包應(yīng)龍

(甘肅省蘭州市第九中學(xué) 730050)

一道好的模考試題總會(huì)留下很大的拓展空間，讓人產(chǎn)生無盡的遐想，細(xì)細(xì)品來，令人回味無窮.2015屆百所示范性中學(xué)高三年級(jí)第一次大聯(lián)考文科數(shù)學(xué)第23題就是這樣的好題：

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若動(dòng)直線l:y=kx+m與橢圓C有且只有一個(gè)交點(diǎn)P，且與直線x=4交于點(diǎn)Q，問：是否存在一個(gè)定點(diǎn)M(t,0),使得以PQ為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)M?若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

所以a2=b2+c2=4.

得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0，

Δ=64k2m2-4(3+4k2)(4m2-12)=0,

即m2=3+4k2，

又因?yàn)镸(t,0)，Q(4,4k+m)，

若存在點(diǎn)M,則

Δ=(2kma2)2-4(b2+a2k2)a2(m2-b2)=0,即

m2=b2+a2k2.

所以點(diǎn)F2(c,0)在以PQ為直徑的圓上.

圓錐曲線都有類似的性質(zhì)，筆者通過類比和聯(lián)想，探究出雙曲線中的類似結(jié)論如下：

所以Δ=(-2kma2)2+4a2(m2+b2)(b2-a2k2)=0，

整理得m2=a2k2-b2.

所以，以PQ為直徑的圓經(jīng)過右焦點(diǎn)F2(c,0).

羅增儒說：“一旦獲解，就立即產(chǎn)生感情上的滿足，從而導(dǎo)致心理封閉，恰好錯(cuò)過了提高的機(jī)會(huì)，無異于入寶山而空返.”以上高三?？荚囶}凝結(jié)了命題者的心血和智慧，具有很好的研究價(jià)值.本例解題沒有停留在題目的解出上，而是從這道題目出發(fā)，運(yùn)用推理證明，通過推廣探究，得出了圓錐曲線中的兩個(gè)結(jié)論，這個(gè)過程就是探究題根的過程.在平時(shí)的教學(xué)中，我們要善于引導(dǎo)學(xué)生對(duì)一些具有生長性的好題進(jìn)行題根探究，因?yàn)橐粋€(gè)題根可以繁衍出很多題目，并且一些問題的巧妙解法和通法都是在題根的導(dǎo)向下獲得的.例如前文的模考試題第(2)問的解答過程和結(jié)論1和結(jié)論2的證明過程都體現(xiàn)了破解圓錐曲線定值問題的基本思路:定點(diǎn)問題必然是在變化中所表現(xiàn)出來的不變的量，那么就可以用變化的量表示問題中的直線方程、數(shù)量積等，其不受變換的量所影響的一個(gè)值即為定點(diǎn)，化解這類問題的關(guān)鍵是引進(jìn)參數(shù)表示直線方程、數(shù)量積等，根據(jù)等式的恒成立、數(shù)式變換等尋找不受參數(shù)影響的量.通過題根探究，以期達(dá)到解一題、通一類、會(huì)一片的教學(xué)效果，達(dá)到提升學(xué)生核心素養(yǎng)的效果.