暢博彥 李曉寧 金國光 張 轉(zhuǎn) 楊 帥

(1.天津工業(yè)大學機械工程學院， 天津 300387； 2.天津市現(xiàn)代機電裝備技術(shù)重點實驗室， 天津 300387)

0 引言

3T1R型并聯(lián)機器人在高速抓放、產(chǎn)品分揀、零件裝配等工藝過程中，尤其在需要調(diào)整工件姿態(tài)的場合下，具有廣泛的應(yīng)用前景。最初的3T1R并聯(lián)機構(gòu)是以Delta機器人為基礎(chǔ)，通過在其動平臺上添加一個獨立的轉(zhuǎn)動副而得到。隨著數(shù)學工具的發(fā)展，相繼提出了H4、I4、Par4、Heli4等類型的3T1R并聯(lián)機構(gòu)[1-6]。趙鐵石等[7]提出了4-TRT型3T1R并聯(lián)機構(gòu)；黃田等[8]提出了Cross-IV型四自由度3T1R并聯(lián)機構(gòu)；劉辛軍等[9]提出了X4型四自由度3T1R并聯(lián)機構(gòu)；沈惠平等[10-16]對國內(nèi)外現(xiàn)有的2～6自由度并聯(lián)機構(gòu)進行拓撲結(jié)構(gòu)和運動解耦性分析，提出了并聯(lián)機構(gòu)的4個運動解耦規(guī)律、4個運動解耦設(shè)計原理及其方法和2個降耦原理及其3種降耦方法，結(jié)合并聯(lián)機構(gòu)拓撲結(jié)構(gòu)設(shè)計理論，提出了多種3T1R并聯(lián)機構(gòu)，并對其拓撲結(jié)構(gòu)特征和運動特性進行了分析；楊廷力等[17-18]基于方位特征方程，詳述了3T1R并聯(lián)機構(gòu)拓撲結(jié)構(gòu)綜合的完整過程，并得到多種新型3T1R并聯(lián)機構(gòu)；朱小蓉等[19-20]提出了一種無過約束并聯(lián)機構(gòu)設(shè)計方法，并基于降耦原理設(shè)計了一種低耦合度的3T1R運動解耦并聯(lián)機構(gòu)。但是，由于受到支鏈間的相互約束作用，大多數(shù)的3T1R并聯(lián)機構(gòu)的轉(zhuǎn)動能力較小(小于90°)，不足以滿足實際工況的使用要求[21]。

實現(xiàn)3T1R并聯(lián)機構(gòu)整周回轉(zhuǎn)運動的方法主要包括[21]：① 在動平臺上直接增加一個獨立的轉(zhuǎn)動副，這種方法增加了機構(gòu)末端的轉(zhuǎn)動慣量和制造成本。② 利用齒輪放大機構(gòu)動平臺的旋轉(zhuǎn)角，該方法使并聯(lián)機構(gòu)的結(jié)構(gòu)更加復(fù)雜，對可靠性有一定影響。③ 采用兩個軸線相同、但旋向相反的螺旋副，使動平臺具有整周回轉(zhuǎn)能力，該方法簡單有效，但需要保證制造、裝配和控制精度，以避免鎖死。

本文將平行四邊形機構(gòu)與平行四邊形剪叉機構(gòu)相結(jié)合，提出一種平面二維移動放縮單元，經(jīng)模塊化組合和擴展后，構(gòu)造一種新型平面二維移動放縮機構(gòu)，并將該放縮機構(gòu)作為支鏈應(yīng)用于3T1R并聯(lián)機構(gòu)的設(shè)計，對所得并聯(lián)機構(gòu)的拓撲結(jié)構(gòu)進行分析和降耦設(shè)計，得到耦合度為1的降耦機構(gòu)。以降耦機構(gòu)為研究對象，基于序單開鏈法建立機構(gòu)的位置正反解方程，用于對機構(gòu)的工作空間和轉(zhuǎn)動能力進行分析，以確定機構(gòu)可實現(xiàn)整周回轉(zhuǎn)運動的工作空間范圍。

1 平面二維移動放縮支鏈

1.1 支鏈的組成原理

圖1所示的平面二維移動放縮支鏈由3種模塊，即底部模塊、中部模塊和頂部模塊，經(jīng)轉(zhuǎn)動副順序連接而成，3種模塊均由二維移動放縮單元演變而來，演變過程如圖2所示。二維移動放縮單元以平行四邊形機構(gòu)和平行四邊形剪叉機構(gòu)為基礎(chǔ)構(gòu)造而成，構(gòu)造過程如圖3所示。由圖1可以看出，對于由n個模塊(n≥2)組成的二維移動放縮支鏈，其包括1個底部模塊、n-2個中部模塊和1個頂部模塊。

圖1 n層平面二維移動放縮支鏈簡圖Fig.1 Two-dimensional pantograph mechanism consisted of n-layer modules

圖2 3種模塊構(gòu)造簡圖Fig.2 Construction diagrams of three kinds of module

1.2 支鏈的運動學分析

圖3 二維移動放縮單元Fig.3 Two-dimensional pantograph unit

以二維移動放縮單元為研究對象，以E0為原點，桿IB為x軸，建立固定坐標系Oxy如圖4所示，桿BC、IJ、FE1、CK′與x軸正向的夾角分別為θ11、θ12、θ13、θ14；桿E0G、IJ、E0H、BC的長度為l1，桿E0I、E0B的長度為l2，桿FG、FJ、DH、DC的長度為0.5l2，桿JK、FE1、CK′、DE1的長度為l3。

采用矢量代數(shù)法可建立機構(gòu)的閉環(huán)矢量方程，針對閉環(huán)運動鏈E0GFE1E0，列寫閉環(huán)矢量方程

E0G+GF+FE1=E0E1

即

(1)

圖4 二維移動放縮單元運動建模Fig.4 Kinematic modeling of two-dimensional pantograph unit

針對閉環(huán)運動鏈E0HDE1E0，列寫閉環(huán)矢量方程

E0H+HD+DE1=E0E1

即

(2)

聯(lián)立式(1)、(2)，可將θ13、θ14分別表示為θ11和θ12的函數(shù)

(3)

因此，在已知θ11和θ12時，可求得E1點坐標為

(4)

對于由n個模塊(n≥2)組成的平面二維移動放縮支鏈，根據(jù)機構(gòu)的中心對稱性，可得

(5)

由于E0=(0,0)，代入式(5)可得

(6)

由此可知，對于n層平面二維運動放縮機構(gòu)，第n層中E2n點可將E1點處的運動軌跡放大2n倍。如圖5所示，對于3層平面二維運動放縮機構(gòu)，第3層中E6點可將E1點處的運動軌跡放大6倍。

圖5 3層平面二維移動放縮機構(gòu)Fig.5 Two-dimensional pantograph mechanism consisted of 3-layer modules

2 3T1R并聯(lián)機構(gòu)及其拓撲特性分析

2.1 機構(gòu)設(shè)計

本文提出的3T1R并聯(lián)機構(gòu)由動平臺1、靜平臺0通過4條結(jié)構(gòu)相同的平面二維移動放縮支鏈連接而成，如圖6、7所示，其中，各支鏈與動平臺1相連的4個轉(zhuǎn)動副R10、R20、R30、R40的軸線與動平臺平面垂直；各支鏈與靜平臺0相連的轉(zhuǎn)動副R11、R21、R31、R41為驅(qū)動副，其軸線共面且R11‖R31⊥R21‖R41。

圖6 3T1R并聯(lián)機構(gòu)三維模型Fig.6 3D modeling of 3T1R PM

圖7 3T1R原始機構(gòu)Fig.7 Original 3T1R PM

2.2 機構(gòu)的拓撲特性分析

2.2.1機構(gòu)的方位特征集和自由度

選定動平臺1上任意一點O′為基點。確定支鏈末端構(gòu)件的方位特征集為

第Ⅰ、Ⅱ支鏈組成第1回路，其第1個獨立回路位移方程數(shù)ξL1為

第Ⅰ、Ⅱ支鏈組成的第1子并聯(lián)機構(gòu)的自由度和方位特征集為

由第1子并聯(lián)機構(gòu)及第Ⅲ支鏈組成第2個回路，其第2個獨立回路位移方程數(shù)ξL2為

第1子并聯(lián)機構(gòu)及第Ⅲ支鏈組成的第2子并聯(lián)機構(gòu)的自由度和方位特征集為

由第2子并聯(lián)機構(gòu)及第Ⅳ支鏈組成第3個回路，其第3個獨立回路位移方程數(shù)ξL3為

機構(gòu)自由度為

機構(gòu)動平臺的方位特征集為

機構(gòu)的過約束度Nov為

因此，取靜平臺0上的4個轉(zhuǎn)動副R11、R21、R31、R41為驅(qū)動副時，動平臺1具有3個移動和1個繞其法線方向上的轉(zhuǎn)動輸出。

2.2.2機構(gòu)的耦合度計算

第1個回路的約束度Δ1為

第2個回路的約束度Δ2為

第3個回路的約束度Δ3為

耦合度k為

由于該機構(gòu)的耦合度k=2，機構(gòu)位置正解比較復(fù)雜，但可通過降耦設(shè)計，在保持機構(gòu)的基本功能(方位特征集和自由度)不變的前提下，使機構(gòu)的正向運動學和逆向運動學方便求解。

3 3T1R降耦機構(gòu)的設(shè)計

根據(jù)第2.2節(jié)中對該機構(gòu)進行拓撲特性分析時，發(fā)現(xiàn)第1回路的方位特征集和自由度與整個機構(gòu)的方位特征集、自由度相同，即Mpa(1-2)=Mpa(1-4)、F(1-2)=F(1-4)，因此當機構(gòu)只包含支鏈Ⅰ和支鏈Ⅱ時，可得到降耦機構(gòu)如圖8所示。

圖8 3T1R并聯(lián)機構(gòu)的降耦設(shè)計Fig.8 Coupling-reducing design of 3T1R PM

3.1 降耦機構(gòu)的POC集和自由度

選定動平臺1上任意一點O′為基點。確定支鏈末端構(gòu)件的方位特征集

第Ⅰ、Ⅱ支鏈組成唯一回路，其回路位移方程數(shù)ξL1為

機構(gòu)自由度為

機構(gòu)動平臺的方位特征集為

機構(gòu)的過約束度Nov為

因此，取轉(zhuǎn)動副R12、R14、R22、R24為驅(qū)動副時，動平臺1具有3個移動和1個繞其法線方向上的轉(zhuǎn)動輸出。

3.2 降耦機構(gòu)的耦合度計算

回路的約束度Δ1為

耦合度k為

由此可知，通過減少支鏈的數(shù)目，并改變其驅(qū)動副，實現(xiàn)了機構(gòu)的基本功能(方位特征集和自由度)不變，但機構(gòu)的耦合度降低為1，此時，機構(gòu)的位置正解可由基于序SOC的一維搜索法求得[14]。

4 降耦機構(gòu)的位置分析

4.1 位置正解

4.1.1坐標系建立及符號標注

機構(gòu)位置分析求解模型如圖9所示，靜平臺為邊長為2a的正方形，動平臺為邊長為b的正方形，4個驅(qū)動分別為R12、R14、R22、R24。靜坐標系OXYZ建立在靜平臺的中心點O處，X軸和Y軸分別與R21、R11軸線平行，Z軸由右手法則確定；而動坐標系puvw位于動平臺的中心點p，pR10為u軸、pR20為v軸，w軸由右手法則確定。機構(gòu)的主要結(jié)構(gòu)參數(shù)為：在各支鏈中， R14、R12、R24、R22的轉(zhuǎn)角θ11、θ12、θ21、θ22為輸入角，α1、α2為支鏈Ⅰ、Ⅱ的轉(zhuǎn)角，E6點到動平臺的直線距離為l4，動平臺繞w軸方向的轉(zhuǎn)角為姿態(tài)角γ，如圖10所示。

圖9 3T1R并聯(lián)機構(gòu)的位置分析模型Fig.9 Model of position analysis in 3T1R coupling-reducing PM

圖10 姿態(tài)角γ的測量Fig.10 Measurement of angle γ

該機構(gòu)的位置正解可描述為：已知輸入角θ11、θ12、θ21、θ22，求動平臺中心的位置坐標p(x,y,z)及姿態(tài)角γ。

4.1.2SOC上各運動副位置求解

由SOC中的分支鏈，可求得轉(zhuǎn)動副R10的位置坐標，再由矢量方程Op=OR10-pR10求得p點的坐標為

(7)

同理，由SOC的另一分支鏈，求得轉(zhuǎn)動副R20的位置坐標，再由矢量方程Op=OR20-pR20求得p點的坐標為

(8)

由式(7)和式(8)可得

(9)

(10)

6C1+l4=6C2+l4

(11)

其中A1=l1sinθ11cosα1+l3sinθ14cosα1

A2=-l1cosθ21-0.5l2-l3cosθ24
B1=l1cosθ11+0.5l2+l3cosθ14
B2=l1sinθ21cosα2+l3sinθ24cosα2
C1=l1sinθ11sinα1+l3sinθ14sinα1
C2=l1sinθ21sinα2+l3sinθ24sinα2

由式(11)可得

(12)

由式(9)和式(10)聯(lián)立并消去γ后可得

A2+B2=b2

(13)

其中

A=a+6A1-6A2

B=6B1-a-6B2

由此可建立目標函數(shù)

(14)

4.2 位置反解

該機構(gòu)的位置反解可描述為：已知動平臺中心的位置p(x,y,z)及姿態(tài)角γ，求輸入轉(zhuǎn)角θ11、θ12、θ21、θ22。

4.2.1輸入角θ11和θ12求解

由式(7)中x、z坐標，可知

6sinα1(l1sinθ11+l3sinθ14)=z-l4

(15)

(16)

將式(15)和式(16)聯(lián)立可求得

由式(7)中y、z坐標，可得

6l1cosθ14=P1-6l1cosθ11

(17)

(18)

將式(17)和式(18)聯(lián)立消去θ14，有

P3sinθ11+P4cosθ11+P5=0

(19)

令

可得方程式(19)的解為

(20)

將式(17)和式(18)聯(lián)立消去θ11，有

P6sinθ14+P7cosθ14+P8=0

(21)

令

可得方程式(21)的解為

(22)

根據(jù)式(20)、式(22)和式(3)可求解得到輸入角θ11、θ12。

4.2.2輸入角θ21和θ22求解

由式(8)中y、z坐標，可知

6sinα2(l1sinθ21+l3sinθ24)=z-l4

(23)

(24)

將式(23)和式(24)聯(lián)立可求得

由式(8)中x、z坐標，可得

-6l3cosθ24=Q1+6l1cosθ21

(25)

(26)

將式(25)和式(26)聯(lián)立消去θ24，有

Q3sinθ21+Q4cosθ21+Q5=0

(27)

令

可得方程式(27)的解為

(28)

將式(25)和式(26)聯(lián)立消去θ21，有

Q6sinθ24+Q7cosθ24+Q8=0

(29)

令

可得方程式(29)的解為

(30)

根據(jù)式(28)、(30)和式(3)可求解得到輸入角θ21、θ22。

4.3 位置正反解實例驗算

4.3.1正解算例

表1 機構(gòu)位姿正解數(shù)值Tab.1 Numerical forward solutions of PM

4.3.2反解算例

將表1中位置正解結(jié)果代入式(20)、(22)、(28)、(30)和式(3)，得到的位置反解結(jié)果為θ11=15.240 6°，θ12=94.91 0°，θ21=31.035°，θ22=131.03°。與給定的4個輸入角一致，從而驗證了所建機構(gòu)正反解模型的正確性。

5 降耦機構(gòu)的工作空間和轉(zhuǎn)動能力分析

5.1 工作空間分析

工作空間是衡量并聯(lián)機器人性能的一個重要指標，本文采用極限邊界搜索法對該3T1R降耦機構(gòu)進行工作空間分析。首先設(shè)定其工作空間的搜索范圍，基于導(dǎo)出的位置反解公式，求解出該搜索范圍內(nèi)每一點所對應(yīng)的桿長和運動副轉(zhuǎn)角，篩選出所有滿足桿長約束和運動副轉(zhuǎn)角約束條件的點，若其中的任一值超出了其允許值，則對應(yīng)的點在工作空間外，表示機構(gòu)達不到此時的位置，反之，即可判斷該點是在工作空間內(nèi)，這些符合條件的點組成的三維立體圖，即為該機構(gòu)能夠達到的工作空間。

機構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)已在4.3節(jié)給出。為了找到空間內(nèi)所有滿足要求的點，首先確定其三維搜索范圍：0≤Z≤4 m、0≤θ≤2π、0≤ρ≤5 m(θ、ρ分別為柱坐標系中搜索角度和搜素半徑)；約束條件為θ11、θ12、θ21、θ22存在實數(shù)解；通過Matlab數(shù)值分析，取沿Z方向的步長ΔZ=0.1 m，搜索半徑步長Δρ=0.1 m，旋轉(zhuǎn)角步長Δθ=π/36，姿態(tài)角γ在0°～360°之間變化?？汕蟮脵C構(gòu)的工作空間三維立體圖如圖11所示，X-Y的截面圖如圖12所示。

圖11 降耦機構(gòu)的三維工作空間Fig.11 Three-dimensional workspace of coupling-reducing PM

從圖11、12可以看出，該3T1R機構(gòu)的工作空間連續(xù)，隨著Z的增加，機構(gòu)的工作空間X-Y的截面積逐漸減小，但圖形更加規(guī)則。

圖12 工作空間的X-Y截面圖Fig.12 X-Y cross-sectional views of workspace

5.2 轉(zhuǎn)動能力分析

動平臺的轉(zhuǎn)動能力即為末端執(zhí)行器在工作區(qū)域內(nèi)的轉(zhuǎn)角范圍，是衡量并聯(lián)機構(gòu)輸出轉(zhuǎn)動靈活性能的一個重要指標。在分析其轉(zhuǎn)動能力時同樣采用極限邊界搜索法，基于導(dǎo)出的位置反解公式，通過固定高度Z處的X-Y截面來分析該機構(gòu)動平臺的轉(zhuǎn)動能力[14]。通過改變搜索半徑ρ以及搜索角θ，分別計算動平臺在此X-Y截面內(nèi)轉(zhuǎn)角的最大值γmax和最小值γmin，用于評價機構(gòu)在該截面上的轉(zhuǎn)動能力。由此，在得到降耦機構(gòu)工作空間的基礎(chǔ)上，可進一步研究其在不同X-Y截面上的轉(zhuǎn)動能力，即動平臺在不同高度情況下，輸出轉(zhuǎn)角的最大值γmax和最小值γmin的分布規(guī)律，如圖13所示。

由圖13可以看出，動平臺轉(zhuǎn)動能力即輸出轉(zhuǎn)角的最大值γmax和最小值γmin的分布規(guī)律，在某些高度條件下，可分別達到180°和-180°。由此可得，當機構(gòu)動平臺中心位置p為工作空間內(nèi)某一特定點時，若對應(yīng)的動平臺輸出轉(zhuǎn)角最大值γmax=180°，且輸出轉(zhuǎn)角最小值γmin=-180°，則稱動平臺在該點處具有整周回轉(zhuǎn)能力，滿足上述條件的點的集合即為機構(gòu)具有整周回轉(zhuǎn)能力的工作空間。

在對降耦機構(gòu)進行轉(zhuǎn)動能力分析的基礎(chǔ)上，可進一步篩選得到不同高度下機構(gòu)具有整周回轉(zhuǎn)能力的工作空間，如表2所示。圖14為動平臺中心位置p(x,y,z)=(0.812 m,1.016 m,2 m)時，對應(yīng)其整周回轉(zhuǎn)過程的示意圖。

由表2可以看出，當Z∈[0，3.4 m]時機構(gòu)均具有整周回轉(zhuǎn)能力，其中Z∈[0，1.4 m)時，機構(gòu)具有整周回轉(zhuǎn)能力的工作空間的截面是復(fù)連通點集，定義為Ⅰ型工作空間；Z∈[1.4 m，3.4 m]時，機構(gòu)具有整周回轉(zhuǎn)能力的工作空間的截面是單連通點集，定義為Ⅱ型工作空間。在Ⅱ型工作空間內(nèi)，動平臺的運動軌跡規(guī)劃和姿態(tài)調(diào)整靈活簡便。

為了更直觀地評價機構(gòu)在不同X-Y截面上工作空間的大小，需要求解對應(yīng)的截面積。但是若截面形狀是不規(guī)則圖形，其面積就無法使用常規(guī)的幾何圖形面積計算公式進行求解，因此采用蒙特卡洛方法來計算工作空間內(nèi)不同高度Z下X-Y截面的面積。在上文所述邊界搜索法中，其最大搜索邊界是半徑為5 m的圓，因此選取邊長為10 m的正方形為邊界，可使機構(gòu)工作空間面積均在該正方形內(nèi)；當搜索點符合均勻分布時，落入工作面積內(nèi)部的點的數(shù)量，與工作面積所占正方形面積的比例成正比。

假設(shè)在面積為S的正方形內(nèi)搜索點數(shù)為N，落入待求工作空間面積內(nèi)部的點數(shù)為n，則該工作面積s可表示為

(31)

由式(31)可求得，在Z取不同值時機構(gòu)的工作空間的截面積和機構(gòu)具有整周回轉(zhuǎn)能力的工作空間的截面積，如圖15所示。可以看出，機構(gòu)的工作空間的截面積隨著Z的增大而減小，當Z取值為3.7 m時，工作空間的截面積為0，即動平臺沿Z軸方向移動的最大高度為3.7 m。此外，機構(gòu)具有整周回轉(zhuǎn)能力的工作空間的截面積隨著Z的增大先增大后減小，且當Z取值為1.4 m時達到最大，為17.336 m2，當Z取值為3.5 m時，機構(gòu)不具備整周回轉(zhuǎn)能力。

圖13 不同高度條件下降耦機構(gòu)的轉(zhuǎn)動能力Fig.13 Rotational capacity of coupling-reducing PM at different heights

圖14 動平臺中心位置p(x,y,z)=(0.812 m,1.016 m,2 m)時的整周回轉(zhuǎn)過程示意圖Fig.14 Rotational capacity of moving platform with its geometric center p(x,y,z)=(0.812 m,1.016 m,2 m)

圖15 X-Y截面積變化曲線Fig.15 Changing curves of X-Y cross-sectional area

6 結(jié)論

(1)提出了一種二維移動放縮單元，經(jīng)模塊化組合與擴展后，構(gòu)造了一種新型平面二維移動放縮機構(gòu)，將該放縮機構(gòu)作為支鏈，設(shè)計得到一種新型4支鏈3T1R并聯(lián)機構(gòu)，分析了該并聯(lián)機構(gòu)的拓撲結(jié)構(gòu)特性，求得機構(gòu)的耦合度為2，位置正解求解比較復(fù)雜。

(2)對4支鏈3T1R并聯(lián)機構(gòu)進行降耦設(shè)計，在保證基本功能(方位特征集和自由度)不變的情況下，將機構(gòu)耦合度降為1，使其位置正解求解得到簡化。

(3)采用基于序單開鏈法的位置正解求解原理，建立了降耦機構(gòu)的正解方程，采用一維搜索法求得其數(shù)值解，并通過數(shù)值解驗證了正反解方程的正確性。

(4)基于機構(gòu)的位置反解公式，分析了降耦機構(gòu)的工作空間和轉(zhuǎn)動能力，結(jié)果表明：該并聯(lián)機構(gòu)的工作空間大，且具有連續(xù)性；動平臺轉(zhuǎn)動能力強，且在一定工作空間范圍內(nèi)具有整周回轉(zhuǎn)能力；在轉(zhuǎn)動能力分析的基礎(chǔ)上，篩選得到了不同高度下機構(gòu)具有整周回轉(zhuǎn)能力的工作空間，將其分為Ⅰ型工作空間和Ⅱ型工作空間，在Ⅱ型工作空間內(nèi)，動平臺的運動軌跡規(guī)劃和姿態(tài)調(diào)整靈活、簡便。

(5)基于蒙特卡洛方法研究了工作空間截面積隨Z的變化規(guī)律，結(jié)果表明：機構(gòu)的工作空間的截面積隨著Z的增大而減小，動平臺沿Z軸方向移動的最大高度為3.7 m。機構(gòu)具有整周回轉(zhuǎn)能力的工作空間的截面積隨著Z的增大先增大后減小，且當Z取值為1.4 m時達到最大，當Z取值為3.5 m時，機構(gòu)不具備整周回轉(zhuǎn)能力。該方法對不同結(jié)構(gòu)參數(shù)的同類型機構(gòu)均適用。