丁申虎 賈云獻(xiàn)

（陸軍工程大學(xué)石家莊校區(qū) 石家莊 050003）

1 引言

隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，一大批新型復(fù)雜裝備正逐漸列裝陸軍作戰(zhàn)部隊(duì)，與傳統(tǒng)的老舊裝備相比，這些裝備性能先進(jìn)、結(jié)構(gòu)復(fù)雜［1～2］，造成了部件之間存在著相關(guān)性。在制定裝備維修計(jì)劃時(shí)，如果忽略了這些相關(guān)性，就會(huì)造成較高的維修費(fèi)用和停機(jī)時(shí)間。因此，在對(duì)裝備實(shí)施維修決策時(shí)要充分考慮這些相關(guān)性的影響，從裝備整體的角度出發(fā)來(lái)制定維修策略，可以將幾個(gè)部件的維修工作同時(shí)進(jìn)行來(lái)提高維修效率，這就是我們常說(shuō)的組合維修。部件間的相關(guān)性主要包括經(jīng)濟(jì)相關(guān)性、故障相關(guān)性和結(jié)構(gòu)相關(guān)性，故障相關(guān)性和結(jié)構(gòu)相關(guān)性較復(fù)雜，當(dāng)前的研究也較少，因此，本文僅針對(duì)經(jīng)濟(jì)相關(guān)性做相關(guān)的研究。

目前已有很多學(xué)者從長(zhǎng)期使用的角度開(kāi)展相關(guān)的維修工作的組合維修模型的研究。蔡景［3～4］針對(duì)多部件系統(tǒng)的定期維修工作提出以T為基本維修間隔期，將各部件的預(yù)防性維修間隔期調(diào)整為T(mén)的整數(shù)倍，這樣可以使很多維修任務(wù)有機(jī)結(jié)合在一起。白永生［5］研究了功能檢測(cè)以及功能檢測(cè)與定期維修工作的組合優(yōu)化問(wèn)題。李欣悅［6］研究了部隊(duì)不同修理級(jí)別上的預(yù)防性維修工作的組合優(yōu)化問(wèn)題。

工齡更換也是一種常見(jiàn)的預(yù)防性維修策略，指的是部件在使用的過(guò)程中，即使無(wú)故障發(fā)生，到了規(guī)定的更換工齡T也要進(jìn)行更換，如果未到工齡發(fā)生了故障，則更換新品，并重新記錄該產(chǎn)品的工作時(shí)間。同時(shí)，為了減少故障后維修費(fèi)用，在工齡更換的間隔期內(nèi)會(huì)定期對(duì)裝備進(jìn)行檢測(cè)，因此，本文將對(duì)采用此類復(fù)合維修策略的部件進(jìn)行組合維修研究，并運(yùn)用馬爾可夫決策過(guò)程的相關(guān)理論進(jìn)行求解和優(yōu)化。

2 符號(hào)說(shuō)明和模型假設(shè)

cpi：部件i直接預(yù)防性維修費(fèi)用；

cfi：部件i故障后直接修復(fù)性維修的費(fèi)用；

s：部件i進(jìn)行預(yù)防性更換和修復(fù)性維修的維修準(zhǔn)備費(fèi)用，為一定值且各部件進(jìn)行預(yù)防性更換和修復(fù)性維修的維修準(zhǔn)備費(fèi)用都相等，此外，多個(gè)部件同時(shí)進(jìn)行預(yù)防性更換或修復(fù)性維修時(shí)的維修準(zhǔn)備費(fèi)用也是個(gè)定值，和單個(gè)部件的維修準(zhǔn)備費(fèi)用一致；

Δti：組合維修后部件i維修時(shí)間與原計(jì)劃的變化量，一般為檢測(cè)間隔期的整數(shù)倍，可以是正值也可以為負(fù)值，正值表示維修間隔期增大，即維修時(shí)機(jī)推遲，負(fù)值表示間隔期減小，維修時(shí)機(jī)提前；

ti：組合維修前部件i進(jìn)行工齡更換的初始維修計(jì)劃時(shí)間；：組合維修后部件i進(jìn)行預(yù)防性更換的時(shí)機(jī)；：部件i按照單部件維修決策模型得出的最優(yōu)工齡更換時(shí)間；

Gk：第k個(gè)組合維修；

裝備各部件均為單一故障模式，且各故障發(fā)生相互獨(dú)立；

在定期預(yù)防性維修時(shí)進(jìn)行修復(fù)如新的維修；

預(yù)防性維修和修復(fù)性維修時(shí)間很小，可以忽略不計(jì)；

每次檢測(cè)的費(fèi)用和所用時(shí)間忽略不計(jì)；

維修人員和備件充足。

3 單部件復(fù)合維修決策模型

3.1 單部件復(fù)合維修策略

采用“輔以定期檢測(cè)的工齡更換”的復(fù)合維修策略是指部件的基本維修方式為工齡更換，但在工齡更換的間隔期內(nèi)等間隔的對(duì)部件進(jìn)行檢測(cè)，若檢測(cè)到部件的狀態(tài)超過(guò)了預(yù)防性維修閾值則進(jìn)行預(yù)防性更換，其維修效果和維修方式和工齡更換一致。期間，若部件發(fā)生故障則進(jìn)行修復(fù)性維修，如圖1所示。

圖1 單部件復(fù)合維修策略

3.2 單部件費(fèi)用模型

以往復(fù)合維修策略往往是根據(jù)相應(yīng)的準(zhǔn)則來(lái)確定長(zhǎng)期使用時(shí)各部件的最優(yōu)檢測(cè)間隔期和工齡更換間隔期，但由于部隊(duì)實(shí)際訓(xùn)練的情況和協(xié)調(diào)各方面的工作，此時(shí)得出的檢測(cè)間隔期可能不適應(yīng)實(shí)際需求，往往會(huì)設(shè)定一個(gè)適當(dāng)?shù)臋z測(cè)期，由此來(lái)確定工齡更換的間隔期。

在離散的檢測(cè)點(diǎn)上根據(jù)部件的狀態(tài)來(lái)進(jìn)行維修決策，這些時(shí)刻稱為決策點(diǎn)，由于檢測(cè)的間隔期是相同的，因此，這里一個(gè)檢測(cè)間隔期就相當(dāng)于一個(gè)單位時(shí)間。

當(dāng)一個(gè)部件已正常工作時(shí)間為 jT，則部件已進(jìn)行的檢測(cè)數(shù)為 j次，表示部件i在接下來(lái)的檢測(cè)間隔期內(nèi)發(fā)生故障的概率，即在內(nèi)發(fā)生故障的概率為

根據(jù)更新報(bào)酬理論，可知部件的在單位檢測(cè)間隔期內(nèi)的維修費(fèi)用為［7～8］

通過(guò)對(duì)上式求解可得出使該部件單位時(shí)間維修費(fèi)用最低的最優(yōu)工齡更換間隔期，這里得出的表示檢測(cè)間隔期的數(shù)量，不是具體的時(shí)間數(shù)值，此時(shí)，單位檢測(cè)間隔期內(nèi)維修費(fèi)用的期望值為，這里用來(lái)表示。

4 復(fù)合維修的組合維修決策模型

4.1 復(fù)合維修的組合維修策略

對(duì)于采用上述復(fù)合維修方式的復(fù)雜裝備系統(tǒng)中的多個(gè)部件，各部件進(jìn)行定期檢測(cè)的間隔期相等，但工齡更換間隔期不一定相等。若部件一直采用預(yù)防性更換的更新方式，在某一段時(shí)間內(nèi)可能有多個(gè)部件需要進(jìn)行工齡更換，各部件的工齡更換時(shí)間相差幾個(gè)檢測(cè)間隔期，由于部件僅在檢測(cè)的時(shí)刻進(jìn)行維修，因此，在某個(gè)檢測(cè)時(shí)刻同時(shí)對(duì)多個(gè)部件進(jìn)行工齡更換可以有效地節(jié)省維修準(zhǔn)備費(fèi)用，同時(shí)，能減少裝備系統(tǒng)的停機(jī)時(shí)間，延長(zhǎng)裝備的使用時(shí)間，如圖2所示。

圖2 復(fù)合維修的組合維修策略

4.2 初始維修計(jì)劃

由于是在局部的使用階段內(nèi)對(duì)不同部件的工齡更換進(jìn)行組合維修決策，因此，時(shí)間區(qū)域不應(yīng)太大，且在此時(shí)間段內(nèi)每個(gè)部件僅需要進(jìn)行一次工齡更換，在該時(shí)間段不會(huì)出現(xiàn)一個(gè)部件需做兩次工齡更換工作，因此

4.3 馬爾可夫決策過(guò)程

采用復(fù)合維修策略后，根據(jù)每次檢測(cè)后部件的性能狀態(tài)以及已正常工作的時(shí)間決定部件是否需要進(jìn)行維修、采用怎樣的維修方式等，做出決策后，會(huì)產(chǎn)生相應(yīng)的維修費(fèi)用并影響部件下一階段的狀態(tài)，間隔一個(gè)檢測(cè)間隔期后，再次進(jìn)行檢測(cè)，并根據(jù)部件的性能狀態(tài)來(lái)確定維修方式，如此反復(fù)進(jìn)行，因此，可以運(yùn)用馬爾可夫決策過(guò)程的相關(guān)理論來(lái)描述這一過(guò)程［9～10］。

由馬爾可夫決策過(guò)程易知，部件i在狀態(tài) j時(shí)因采用的維修方式不同而產(chǎn)生的期望維修費(fèi)用為

S表示系統(tǒng)中所有可能的狀態(tài)構(gòu)成的非空的狀態(tài)集，也稱狀態(tài)空間，則。

a表示維修決策活動(dòng)，這里主要是采用三種決策行為，一是不修，保持原狀；二是預(yù)防性更換，預(yù)防性更換指的是部件還未到規(guī)定的時(shí)間，但在檢測(cè)時(shí)發(fā)現(xiàn)部件的性能狀態(tài)超過(guò)了預(yù)防性更換閾值；三是故障后修復(fù)性維修。表示部件i處于狀態(tài) j時(shí)，采用決策a時(shí)所得到的報(bào)酬的期望值。表示采取決策a時(shí)，部件由狀態(tài) j轉(zhuǎn)為狀態(tài)k的概率。其中，當(dāng)k=j+1，。

按照工齡更換的維修策略，依據(jù)控制限策略，易知期望費(fèi)用的表達(dá)式為

4.4 組合優(yōu)化

4.4.1 維修費(fèi)用分析

當(dāng)多個(gè)部件的預(yù)防性更換工作同時(shí)進(jìn)行時(shí)，必然會(huì)導(dǎo)致部分部件的維修時(shí)機(jī)比計(jì)劃要提前或推后，這就會(huì)導(dǎo)致部件的維修費(fèi)用發(fā)生變化。對(duì)于一個(gè)部件來(lái)說(shuō)，如果初始預(yù)定的維修時(shí)間為，維修間隔期增大時(shí)，部件發(fā)生故障的概率增大，增加了修復(fù)性維修的費(fèi)用，這也導(dǎo)致后序的維修計(jì)劃相應(yīng)得也推遲了，但節(jié)省了維修的時(shí)間推遲所產(chǎn)生的費(fèi)用，同理，若維修時(shí)間提前，部件發(fā)生故障的概率降低，減少了修復(fù)性維修的費(fèi)用，但同時(shí)會(huì)增加維修時(shí)間提前所產(chǎn)生的費(fèi)用。若Δti＞0，則h(Δti)表示部件由于推遲維修所產(chǎn)生的費(fèi)用變化，若Δti＜0，則h(Δti)表示部件由于提前維修所產(chǎn)生的費(fèi)用變化。

假設(shè)部件的最優(yōu)預(yù)防性維修間隔期為ai，當(dāng)ai=7，Δti=1，因此，按照新計(jì)劃部件i預(yù)防性維修的時(shí)機(jī)為ai+1，推遲了一個(gè)單位的檢測(cè)間隔期時(shí)間，部件有的概率能在此間隔期內(nèi)正常工作，有的概率在這一時(shí)間區(qū)間發(fā)生故障。在第一種情況下，部件會(huì)處于狀態(tài)8，總期望報(bào)酬為，第二種情況部件處于故障狀態(tài)，期望報(bào)酬為，在部件兩種狀態(tài)的轉(zhuǎn)換間隔期為一個(gè)單位時(shí)間，因此可以節(jié)約的費(fèi)用，因此

其中，bi=cfi-cpi。

因此

其中，。

若將多個(gè)部件同時(shí)進(jìn)行組合維修后，組合內(nèi)各部件的維修時(shí)間都為，即在同一個(gè)組合內(nèi)的預(yù)防性維修活動(dòng)，這些維修活動(dòng)會(huì)在相同的時(shí)間內(nèi)進(jìn)行。

同一組合Gk中由于各個(gè)部件維修時(shí)機(jī)變化所產(chǎn)生的總維修費(fèi)用變化為［11～12］

則，多個(gè)部件同時(shí)進(jìn)行預(yù)防性更換維修活動(dòng)可以節(jié)省的維修準(zhǔn)備費(fèi)用為表示組合中預(yù)防性更換工作數(shù)量。

由式（7）、（8）可得，組合Gk總共可以節(jié)約的費(fèi)用為

4.4.2 可靠性分析

在裝備的使用過(guò)程中，往往對(duì)部件的安全性有較高的要求，這就要求部件在使用期內(nèi)發(fā)生故障的概率要盡量小。組合維修后部件的延遲時(shí)間不能無(wú)限的延長(zhǎng)，必須滿足相應(yīng)的可靠性要求，可靠性是指系統(tǒng)在正常運(yùn)行期間不會(huì)發(fā)生故障的概率，可靠性與故障率的一般關(guān)系為

因此，為了使部件保持較高的可靠度水平，預(yù)防性更換間隔期必須滿足：

Ri0表示部件需要滿足的最低可靠度值。

4.4.3 組合維修決策模型的確定

本文中，組合維修決策的目標(biāo)是在各部件滿足安全性的前提下使組合維修后節(jié)省的維修費(fèi)用最大化，即

5 案例分析

已知某型裝備系統(tǒng)由5個(gè)重要部件組成，各個(gè)部件的故障規(guī)律均服從兩參數(shù)威布爾分布，各部件的特定預(yù)防性維修費(fèi)用、修復(fù)性維修的直接維修費(fèi)用（元）、已工作時(shí)間以及壽命分布的形狀參數(shù)和尺度參數(shù)如表1所示。

表1 各部件的相關(guān)參數(shù)

已知維修準(zhǔn)備費(fèi)用s=30，部件的檢測(cè)間隔期T=15，以每15天作為一個(gè)單位時(shí)間，則根據(jù)式（1），可得出各部件的最優(yōu)工齡更換間隔分別為13、11、10、16和15個(gè)單位檢測(cè)間隔期的時(shí)間，即部件的更換間隔期分別為195天、165天、150天、240天和225天。

圖3 初始維修計(jì)劃

若在t0時(shí)對(duì)該型裝備的預(yù)防性維修工作進(jìn)行組合優(yōu)化，為了便于分析，這里假設(shè)t0=0，根據(jù)此時(shí)各部件的使用情況，依據(jù)式（2）、（3），取 tend=10，則在［0，10］這段時(shí)間內(nèi)，各部件的初始維修計(jì)劃如圖3所示。

由圖3可以看出，在［0，10］期間內(nèi)，在此期間裝備的期望總維修費(fèi)用為

把以上數(shù)據(jù)帶入式（14）可得，在［0，10］期間，系統(tǒng)維修費(fèi)用消耗的期望值為531元。

同理，以各部件發(fā)生故障的概率低于0.2為約束，利用遺傳算法工具箱［13］進(jìn)行求解，優(yōu)化過(guò)程見(jiàn)圖4。

圖4 復(fù)合維修的優(yōu)化過(guò)程

6 結(jié)語(yǔ)

本文針對(duì)復(fù)雜裝備復(fù)合維修工作之間存在的經(jīng)濟(jì)相關(guān)性問(wèn)題，首先利用馬爾可夫決策過(guò)程的相關(guān)理論分析單部件的維修情況，再根據(jù)相應(yīng)的準(zhǔn)則對(duì)部件的預(yù)防性維修工作進(jìn)行組合優(yōu)化，對(duì)部隊(duì)的維修工作有一定的指導(dǎo)、借鑒作用。但是，本文的研究都是基于修復(fù)如舊或修復(fù)如新的假設(shè)，實(shí)際維修還存在不完全維修的情況。同時(shí)，模型的建立基本上都忽略了維修所用的時(shí)間，當(dāng)建立模型將這些因素加以考慮后可進(jìn)一步優(yōu)化組合維修決策模型。