江蘇省蘇州高新區(qū)實驗初級中學(xué) 袁效德

動點問題是初中數(shù)學(xué)的熱點問題。動點與函數(shù)圖像相結(jié)合，信息經(jīng)常被隱含在圖像中，成為學(xué)生理解問題的難點。當(dāng)涉及多個動點時，學(xué)生更是難以理解信息。點的運動引起圖形的形狀、位置、數(shù)量關(guān)系等的變化，從而需要進(jìn)行分類討論，對學(xué)生思維的全面性和嚴(yán)密性都提出了較高的要求。教師需要教會學(xué)生看圖、析圖，進(jìn)而掌握解決問題的一般方法。本文以一道中考模擬卷中的雙圖題為例，談?wù)剬τ谂囵B(yǎng)學(xué)生看圖、識圖、析圖能力的幾點思考，以求拋磚引玉。

一、試題再現(xiàn)

（2019年蘇州高新區(qū)中考一模）如圖1，矩形ABCD中，BC＝12cm，點P從A點出發(fā)，以2cm/s的速度沿A—B—C勻速運動，運動到C點時停止；點Q從B點出發(fā)，以acm/s的速度沿B—C—D—A勻速運動，運動到A點時停止。若P，Q兩點同時出發(fā)，設(shè)點P運動的時間為t（s），△PBQ的面積為S（cm2），S與t之間的函數(shù)關(guān)系由圖2中的曲線段OEF、線段FG，GH表示。

圖1

（1）a＝_______，AB＝________；

（2）求圖2中曲線段OEF對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式以及這個函數(shù)的最大值；

（3）當(dāng)0≤t≤2，若△PDQ為直角三角形，求t的值。

圖2

二、試題分析

首先，該題作為中考模擬的壓軸題，有一定的靈活性，主要考查利用一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖像，結(jié)合點的運動，求三角形的面積及判斷三角形的形狀。將代數(shù)與幾何有機地融合在一起，具有很強的綜合性。

學(xué)會看圖、識圖是解決此題的首要難點。結(jié)合題意以及函數(shù)圖像，弄懂圖1中動點P,Q的位置與△PBQ面積之間有怎樣的關(guān)系？此題可以用三個問題進(jìn)行點撥。首先，圖2中的一些特殊點E,F,G,H表示的意義是什么？其次，圖2中的函數(shù)圖像分為三段（二次函數(shù)，兩個一次函數(shù)），它們的增減性說明了什么？最后，圖2中點F的橫坐標(biāo)為2，點P,Q是否還有其他的位置？歸根結(jié)底，要弄清動點拐彎時引起面積S如何變化。

為了弄清楚上面三個問題，我們可以分情況討論。根據(jù)圖2中曲線OEF，說明動點P在AB上，Q在BC上（圖3）。根據(jù)曲線OEF和直線FG，說明動點P,Q的位置關(guān)系分兩種情況：P在AB上，Q在CD上；P、Q都在BC上。（圖4，圖5）

圖3

圖4

圖5

圖6

圖7

根據(jù)G點在x軸上，說明△PBQ面積為0，動點P,Q的位置關(guān)系又分兩種情況：P在點B；Q在點D（圖6），P,Q繼續(xù)運動后△PBQ（如圖7）；P在點B，Q在CD上，P,Q繼續(xù)運動后，△PBQ的面積，排除直線上升。

解決雙圖像問題，要善于從函數(shù)圖像的特征、位置以及函數(shù)的變化趨勢等方面分析出有用信息，利用分類討論進(jìn)行“數(shù)與形”的相互轉(zhuǎn)化，最終獲得解決問題的途徑。在教學(xué)過程中，教師要留有時間讓學(xué)生讀圖，通過閱讀題目和觀察函數(shù)圖像，分析出圖像中的各特殊點的意義。

三、試題起源

本題可在蘇教版教材37頁第15題找到源頭。在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3cm，BC=4cm，點P從點A出發(fā)，以1cm/s的速度沿AB運動；同時，點Q從點B出發(fā)，以2cm/s的速度沿BC運動。當(dāng)點Q到達(dá)點C時，P、Q兩點同時停止運動。試寫出△PBQ的面積S與動點運動時間t之間的函數(shù)表達(dá)式，并求出△PBQ的面積最大值。

本試題中動點的運動信息及矩形特征都沒有給出，而是通過圖8間接給出，這是其與課本題的區(qū)別，可謂源于課本，又高于課本。

圖8

四、關(guān)于識圖、析圖能力培養(yǎng)的些許思考

波利亞在《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》序言中說：“掌握數(shù)學(xué)就意味著善于解題。”教師要引導(dǎo)學(xué)生利用圖形信息，學(xué)會自主學(xué)習(xí)，掌握讀圖、析圖的相關(guān)技能，加強與生活的聯(lián)系，從學(xué)生熟悉的問題情境出發(fā)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，幫助學(xué)生掌握信息轉(zhuǎn)化的策略。注重學(xué)生的探索與思考的能力培養(yǎng)，積累數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本活動經(jīng)驗，發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的能力。

1．正視錯誤，適時引導(dǎo)

教師應(yīng)放手讓學(xué)生自主看圖，讓學(xué)生自己分析，從圖中分析問題，并找出解決問題的方法。首先，在教學(xué)過程中，應(yīng)允許學(xué)生犯錯，讓學(xué)生暴露問題，才能挖掘圖形的隱含知識。例如：對雙圖問題分析不全面，教師可以讓學(xué)生將動點與函數(shù)圖像學(xué)會比對，實踐再操作，這樣的互動過程就是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想。其次，還可以在課堂上通過小組合作討論的方式進(jìn)行補充和完善，引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度思考問題，提取雙圖中的重要信息，強化識圖能力，真正達(dá)到提高學(xué)生的看圖、識圖能力。最后，要注重解題反思，既是對解題的回顧，將知識進(jìn)行內(nèi)化的過程，也有利于教師轉(zhuǎn)變思想，提升專業(yè)素養(yǎng)的有效途徑。

2．研究教材，重視基礎(chǔ)

教師首先必須研透教材，要重視對課本習(xí)題的發(fā)生、發(fā)展的挖掘，明確問題的來龍去脈，尋求問題的解決方法；其次，在習(xí)題訓(xùn)練上重視對基礎(chǔ)知識、基本概念的考查為主。例如：編寫預(yù)習(xí)提綱，幫助學(xué)生溫故與圖表相關(guān)的知識和方法，構(gòu)建知識之間的聯(lián)系；同時在課堂教學(xué)中精心設(shè)計問題，巧妙構(gòu)思，認(rèn)真組織，引領(lǐng)學(xué)生主動探究，在實踐活動中教會學(xué)生如何思考雙圖模型，進(jìn)一步體會數(shù)形結(jié)合思想的運用。

3．認(rèn)識圖像本質(zhì)，積累經(jīng)驗

教師通過適當(dāng)?shù)淖兪胶鸵赀M(jìn)行鞏固，尋找解決雙圖像問題的基本方法，通過適當(dāng)?shù)念}組練習(xí)，訓(xùn)練學(xué)生從函數(shù)圖像中挖掘幾何圖形特征，探索動點運動特點，從而積累解決雙圖問題的解題經(jīng)驗，培養(yǎng)分析問題能力和圖形運用能力。

總之，雙圖問題將運動與函數(shù)相結(jié)合，是培養(yǎng)學(xué)生看圖、識圖能力和提升學(xué)生的邏輯思維能力的有效載體。幾何識圖能力是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的核心能力之一，對培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力和空間觀念是至關(guān)重要的。重視培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力和幾何直觀，既落實了課程發(fā)展的需求，也滿足了課程標(biāo)準(zhǔn)對培養(yǎng)學(xué)生能力提出的要求，同時也是適應(yīng)社會發(fā)展的需要。