chuàng)新實(shí)驗(yàn)班”，生源主要是七年級(jí)新生中數(shù)學(xué)相對(duì)薄弱的學(xué)生．在分班測(cè)驗(yàn)中實(shí)驗(yàn)一班數(shù)學(xué)平均分為62.5分、實(shí)驗(yàn)二班為64分．兩個(gè)實(shí)驗(yàn)班共有105名學(xué)生，數(shù)學(xué)課由青年教師張東方教授．由于實(shí)驗(yàn)可能導(dǎo)致學(xué)生成績(jī)不穩(wěn)定，學(xué)校承諾無(wú)論中考成績(jī)?nèi)绾?，均接受兩個(gè)班的學(xué)生入讀本校高中．

實(shí)驗(yàn)班數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容將《一線串》的主要內(nèi)容與人教版數(shù)學(xué)教材(國(guó)家課程標(biāo)準(zhǔn)配套)的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行整合[22]，組合成一種新的體系結(jié)構(gòu).初中三年中共有358節(jié)數(shù)學(xué)課(九年級(jí)下學(xué)期48節(jié)，其余5個(gè)學(xué)期都是62節(jié)，每節(jié)40 min)，筆者根據(jù)《一線串》的內(nèi)容設(shè)計(jì)了93節(jié)課，其余265節(jié)課基本上按國(guó)家課程標(biāo)準(zhǔn)教材來(lái)講．

此外筆者還設(shè)計(jì)了3節(jié)“熱身課”，作為課外活動(dòng)放在七年級(jí)上學(xué)期(下文簡(jiǎn)稱(chēng)“七上”等)，引導(dǎo)學(xué)生討論一些有趣的問(wèn)題，培養(yǎng)他們思考探究的興趣. 具體見(jiàn)表1.

表1 七年級(jí)上學(xué)期課時(shí)安排表

七下將23節(jié)課用于介紹書(shū)中第一站的內(nèi)容，包括引入正弦、推出正弦定理以及介紹正弦在實(shí)際測(cè)量和探究三角形性質(zhì)時(shí)的應(yīng)用．課時(shí)具體安排見(jiàn)表2和圖5.

表2 七年級(jí)下學(xué)期課時(shí)安排表

圖5 七年級(jí)下學(xué)期正弦和正弦定理的課時(shí)安排表Fig.5 Syllabus on sine and sine theorem for 2nd semester, grade seven

圖5中“補(bǔ)充”部分指在第1章中沒(méi)有提到的內(nèi)容．

八上用24節(jié)課介紹第2章的內(nèi)容．推出了正弦和角公式，作為推論得到一些特殊角的正弦值．在學(xué)習(xí)正弦和角公式的過(guò)程中，串通起來(lái)學(xué)習(xí)八下的第十七章勾股定理和九上的第二十一章一元二次方程．課時(shí)具體安排見(jiàn)表3和圖6.

圖6中“補(bǔ)充”部分指在第2章中沒(méi)有提到的內(nèi)容， “未講”部分指第2章中包含但教學(xué)中略去的內(nèi)容．

表3 八年級(jí)上學(xué)期課時(shí)安排表

圖6 八年級(jí)上學(xué)期正弦和角公式的課時(shí)安排表Fig.6 Curriculum scheme of 1st semester of grade eight in Angle sum and difference indentities

授課教師考慮到其中第3章的分量較重，需暫時(shí)緩一下；八下用15節(jié)課講第4章的內(nèi)容，復(fù)習(xí)鞏固前面獲得的知識(shí)，并探究四邊形的性質(zhì). 課時(shí)具體安排見(jiàn)表4和圖7.

表4 八年級(jí)下學(xué)期課時(shí)安排表

圖7中“補(bǔ)充”部分指在第4章中沒(méi)有提到的內(nèi)容，“未學(xué)”部分指第4章中包含但教學(xué)中略去的內(nèi)容．

圖7 八年級(jí)下學(xué)期四邊形的課時(shí)安排表Fig.7 Syllabus on quadrilateral for semester 1, grade eight

九上用14節(jié)課來(lái)引入余弦和余弦定理，介紹其應(yīng)用，這是第3章的內(nèi)容；用16節(jié)課講述第5章的內(nèi)容，含圓和正多邊形的性質(zhì)，并引入正切和余切，探究四種三角函數(shù)的關(guān)系及其應(yīng)用．課時(shí)具體安排見(jiàn)表5、圖8和圖9.

表5 九年級(jí)上學(xué)期課時(shí)安排表

圖8 九年級(jí)上學(xué)期余弦和余弦定理的課時(shí)安排表Fig.8 Syllabus on cosine and cosine theorem for grade nine

圖9 九年級(jí)上學(xué)期圓和正多邊形的課時(shí)安排表Fig.9 Syllabus of circle and regular polygon for semester 1, grade nine

圖9中“補(bǔ)充”部分指在第5章中沒(méi)有提到的內(nèi)容，“未講”部分指第5章中包含但教學(xué)中略去的內(nèi)容．

在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，教學(xué)使用了動(dòng)態(tài)幾何軟件《超級(jí)畫(huà)板》等技術(shù)支持，組織多種課外活動(dòng)，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，減輕教師的教學(xué)負(fù)擔(dān)．

3 實(shí)驗(yàn)過(guò)程中若干課例和效果顯現(xiàn)

下面例子來(lái)自實(shí)驗(yàn)過(guò)程中各學(xué)期一些關(guān)鍵課內(nèi)容，有關(guān)插圖取自相應(yīng)課件.

課例1、七下：引入正弦和三角形面積新公式．

類(lèi)比矩形面積的計(jì)算，探究如何由兩邊及其夾角的數(shù)據(jù)出發(fā)計(jì)算平行四邊形面積，從而引進(jìn)正弦的另一種定義方法，并導(dǎo)出已知兩邊及其夾角計(jì)算三角形面積的新公式，見(jiàn)圖10～圖12．

圖10 啟示Fig.10 Enlightenment

圖11 引入正弦Fig.11 Import sine

圖12 面積公式Fig.12 Area formula

課例2、七下:引入正弦定理．

有了三角形面積的新公式

將上式乘以2再除以abc， 便得到正弦定理

當(dāng)∠C為直角時(shí)，推出與傳統(tǒng)定義一致的等式

進(jìn)而介紹一些應(yīng)用和很有用的推論，見(jiàn)圖13～圖16．

圖13 正弦定理Fig.13 Sine theorem

圖14 直角三角形中銳角正弦Fig.14 Acute sine in Right-angled triangle

圖15 例題Fig.15 Example

圖16 相似三角形角角判定法Fig.16 Angle-Angle decision method of similar Triangle

課例3、七下：正弦的增減性．

利用面積公式，可以探究正弦的增減性，如圖17，結(jié)合正弦定理，便可得到“三角形中大角對(duì)大邊，大邊對(duì)大角”等有用的性質(zhì)．

圖17 正弦增減性質(zhì)定理Fig.17 Sine increase and decrease theorem

課例4、八上：正弦和角公式．

用三角形的高把它分成兩個(gè)部分，分別計(jì)算整個(gè)三角形的面積和兩部分的面積列出等式，整理得正弦加法定理：

sin(α+β)=sinα·sin(90°-β)+

sinβ·sin(90°-α).

取其特例可得一些特殊角的正弦值以及勾股定理，順便引出二次根式以及二次方程等內(nèi)容,見(jiàn)18～圖22．

圖18 推導(dǎo)Fig.18 Derivation

圖19 求30°角正弦值Fig.19 Find sine value of 30 degress

圖20 求45°角正弦值Fig.20 Find sine value of 45 degrees

圖21 求60°角正弦值Fig.21 Find sine value of 60 degrees

圖22 推導(dǎo)出勾股定理Fig.22 Derived the Pythagorean theorem

正弦的提前引入改變了整個(gè)初中幾何教學(xué)的格局，許多幾何知識(shí)和代數(shù)工具，被“正弦”巧妙地串聯(lián)起來(lái)了．例如,正弦定理的引入為解任意三角形提供了便利的工具，推出了相似三角形的主要判定定理，正弦的增減性質(zhì)導(dǎo)出了“三角形中大角對(duì)大邊，大邊對(duì)大角”和“三角形兩邊之和大于第三邊”等三角形重要性質(zhì)．而正弦和角公式把幾個(gè)特殊角的正弦值、勾股定理、一次和二次方程以及根式都連在一起了，知識(shí)相互聯(lián)系更加緊密，學(xué)生學(xué)得進(jìn)、記得住、用得活，又一次驗(yàn)證了文獻(xiàn)[24-27]中所述的教學(xué)效果．

關(guān)于勾股定理，并不是簡(jiǎn)單地推出了事．教師首先根據(jù)教材的內(nèi)容講畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)勾股定理的過(guò)程，再和學(xué)生一起推導(dǎo)“弦圖證明勾股定理”的方法，其次再介紹總統(tǒng)證法，最后引導(dǎo)學(xué)生用已學(xué)的正弦和角公式推出勾股定理．在學(xué)習(xí)和推導(dǎo)過(guò)程中，學(xué)生們掌握了不同的推導(dǎo)方法，親身感受了一題多解的魅力，在實(shí)現(xiàn)拓展新知識(shí)的同時(shí)體會(huì)推陳出新的轉(zhuǎn)化，極大提升了自信．

課例5、九上：余弦和余弦定理．

把余角的正弦稱(chēng)為余弦，即引入定義

然后作為三元一次方程應(yīng)用例子引入余弦定理,見(jiàn)圖23～圖25．其中圖24(負(fù)角的正弦)出自王鵬遠(yuǎn)設(shè)計(jì)的課件，但在海珠實(shí)驗(yàn)中這部分被略去．

圖23 余弦Fig.23 Cosine

圖24 負(fù)角及其正弦的幾何意義Fig.24 Geometric meaning of Negative angle and its sine

圖25 推導(dǎo)出余弦定理

課例6、九上：余弦定理的應(yīng)用和推論．

正弦定理解決了“角角邊”情形下的相似、全等的判定和解任意三角形的問(wèn)題．有了余弦定理，“邊邊邊”和“邊角邊”的相應(yīng)問(wèn)題迎刃而解，對(duì)三角形的認(rèn)識(shí)基本完成．還得到勾股定理的逆定理，以及三斜求積公式，見(jiàn)圖26．

圖26 三斜求積公式Fig.26 Tri-oblique quadrature formula

除上述涉及三角的課例之外，在其他某些部分也參照《一線串》做了有益嘗試．如在證明平行四邊形對(duì)邊相等時(shí)，給出了五種判定方法，其中運(yùn)用平行線面積性質(zhì)的方法，所需要的預(yù)備知識(shí)較少，推導(dǎo)簡(jiǎn)潔明了．學(xué)生在探索中體會(huì)不同方法的優(yōu)勢(shì)，對(duì)于知識(shí)的積累與延伸以及解題思維的培養(yǎng)有很好的促進(jìn)作用．有關(guān)“圓”的內(nèi)容，也參照講了弦心距公式、弦切角定理、公切線長(zhǎng)度公式、公切線的性質(zhì)．根據(jù)這些知識(shí)，學(xué)生們可以更為輕松地推出正多邊形的邊長(zhǎng)公式、周長(zhǎng)公式、邊心距公式和面積公式；引入用平角度量角的大小，不僅簡(jiǎn)化了教科書(shū)中的弧長(zhǎng)公式和扇形面積公式，更為高中的弧度制學(xué)習(xí)打下了基礎(chǔ)．學(xué)生掌握更多工具，拓寬推導(dǎo)探索的思路，從而分析和解決問(wèn)題的能力也得以提升．

4 相關(guān)實(shí)驗(yàn)顯示出的效果

用面積方法引入正弦的教學(xué)實(shí)驗(yàn)效果在前面結(jié)論中已經(jīng)顯示，在本次全程性的教學(xué)試驗(yàn)中，效果更加明顯．

從成績(jī)上也可直接體現(xiàn)．一學(xué)年后，實(shí)驗(yàn)一班和二班在區(qū)的統(tǒng)一測(cè)試中，分別以平均分140分和138分領(lǐng)先于區(qū)平均91分的成績(jī)(滿分150分)，在全區(qū)80個(gè)班中為第一名和第八名．一個(gè)半學(xué)年后，以平均分136分和133分(區(qū)平均87.76分)，排在第一和第五.兩個(gè)學(xué)年后，兩班分別以145分和141分(區(qū)平均96.83分)，分列第一和第三.兩個(gè)半學(xué)年后，兩班以137.5分和129.75分(區(qū)平均93分)，分別是第一和第五名．

在中考考試中，兩個(gè)實(shí)驗(yàn)班的數(shù)學(xué)成績(jī)平均分分別為131.47分和131.11分，數(shù)學(xué)單科優(yōu)秀率百分百，分別位列區(qū)第一和第二(該校的中考數(shù)學(xué)成績(jī)單科優(yōu)秀率66.91%)．同時(shí)也發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高對(duì)其他各科成績(jī)都有正面影響，這兩個(gè)班中考總成績(jī)平均分分別為733.96分和730.25分，顯著地超過(guò)了其他4個(gè)對(duì)照班664的平均分，更是超過(guò)廣州市中考總平均532.50分．

實(shí)驗(yàn)中，教材結(jié)構(gòu)經(jīng)過(guò)重構(gòu)三角方案的調(diào)整后，學(xué)生易于掌握，并且也可以看出學(xué)生在探索和解題的能力方面明顯提升，表現(xiàn)在解決綜合題的能力大大增強(qiáng)，例如在某次期末考試中，全區(qū)共有15名同學(xué)成功解答壓軸綜合題，其中有12名就來(lái)自于這兩個(gè)實(shí)驗(yàn)班．

5 初步體會(huì)和進(jìn)一步的工作設(shè)想

海珠實(shí)驗(yàn)的效果給人以深刻的印象，能夠獲得這樣效果的原因，的確值得深入分析．通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容和知識(shí)點(diǎn)結(jié)構(gòu)進(jìn)行改革,能夠使得知識(shí)點(diǎn)間聯(lián)系更加緊密,由原來(lái)的“拼盤(pán)”式課程變成本文中的“色拉”式課程，這正是新時(shí)代課程改革的一個(gè)方向——打造綜合課程．綜合課程能夠加強(qiáng)不同科目之間的聯(lián)系和滲透，互相連接，互為補(bǔ)充，共同促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展．

同時(shí)，把數(shù)學(xué)知識(shí)組織成有機(jī)的整體呈現(xiàn)給學(xué)生，能夠有效地激發(fā)他們的思考．在組織設(shè)計(jì)教學(xué)內(nèi)容及其呈現(xiàn)方式時(shí)，想的是如何把小學(xué)、初中、高中的知識(shí)串通起來(lái)，把計(jì)算、推理、圖形的方法串通起來(lái)，把幾何、三角、代數(shù)的體系串通起來(lái)，把情景、技巧、通法的思維串通起來(lái)．在這個(gè)認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，還有大量有意義的事情要做．

(1)更細(xì)致具體地探索學(xué)生取得好成績(jī)的主要原因，進(jìn)一步了解學(xué)生的感受，分析其學(xué)習(xí)過(guò)程中的數(shù)據(jù)，總結(jié)出更深層次的數(shù)學(xué)教育的規(guī)律性．

(2)在更多學(xué)校和班級(jí)做類(lèi)似的實(shí)驗(yàn)，以檢驗(yàn)其效果的可重復(fù)性，并獲得更多基本數(shù)據(jù)．目前，除海珠實(shí)驗(yàn)外，廣州市還有15所中學(xué)開(kāi)始進(jìn)行類(lèi)似實(shí)驗(yàn)，其他城市也有若干學(xué)校加入實(shí)驗(yàn)行列．

(3)跟蹤實(shí)驗(yàn)班學(xué)生在后續(xù)階段學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和其他科目的表現(xiàn)，并和未參與實(shí)驗(yàn)的同學(xué)比照，觀察是否有相應(yīng)的差異．

(4)基于此來(lái)創(chuàng)新出更多相關(guān)的課程設(shè)計(jì)并且編寫(xiě)新的教科書(shū)，為更大規(guī)模的教學(xué)實(shí)驗(yàn)做好準(zhǔn)備．

(5)進(jìn)一步總結(jié)教育數(shù)學(xué)的實(shí)踐成果，凝練教育數(shù)學(xué)的思想，探索其在其它學(xué)段的教學(xué)方案[28]，并延拓至其它課程中.

上述實(shí)驗(yàn)使教育數(shù)學(xué)的研究和實(shí)踐進(jìn)入了一個(gè)新的階段，為數(shù)學(xué)教學(xué)的改革提供了一個(gè)全新的可供選擇的操作方案．相信它對(duì)數(shù)學(xué)教育改革的研究思路和方法將會(huì)產(chǎn)生較大的影響．