任晨輝， 楊德慶

(上海交通大學(xué) 海洋工程國家重點實驗室； 高新船舶與深海開發(fā)裝備協(xié)同創(chuàng)新中心；船舶海洋與建筑工程學(xué)院， 上海 200240)

船舶的各種動力設(shè)備(如主機(jī)、發(fā)電機(jī)、空氣壓縮機(jī))以及不同用途的泵等在運行過程中都會引起船舶的振動并產(chǎn)生噪聲[1].合理控制振動，是保證設(shè)備正常運行與人員居住舒適度的前提，對于軍事艦艇，還能夠增強其隱蔽性，提升作戰(zhàn)性能.目前，廣泛使用的隔振手段是在動力設(shè)備與船體之間安裝彈性裝置，即機(jī)器與筏架、筏架與基座之間用隔振器相連接，常用的隔振器主要有鋼絲繩隔振器、空氣彈簧和橡膠隔振器等.鋼絲繩隔振器具有結(jié)構(gòu)簡單、安裝方便、質(zhì)量輕等優(yōu)點，在機(jī)械、交通、船海等領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用[2-3]，但鋼絲繩隔振器的減振機(jī)制涉及鋼絲之間摩擦阻力與恢復(fù)力的遲滯效應(yīng)，是一個復(fù)雜的力學(xué)系統(tǒng)，在研究和設(shè)計模型的過程中需進(jìn)行簡化；空氣彈簧的體積龐大、造價高昂，且需要輔助系統(tǒng)，使其應(yīng)用范圍受到了限制；橡膠隔振器的材料容易發(fā)生老化，使其剛度和阻尼參數(shù)逐漸偏離設(shè)計值，因此，有必要采用新型的材料與結(jié)構(gòu)制造實用的隔振器，以用于船舶設(shè)備的隔振.

圖1 跨中受壓的余弦形曲梁及其前3階屈曲模態(tài)示意圖Fig.1 Schematic diagram of prefabricated cosine beam under lateral force at midpoint and the first three buckling modes

余弦形預(yù)制曲梁在曲率較大時具有良好的承載能力，且其剛度易于分析，可作為一種非線性隔振器元件.因此，本文在研究余弦形曲梁跨中受壓特性的基礎(chǔ)上，利用3D打印成型技術(shù)設(shè)計并加工了一種余弦形雙曲梁非線性隔振器，擬用于船舶設(shè)備的隔振.同時，采用諧波平衡法求解隔振系統(tǒng)振動微分方程的近似解析解，并與龍格-庫塔方法的數(shù)值解進(jìn)行比較，以驗證其合理性.另外，根據(jù)解析解給出振動傳遞率的表達(dá)式，并作為衡量隔振器性能的指標(biāo)，分析了不同非線性剛度系數(shù)、激勵幅值和阻尼系數(shù)對隔振器隔振性能的影響，以期為余弦形預(yù)制雙曲梁隔振器的設(shè)計和應(yīng)用提供參考.

1 余弦形預(yù)制雙曲梁非線性隔振器的動力學(xué)建模

1.1 余弦形預(yù)制曲梁

圖1所示為余弦形曲梁及其前3階屈曲模態(tài)示意圖.其尺寸參數(shù)包括梁的兩約束端距離l、梁截面厚度t、梁截面寬度b、初始時刻梁軸線中點距兩端點連線的垂直距離(拱高)h等.在跨中受到垂直向下的作用力f時，根據(jù)梁的幾何特性，f與梁中點的位移d的關(guān)系可分別描述為

(1) 當(dāng)Q=h/t較小時，下壓過程中垂向力與跨中位移的關(guān)系為f1=f1(d).

(2) 當(dāng)Q=h/t較大、下壓過程中梁軸力小于i階屈曲力時，垂向力與跨中位移的關(guān)系仍為f1=f1(d)，此時的力與位移變化方向一致，整體結(jié)構(gòu)呈“正剛度”；當(dāng)梁軸力達(dá)到i階屈曲力時，垂向力與跨中位移的關(guān)系可表示為fi=fi(d)，此時的力與位移變化方向相反，結(jié)構(gòu)呈“負(fù)剛度”(對于限制2階屈曲模態(tài)的梁，取i=3；當(dāng)不限制2階屈曲模態(tài)時，取i=2).

Qiu等[4]引入無量綱量Fi=fil3/(EIh) (i=1,2,3)、D=d/h、Q=h/t，以推導(dǎo)以上的力-位移關(guān)系，所得無量綱的作用力Fi(i=1,2,3)如下：

(1)

對應(yīng)的有量綱形式的作用力fi(i=1,2,3)如下：

(2)

式中：E為彈性模量；I為截面轉(zhuǎn)動慣量.

當(dāng)f1取極大值時，對應(yīng)有

式(1)中的3種力-位移關(guān)系可用圖2表達(dá).

圖2 不同幾何特性的余弦形曲梁的力-位移關(guān)系Fig.2 Different solutions of normalized force-displacement relationship for pre-fabricated cosine beam

由圖2可見：隨著位移增加，垂向力的值總是先增加到最大(該峰值稱為正向屈曲力)，而后，隨著位移增加而減小，出現(xiàn)“負(fù)剛度”區(qū)域，最后，垂向力從最小值開始又隨著位移增加而增大；當(dāng)Q=1.65 時，F(xiàn)1與F2相切；當(dāng)Q=2.31時，F(xiàn)1與F3相切，且與F=0的水平線相切.

本文利用余弦形預(yù)制曲梁的力-位移關(guān)系中“正剛度”區(qū)域來設(shè)計制造一種新型非線性剛度隔振器，擬用于船舶設(shè)備的主動與被動隔振.為保證隔振器的初始剛度以及滿足變形過程中側(cè)向穩(wěn)定性的要求，避免下壓時出現(xiàn)余弦形曲梁的2階屈曲變形，將2個相同的余弦形曲梁的中部和兩端固結(jié)[5]，如圖3所示，從而保證曲梁在極限載荷作用下直接由1階屈曲形狀轉(zhuǎn)變?yōu)?階屈曲形狀而不發(fā)生側(cè)向翻轉(zhuǎn).

圖3 單余弦形曲梁與并聯(lián)雙余弦形曲梁Fig.3 Single cosine beam and centrally-clamped cosine beam

余弦形預(yù)制雙曲梁非線性隔振器的設(shè)計包括梁的兩約束端距離l、梁截面厚度t、梁截面寬度b、中心拱高h(yuǎn)等幾何參數(shù).設(shè)計時，先根據(jù)實際應(yīng)用場景確定梁外形的長度和寬度，再依據(jù)隔振器在給定參振質(zhì)量下的靜變形與最大允許振幅，由式(2)反復(fù)核算來確定t、h，以保證剛度與振幅滿足使用要求.所設(shè)計的非線性隔振器外形與應(yīng)用場景如圖4所示.隔振器材質(zhì)為丙烯腈-丁二烯-苯乙烯(ABS)樹脂，其彈性模量為 1.8 GPa，泊松比為 0.39，密度為 1.04 g/cm3，抗拉強度為50 MPa.采用3D打印成型技術(shù)一體成型，設(shè)計參數(shù)可變范圍較大，且避免了金屬材料的焊接缺陷與殘余應(yīng)力等影響.

圖4 余弦形預(yù)制雙曲梁非線性隔振器Fig.4 Centrally-clamped cosine-shaped beam as a nonlinear vibration isolator

1.2 非線性隔振器系統(tǒng)的動力學(xué)方程

在設(shè)計余弦形預(yù)制雙曲梁非線性隔振器時，采用足夠大的Q=h/t，有利于提升隔振器的承載性能.由圖2可以看出，當(dāng)Q=h/t>2.31，即9h2>48t2時，曲線F(D,Q)與F=F3有3個交點，交點橫坐標(biāo)D的有量綱值為

(3)

其中：d=d1時所對應(yīng)的有量綱垂向力為

(4)

但是，Q的增幅是有限度的.隨著h增大，盡管垂向最大允許載荷會增加，但垂向剛度也隨之增大，使得系統(tǒng)的固有頻率將增大而不利于隔振.

圖5 兩種不同的隔振系統(tǒng)模型Fig.5 Active and passive vibration isolating system

根據(jù)振源的不同，通常將隔振分為兩種不同的模型，即主動隔振與被動隔振[6].如圖5所示，主動隔振是將振源與基礎(chǔ)隔離開，以避免或減小系統(tǒng)的振動向基礎(chǔ)傳播；被動隔振則是避免或減小基礎(chǔ)運動對系統(tǒng)或設(shè)備的激勵.

對于主動隔振，所建立的動力學(xué)微分方程為

k3(x+Δ)3=F+mg

(5)

Δ滿足k1Δ+k2Δ2+k3Δ3=mg，故有

(k2+3k3Δ)x2+k3x3=F

(6)

與式(5)相比，式(6)更容易求解.

對于被動隔振，所建立的動力學(xué)微分方程為

k2(x-u+Δ)2+k3(x-u+Δ)3=mg

(7)

令z=x-u，u為基礎(chǔ)位移激勵，則有

(8)

形如式(6)和(8)的非線性振動微分方程稱為Helmholtz-Duffing方程[7-8]，可用諧波平衡法求解[9-10].具體方法：將隔振系統(tǒng)激勵項和方程的解都利用傅里葉級數(shù)展開；然后，將其代入隔振系統(tǒng)的運動微分方程中，令同階諧波項的系數(shù)相等，即可將原方程轉(zhuǎn)化為一系列的代數(shù)方程；通過求解代數(shù)方程即可確定傅里葉級數(shù)的系數(shù)，從而獲得隔振系統(tǒng)的解析解.本文分別利用諧波平衡法求解式(6)和(8)的近似解析解.

2 非線性隔振系統(tǒng)響應(yīng)

2.1 主動隔振系統(tǒng)響應(yīng)求解

對于主動隔振系統(tǒng)動力學(xué)方程(式(6))，假設(shè)

(9)

式中：ω為圓頻率；t為時間；ε為相位；a0為非線性響應(yīng)常數(shù)；a1為響應(yīng)諧波.

將式(9)代入式(6)，其等號左邊可精確展開成不同階次諧波的線性組合.然后，令等號兩邊的常數(shù)項、sinωt、cosωt的系數(shù)相等，則有

(10)

式中：

(ca1ω)2=f2

(11)

(12)

式(11)與(12)反映了主動隔振系統(tǒng)非線性隔振模型的圓頻率-振幅響應(yīng)特性，其相位ε滿足

(13)

2.2 被動隔振系統(tǒng)響應(yīng)求解

對于被動隔振系統(tǒng)非線性動力學(xué)方程(式(8))，假設(shè)

(14)

式中：Λ為基座加速度激勵幅值；φ為被動隔振系統(tǒng)的相位；b0、b1分別為被動隔振系統(tǒng)非線性響應(yīng)常數(shù)和響應(yīng)諧波.

式(14)的求解過程與主動隔振系統(tǒng)類似，最終可得

(cb1ω)2=(-mΛ)2

(15)

(16)

將z(t)代入x=u+z，可得

x=u+z=

-(Λ/ω2)cos(ωt+φ)+b0+b1cosωt

(17)

式(15)～(17)反映了被動隔振系統(tǒng)非線性隔振模型的圓頻率-振幅響應(yīng)特性，相位φ滿足

(18)

2.3 數(shù)值解驗證

式(6)和(8)對應(yīng)的微分方程可用多種方法求解.由于廣泛用于工程中的龍格-庫塔方法具有精度高、收斂性好、穩(wěn)定、易于程序?qū)崿F(xiàn)的優(yōu)點，所以本文利用4階5級龍格-庫塔方法求解非線性振動微分方程，并與諧波平衡法的解析解進(jìn)行對比.隔振器的尺寸設(shè)計參考船舶中常用的BE-120橡膠隔振器，其長度為140 mm、寬85 mm，其余參數(shù)的選取依據(jù)隔振器在給定參振質(zhì)量時的靜變形與最大允許振幅條件.本文所設(shè)計的非線性隔振器參數(shù)的設(shè)計自由度大、選擇范圍廣，所選主動隔振系統(tǒng)計算參數(shù)：l=0.14 m；b=85 mm；h=14 mm；t=5 mm；ζ=0.005；m=300 kg；f=100 N；Δ=1.14 mm；d1=6.08 mm；振動頻率fr=10 Hz.被動隔振系統(tǒng)計算除fr=20 Hz、加速度的激勵幅值Λ=1.96 m/s2外，其余參數(shù)與主動隔振系統(tǒng)計算一致.當(dāng)系統(tǒng)達(dá)到靜平衡時，根據(jù)k1Δ+k2Δ2+k3Δ3=mg所得隔振器變形量Δ=1.14 mm，由式(3)計算所得最大允許振幅為 6.08 mm，最大靜載荷為 8.543 kN.

圖6和7分別示出了主、被動隔振模型的振動位移與響應(yīng)相跡圖，包括諧波平衡法求得的近似解析解與利用龍格-庫塔方法所得數(shù)值解.

圖6 主動隔振系統(tǒng)響應(yīng)的諧波平衡解析解與數(shù)值解Fig.6 Analytical and numerical solutions of the active vibration isolating system

圖7 被動隔振系統(tǒng)響應(yīng)的諧波平衡解析解與數(shù)值解Fig.7 Analytical and numerical solutions of the passive vibration isolating system

由圖6和7可見，諧波平衡法得到的近似解析解與龍格-庫塔方法所得數(shù)值解基本吻合，從而驗證了諧波平均法求解的有效性.

圖8所示為式(12)對應(yīng)的主動隔振系統(tǒng)的非線性響應(yīng)常數(shù)a0與響應(yīng)諧波a1的幅頻特性曲線.可以看出，非線性隔振系統(tǒng)的響應(yīng)曲線的頂端向左傾斜，即呈現(xiàn)出“漸軟”式非線性隔振系統(tǒng)的幅頻曲線特征，這與圖2中垂向力變化曲線的斜率(剛度)逐漸減小的變化規(guī)律一致，且隨著載荷幅值的增加，幅頻曲線的傾斜程度增大.

圖8 主動隔振系統(tǒng)響應(yīng)的幅頻特性曲線Fig.8 Frequency response curves of the active vibration isolating system

3 余弦形預(yù)制雙曲梁隔振器的振動傳遞率

對于主動隔振系統(tǒng)，由于輸入載荷是外力，所以選用力傳遞率作為衡量隔振器性能的參數(shù)[11]，能夠較好地反映隔振器效率.非線性隔振系統(tǒng)的力傳遞率和線性隔振系統(tǒng)的力傳遞率有著相同的意義[12]，均表示傳遞到基礎(chǔ)上的動態(tài)力幅值與激勵力幅值的比值.

對于主動隔振系統(tǒng)的力傳遞率，首先計算傳遞到基礎(chǔ)上的動態(tài)力，即彈性力Fres與阻尼力Fdam，兩者的相位相差90°，其計算公式為

如果僅考慮動態(tài)力，則力傳遞率的表達(dá)式為

TF=

對于被動隔振系統(tǒng)，選取位移傳遞率作為衡量隔振器性能的參數(shù).系統(tǒng)的振動位移傳遞率定義為系統(tǒng)絕對位移響應(yīng)幅值與基礎(chǔ)位移幅值的比值，系統(tǒng)絕對位移的表達(dá)式為

如果僅考慮動態(tài)位移，則位移傳遞率的表達(dá)式為

其中：被動隔振系統(tǒng)的相位φ由式(18)得出.

4 參數(shù)對隔振器隔振性能的影響

4.1 非線性剛度系數(shù)對振動傳遞率的影響

4.2 激勵幅值對振動傳遞率的影響

增大激勵力的幅值(對于被動隔振系統(tǒng)，增大激勵加速度的幅值)，所得不同激勵幅值下的振動傳遞率曲線如圖10所示.其中，輸入載荷按照工作區(qū)域振動加速度上限為 0.286 m/s2，對應(yīng)的主動隔振系統(tǒng)激勵力為 85.8 N，分別取該加速度或激勵力的120%，100%，80%，50%，其余參數(shù)同上.由圖10可見，在大部分頻率范圍內(nèi)，改變激勵幅值并不影響振動傳遞率，而在其響應(yīng)幅值有多個取值(“不穩(wěn)定”區(qū)域)時，激勵力或激勵位移的增大會增強振動傳遞率曲線向左傾斜的程度，使系統(tǒng)具有更加明顯的非線性特征.

圖9 不同h下的振動傳遞率曲線Fig.9 Vibration transmissibility curves of the isolators with different h

圖10 不同激勵幅值下的振動傳遞率曲線Fig.10 Vibration transmissibility curves under different excitation amplitudes

4.3 阻尼系數(shù)對振動傳遞率的影響

選取隔振系統(tǒng)的黏性阻尼比ζ=0.005，0.010，0.020，0.050，0.080，0.100，其余參數(shù)同上，以分析阻尼系數(shù)的影響，所得不同黏性阻尼比條件下的振動傳遞率曲線如圖11所示.可見：隨著ζ值增大，共振點的力和位移傳遞率明顯降低，且存在一條明顯向左傾斜的“脊骨線”貫穿曲線族峰值點，由非線性剛度系數(shù)和激勵幅值所決定，而ζ對曲線骨架沒有影響；隨著ζ值變小，振動傳遞率曲線逐漸向頻率較小的方向傾斜，系統(tǒng)的不穩(wěn)定性逐漸增強.

圖11 不同黏性阻尼比下的振動傳遞率曲線Fig.11 Vibration transmissibility curves for different damping coefficients

5 結(jié)論

(1) 所設(shè)計的余弦形預(yù)制雙曲梁非線性隔振器的質(zhì)量輕、承載能力強且設(shè)計過程簡單.隔振器的剛度呈非線性，表達(dá)為位移的3次多項式，采用諧波平衡法計算的隔振系統(tǒng)振動微分方程的解析解與其數(shù)值解基本吻合.

(2) 非線性振動系統(tǒng)的響應(yīng)曲線頂端相對于線性系統(tǒng)的響應(yīng)曲線頂端向左傾斜，呈現(xiàn)出“漸軟”式非線性系統(tǒng)的幅頻曲線特征.

(3) 足夠大的h/t有利于提升隔振器的承載性能，但h值過大，將使得系統(tǒng)剛度增加，振動傳遞率曲線向高頻方向遷移，不利于低頻隔振.在相同頻率比時，阻尼效應(yīng)對傳遞率起主導(dǎo)作用.

(4) 在大部分頻率范圍內(nèi)，改變激勵幅值并不影響振動傳遞率，而在響應(yīng)幅值的“不穩(wěn)定”區(qū)域，激勵力和激力位移的增大將會強化振動傳遞率曲線的非線性特征.存在一條明顯向左傾斜的“脊骨線”貫穿振動傳遞率曲線族峰值點，隨著黏性阻尼比減小，曲線沿著“脊骨線”逐漸向頻率較小的方向傾斜，系統(tǒng)的不穩(wěn)定性逐漸增強.