楊甲山 ，覃桂茳 *，覃學(xué)文 ，趙春茹

（1.梧州學(xué)院大數(shù)據(jù)與軟件工程學(xué)院,廣西梧州543002；2.梧州學(xué)院廣西高校行業(yè)軟件技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,廣西 梧州 543002）

0 引 言

研究二階Emden-Fowler型微分方程的振動(dòng)性?？紤]條件：

（C1）實(shí)常數(shù)0＜α≤1為2個(gè)正奇數(shù)的商，而β＞0和γ＞0為 任 意 實(shí) 常 數(shù) ；函 數(shù)a∈C1([t0,+∞),(0,+∞))；p,q∈C([t0,+∞),R),并且q(t)＞ 0，0 ≤p(t)＜ 1。

（C2）τ,δ：[t0,+∞)→ (0,+∞)為滯量函數(shù)，并且滿足τ(t)≤t且

關(guān)于方程（1）的解及其振動(dòng)的定義，可參見(jiàn)英文文獻(xiàn)［1-10］、中文文獻(xiàn)［11-21］。最近，文獻(xiàn)［11］研究了方程（1）在α=1時(shí)的振動(dòng)性，得到

定理A［11］設(shè)β≥γ，a'(t)≥ 0，并且

若有函數(shù)φ∈C1([t0,+∞)，(0,+∞))，使得

則方程

是振動(dòng)的，其中k＞0為常數(shù)，函數(shù)Q(t)=q(t)[1-p(δ(t))]γ，z(t)=x(t)+p(t)x(τ(t))。

定理A就是文獻(xiàn)［11］中的定理2.2，也是其核心定理之一。顯然，由于定理A中有嚴(yán)格的條件“a'(t)≥0”，且當(dāng)β＜γ時(shí)未得到方程（E1）的振動(dòng)性判別準(zhǔn)則，因此，在應(yīng)用時(shí)就會(huì)有較多的限制。文獻(xiàn)［15］研究了更一般的具有非線性中立項(xiàng)的二階廣義Emden-Fowler型微分方程（1）的振動(dòng)性，放棄了條件“a'(t)≥0，β＜γ”，改進(jìn)并推廣了以上結(jié)果，得到方程（1）的振動(dòng)性判別準(zhǔn)則：

定理 B［15］設(shè)條件（C1）、（C2）及式（2）成立，若存在函數(shù)φ∈C1([t0,+∞),(0,+∞))及常數(shù)ω≥0，使得

其中，函數(shù)

而t2≥t0，k＞ 0和m＞ 0均為常數(shù)，則方程（1）是振動(dòng)的。

定理B就是文獻(xiàn)［15］中的定理1，顯然此定理不受條件“a'(t)≥ 0，β＜γ”的限制。當(dāng)條件（2）不滿足時(shí)，文獻(xiàn)［11］得到如下關(guān)于方程（E1）振動(dòng)的判別準(zhǔn)則：

定理 C［11］設(shè)β≥γ，a'(t)≥ 0，p'(t)≥ 0且τ'(t)＞ 0，若

并且

其中Q(t)=q(t)[1-p(δ(t))]γ，則方程（E1）的每一個(gè)解x（t）或者振動(dòng)或者滿足

定理C就是文獻(xiàn)［11］中的定理2.4。 顯然，定理C中條件“p'(t)≥ 0且τ'(t)＞ 0”也是較強(qiáng)的，而且在條件（C）下，定理C（其他文獻(xiàn)如文獻(xiàn)［12］所得到的結(jié)論亦如此）的結(jié)果是不確定的，因?yàn)椴恢婪匠蹋‥1）的每一個(gè)解x（t）是振動(dòng)的還是0，這就導(dǎo)致在實(shí)際應(yīng)用時(shí)非常不方便。當(dāng)然，定理C也就無(wú)法確定Euler（歐拉）方程：

是否振動(dòng)了。

本文是文獻(xiàn)［15］的延續(xù)，將利用Riccati變換技術(shù)以及各種不等式技巧，在條件（C）成立的前提下研究方程（1）的振動(dòng)性，得到該方程振動(dòng)的2個(gè)判別準(zhǔn)則，且當(dāng)方程（1）中的α=β=γ=1，或α=1且β=γ，或γ=1時(shí)，本文的研究成果改進(jìn)并推廣了一系列已有的結(jié)果。

1 主要結(jié)論及證明

引 理 1［15］設(shè) 實(shí) 數(shù)X≥ 0，Y≥ 0，則 當(dāng) 0＜λ≤ 1時(shí)，Xλ+Yλ≤ 21-λ(X+Y)λ。

引理 2（Bernoulli不等式）［15］對(duì)任意實(shí)數(shù)x＞-1，當(dāng) 0≤r≤ 1時(shí)，(1+x)r≤ 1+rx，當(dāng)r≤ 0或r≥ 1時(shí)，(1+x)r≥ 1+rx。

引理 3［16］設(shè)A＞ 0，B＞ 0，α＞ 0均為常數(shù)，則當(dāng)x＞ 0時(shí)

引理4［21］設(shè)λ≥ 1是2個(gè)正奇數(shù)之商，X和Y是實(shí)數(shù)且XY≥ 0，則

定理 1設(shè)有條件（C1）、（C2）及（C），且 1-并且條件（4）成立。如果

ρ(t)=（這里k＞0,m＞0是某常數(shù)），則方程（1）是振動(dòng)的。

證明反證法。設(shè)方程（1）存在非振動(dòng)解x(t)，不妨設(shè)x(t)為最終正解（當(dāng)x(t)為最終負(fù)解時(shí)類似可證），于是存在t1≥t0，使得當(dāng)t≥t1時(shí)，有x(t)＞0，x(τ(t))＞ 0，x(δ(t))＞ 0。 令z(t)=x(t)+p(t)xα(τ(t))，則有z(t)≥x(t)＞ 0（t≥t1），由方程（1），得

（i）z'(t)＞ 0（t≥t1）；（ii）z'(t)＜ 0（t≥t1）。

情形（i）z'(t)＞ 0（t≥t1）。

完全同文獻(xiàn)［15］中定理1的證明，可得到與條件（4）矛盾的結(jié)果，因此，方程（1）是振動(dòng)的。

情形（ii）z'(t)＜ 0（t≥t1）。

定義函數(shù)v(t)：

則v(t)＜ 0（t≥t1）。 由 于a(t)(-z'(t))β-1z'(t)在[t1,+∞ )上嚴(yán)格單調(diào)遞減，所以對(duì)s≥t≥t1，有

a(s)(-z'(s))β-1z'(s)≤a(t)(-z'(t))β-1z'(t)，亦即z'(s)≤a1/β(t)z'(t)a-1/β(s)，兩邊積分得

于是

在上式中令u→+∞，由函數(shù)θ(t)的定義，則有

所以

于是，綜合式（7）、（9）就有

利用式（8），則有

由函數(shù)z(t)的定義、引理1、引理2及式（11），并注意到x(t)≤z(t)，得

對(duì)式（7）求導(dǎo)數(shù)，并利用式（6），可得

由式（6）得，當(dāng)s≥t1時(shí)，

a(s)(-z'(s))β-1z'(s)≤

a(t1)(-z'(t1))β-1z'(t1)=-k(這里k＞ 0是常數(shù) ),

由此式可得z'(s)≤ -k1/βa-1/β(s)，進(jìn)一步有

亦即

上式中令u→ +∞，則有z(t)≥k1/βθ(t)，即

若β＜γ，則有zγ-β(t)≥k(γ-β)/βθγ-β(t)。

若β＞γ，則由z(t)＞ 0，z'(t)＜ 0（t≥t1）知，z(t)≤z(t1)=M，所以zγ-β(t)≥Mγ-β。

若β=γ，則zγ-β(t)=1。由函數(shù)ρ(t)的定義，就有

綜合式（12）、（14）和（15），再由函數(shù)Q(t)的定義，可得

將式（16）代入式（13），得

兩 邊 同 乘 以θβ(t)后 積 分 ，注 意 到θ'(t)=-a-1/β(t)，則有

將引理3應(yīng)用于上式，則有

由式（10），可得

這與條件（5）矛盾，證畢。

定理 2設(shè)有條件（C1）、（C2）及（C），且 1-條件（4）成立。進(jìn)一步，如果β≥1為2個(gè)正奇數(shù)之商，并且存在函數(shù)ξ,η∈C1([t0,+ ∞ ),(0,+∞))，且

使得

其中函數(shù)Φ(t)=Q(t)-(η(t)a(t))'+a(t)η(β+1)/β(t)，而函數(shù)θ(t)及Q(t)同定理1，則方程（1）是振動(dòng)的。

證明反證法。設(shè)方程（1）存在一個(gè)非振動(dòng)解x(t)，不妨設(shè)x(t)為最終正解（當(dāng)x(t)為最終負(fù)解時(shí)類似可證），于是存在t1≥t0，使得當(dāng)t≥t1時(shí)，有x(t)＞ 0，x(τ(t))＞ 0，x(δ(t))＞ 0。 由定理 1 的證明知，只需考慮下列2種情形：

情形（ ii）z'(t)＞ 0（t≥t1）。

同文獻(xiàn)［15］定理1的證明，可得到一個(gè)與條件（4）矛盾的結(jié)果。

情形（ iiii）z'(t)＜ 0（t≥t1）。

由定理1的證明知，式（9）成立，由式（9）得（注意β≥1為2個(gè)正奇數(shù)之商）

令

則 由 條 件（18）及 函 數(shù)η(t)的 定 義 知u(t)≥ 0（t≥t1）。對(duì)式（19）兩邊求導(dǎo)，并由式（6）和（16），得

將上式代入式（20），則有

將引理3應(yīng)用于式（21），則有

于是

這與條件（17）矛盾，證畢。

注1 顯然，本文特殊情形（當(dāng)α=1時(shí)）的結(jié)果去掉了文獻(xiàn)［11］定理2.4中的條件“a（'t）≥0，β≥γ，p（'t）≥0且τ（'t）＞0”，且本文得到的結(jié)果是確定性結(jié)論，應(yīng)用更方便。但在定理2的證明中，由于要用到引理4中的不等式，而此不等式要求λ≥1是2個(gè)正奇數(shù)之商，否則不等式不成立，因此，當(dāng)λ＞0不滿足此條件時(shí)，尋求新方法來(lái)研究方程（1）的振動(dòng)性，是一個(gè)有趣的課題。

2 例子和應(yīng)用

例1對(duì)常數(shù)m＞0，考慮Euler微分方程（E2）,此 處a(t)=t2，p(t)≡ 0，q(t)=m，τ(t)=δ(t)=t，β=γ=1，t0=1，容易驗(yàn)證條件（C1）、（C2）及（C）均滿足。在定理 1中，取φ(t)=1，ω=0，t1=2，注意到所以

且當(dāng)m＞1/4時(shí)，

因此，由定理1，當(dāng)m＞ 1/4時(shí)方程（E2）是振動(dòng)的。

這就是我們熟悉的結(jié)果。

例2考慮二階微分方程

顯然，此方程是具非線性中立項(xiàng)的：α=1/3，β=5/3，γ=10/9，t0=1，a(t)=t10/3，p(t)=1/4，q(t)=t2/3，τ(t)=t/2，δ(t)=t/3，則顯然滿足條件（C1）、（C2）及（C）。為簡(jiǎn)化計(jì)算，在定理 1中取φ(t)=1，ω=0，t1=2，注意到β＞γ，且

則

且

所以，由定理1知方程（22）振動(dòng)。

注2注意到方程（22）具有非線性中立項(xiàng)并且β≠γ，因此文獻(xiàn)［1-18］中的定理對(duì)方程（22）均不適用。