樓京俊 王建午 劉麗濱 楊慶超

（1.海軍工程大學(xué)船舶與海洋學(xué)院 武漢 430033）（2.海軍裝備部駐上海地區(qū)第二軍事代表室 上海 200120）

1 引言

軸系對(duì)中不良時(shí)，在彈性聯(lián)軸器和軸系各連接法蘭處會(huì)產(chǎn)生強(qiáng)烈的不對(duì)中激勵(lì)，這將改變軸系原有的振動(dòng)傳遞和響應(yīng)特性，從而導(dǎo)致軸系異常振動(dòng)［1～4］。目前，關(guān)于軸系校中不良與軸系振動(dòng)特性之間相互影響規(guī)律的研究較多，付波、王延溥、徐俊輝等從軸系不對(duì)中時(shí)的振動(dòng)特性、振動(dòng)診斷與處理方法等角度對(duì)軸系不對(duì)中與軸系振動(dòng)之間的相互關(guān)系進(jìn)行了研究［5～7］；李方、周奇鄭等推導(dǎo)了不對(duì)中狀態(tài)下的軸系振動(dòng)響應(yīng)計(jì)算公式，并分析了不對(duì)中量對(duì)其振動(dòng)響應(yīng)曲線的影響［8～9］；楊俊等分析了三種不對(duì)中情況下彈性聯(lián)軸器的受力狀態(tài)，通過(guò)對(duì)不對(duì)中激勵(lì)力進(jìn)行數(shù)值仿真和臺(tái)架試驗(yàn)研究了軸系不對(duì)中量對(duì)軸系振動(dòng)的影響［10］；蔣義海、吳振宇等以轉(zhuǎn)子不對(duì)中故障平臺(tái)為例，基于計(jì)算機(jī)軟件建立了軸系仿真模型，計(jì)算并分析了不對(duì)中故障下軸系的振動(dòng)響應(yīng)特性［11～12］。

為進(jìn)一步弄清軸系不對(duì)中激勵(lì)力作用下的軸系振動(dòng)特性，掌握軸系校中對(duì)其振動(dòng)特性的影響，本文將對(duì)激勵(lì)力作用下的軸系有限轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行推導(dǎo)，同時(shí)根據(jù)實(shí)船軸系在Abaqus軟件中建立其有限元仿真模型，并對(duì)模型開(kāi)展模態(tài)分析與瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)分析，由此得出不對(duì)中激勵(lì)與軸系振動(dòng)特性之間的相互影響關(guān)系。

2 軸系有限轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)方程

軸系實(shí)質(zhì)上是一個(gè)質(zhì)量連續(xù)分布的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，用有限元法可將其離散化為許多具有若干集總質(zhì)量的多自由度轉(zhuǎn)子單元，這些轉(zhuǎn)子單元按位置與受力狀態(tài)可進(jìn)一步分為兩大類：梁?jiǎn)卧c軸承支承處的的轉(zhuǎn)子單元。

1）梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)恿W(xué)方程

梁?jiǎn)卧Ｐ腿鐖D1所示，每一個(gè)梁?jiǎn)卧加蓛蓚€(gè)節(jié)點(diǎn)組成，每一節(jié)點(diǎn)有沿水平方向位移x、沿豎直方向位移y、繞水平軸旋轉(zhuǎn)角度θx與繞豎直軸旋轉(zhuǎn)角度θy四個(gè)空間自由度。該梁?jiǎn)卧目臻g位移向量可表示為

式中，i、i+1為節(jié)點(diǎn)編號(hào)。

圖1 軸系梁?jiǎn)卧Ｐ蛨D

由拉格朗日法可推導(dǎo)出該梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)恿W(xué)方程：

式中，ML、MR分別為梁?jiǎn)卧灰瀑|(zhì)量矩陣與轉(zhuǎn)角質(zhì)量矩陣，Ca為梁?jiǎn)卧枘峋仃嚕琄A、KB分別為梁?jiǎn)卧獜澢鷦偠扰c軸向剛度矩陣，F(xiàn)a為梁?jiǎn)卧献饔玫牟黄胶饬Α⑼廨d荷等。

2）軸承支承處轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)方程

與梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)恿W(xué)方程類似，線性軸承支承處轉(zhuǎn)子單元?jiǎng)恿W(xué)方程為

式中，yb、Cb、Kb、Fb分別為各軸承支承處轉(zhuǎn)子單元的位移向量、阻尼矩陣、剛度矩陣及外載荷。

綜合各軸系轉(zhuǎn)子單元并將它們的質(zhì)量、剛度、阻尼、受力進(jìn)行等效合并，可得到整個(gè)軸系動(dòng)力學(xué)方程：

上式中，F(xiàn)含軸系各零部件重力、外載荷、軸系不平衡力及不對(duì)中造成的激勵(lì)力。

3 軸系有限元模型的建立

某船舶推進(jìn)軸系結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖如圖2，該軸系由艉至艏依次為螺旋槳、艉軸、艉后軸承、艉中軸承、艉前軸承、推力軸、推力軸承、彈性聯(lián)軸器、經(jīng)航電機(jī)、中間軸、中間軸承、輪胎離合器。

圖2 某船舶推進(jìn)軸系結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖

表1 軸系基本參數(shù)表

對(duì)上述推進(jìn)軸系進(jìn)行合理簡(jiǎn)化并在Abaqus中建立其仿真模型，用到的軸系基本參數(shù)如表1；建模時(shí)采用三維可變形梁來(lái)模擬軸系，用Springs單元來(lái)模擬各支承軸承，螺旋槳用實(shí)體七葉槳進(jìn)行模擬，軸系各零部件用點(diǎn)質(zhì)量進(jìn)行模擬并施加于對(duì)應(yīng)位置；由于軸系艏端以輪胎離合器與主推進(jìn)裝置相連，在建模時(shí)將其作簡(jiǎn)支處理；在各質(zhì)量集中單元處對(duì)軸系進(jìn)行分段處理，并在分割節(jié)點(diǎn)處設(shè)置點(diǎn)質(zhì)量/慣性值用以賦予各部件質(zhì)量屬性；另外，在各軸承支承處創(chuàng)建參考點(diǎn)，用于模擬軸承基座并固定軸系。

在幾何模型中首先根據(jù)軸系基本參數(shù)表設(shè)置其材料、截面屬性及各零部件點(diǎn)質(zhì)量，然后設(shè)置各軸承線性彈簧/阻尼連接器剛度。在連接器剛度設(shè)置時(shí)應(yīng)注意計(jì)入各軸承工作長(zhǎng)度對(duì)支撐彈簧數(shù)量的影響，此處用3個(gè)等間隔垂向和水平彈簧模擬艉后軸承，用2個(gè)等間隔垂向和水平彈簧模擬艉中、艉前軸承，用1個(gè)垂向和水平彈簧模擬中間軸承；推力軸承在設(shè)置時(shí)不但要計(jì)入水平、豎直方向的剛度，還需計(jì)入縱向剛度的影響，故用1個(gè)水平、1個(gè)垂向和1個(gè)縱向彈簧進(jìn)行模擬。此外，由于艉后軸承離螺旋槳較近，受螺旋槳“懸臂作用”影響明顯，一般具有較大軸承負(fù)載，因此在賦值時(shí)常將其垂向油膜剛度設(shè)置得比水平方向油膜剛度稍大，而使其他各軸承垂向剛度與水平剛度保持一致。各軸承剛度設(shè)定值見(jiàn)同表1。

根據(jù)實(shí)際情況，在各軸承支座模擬結(jié)點(diǎn)上施加固支邊界條件，同時(shí)在螺旋槳中心處設(shè)置一參考點(diǎn)，并將該參考點(diǎn)與軸系相應(yīng)結(jié)點(diǎn)建立coupling約束。最后對(duì)設(shè)定好的軸系幾何模型進(jìn)行網(wǎng)格劃分與單元類型設(shè)置，得到其有限元模型如圖3，其中軸段上共生成了223個(gè)結(jié)點(diǎn)和212個(gè)單元。

圖3 軸系有限元模型示意圖

4 不對(duì)中激勵(lì)作用下軸系振動(dòng)特性分析

4.1 軸系模態(tài)分析

各激振力在傳遞過(guò)程中首先要經(jīng)過(guò)軸系，軸系的固有特性會(huì)對(duì)各激振力產(chǎn)生不同程度的放大或減弱效果，因而對(duì)軸系開(kāi)展模態(tài)分析以弄清軸系本身固有特性是研究不同激勵(lì)力作用下軸系振動(dòng)特性的前提。

在模型中建立頻率分析步，采用Lanczos法對(duì)軸系模態(tài)振型和頻率進(jìn)行求解。計(jì)算得到軸系一、二、三階縱振振型如圖4所示，其對(duì)應(yīng)模態(tài)頻率分別為 40.30Hz、90.34Hz、180.05Hz，由圖可知，軸系一階縱振振型最大變形處主要集中在艉軸中部，二階縱振主要集中在在中間軸附近，三階縱振主要集中在艉軸艏端。

圖4 軸系縱振振型圖

軸系前4階橫振振型如圖5所示，對(duì)應(yīng)模態(tài)頻率分別為 8.69Hz、12.51Hz、18.29Hz、20Hz，一階橫振變形主要發(fā)生在艉軸靠近螺旋槳一端，二階橫振主要發(fā)生在在中間軸承附近，三、四階橫振主要發(fā)生在艉軸和中間軸上，各橫振節(jié)點(diǎn)基本位于軸承支承處。

4.2 不對(duì)中激勵(lì)作用下軸系振動(dòng)響應(yīng)分析

從模態(tài)分析得到的各階振型圖可以看出，不同頻率激勵(lì)力作用下，軸系各連接法蘭和彈性聯(lián)軸器處均會(huì)發(fā)生較大變形，這將改變軸系的校中狀態(tài)和工作性能。軸系聯(lián)軸器不對(duì)中是指其兩端轉(zhuǎn)子中心存在一定的位移或角度偏差，主要分為三種型式：平行不對(duì)中、角度不對(duì)中和綜合不對(duì)中，不對(duì)中聯(lián)軸器對(duì)軸系振動(dòng)產(chǎn)生的激勵(lì)作用主要體現(xiàn)在其兩側(cè)節(jié)點(diǎn)會(huì)產(chǎn)生額外不對(duì)中激勵(lì)力矩，該激勵(lì)力矩最終以反作用力的形式作用在軸系上并引發(fā)軸系振動(dòng)；這種不對(duì)中激勵(lì)復(fù)雜且難以定量計(jì)算，它會(huì)隨著軸系運(yùn)轉(zhuǎn)工況、聯(lián)軸器在軸系中的位置以及不對(duì)中量的不同而發(fā)生改變。

圖5 軸系橫振振型圖

由文獻(xiàn)8中相關(guān)理論可知，軸系不對(duì)中產(chǎn)生的激勵(lì)力為周期力，其主要諧波分量為軸系工作頻率的1倍頻與2倍頻。在Abaqus中進(jìn)行仿真時(shí)，需要先根據(jù)模態(tài)分析得到各軸系固有頻率fi并按公式：ni=60fi求解出軸系臨界轉(zhuǎn)速ni，以避免設(shè)定的工作轉(zhuǎn)速與臨界轉(zhuǎn)速相重合而引起共振；因此，在模型中把軸系工作轉(zhuǎn)速設(shè)定為15r/s，同時(shí)將軸系不對(duì)中激勵(lì)力分解為x、y兩個(gè)方向上的諧波分量有：Fy=A1coswt+A2cos2wt和 Fx=A1sinwt+A2sin2wt。按照上述諧波分量表達(dá)式將單位不對(duì)中激勵(lì)施加在聯(lián)軸器相應(yīng)節(jié)點(diǎn)位置，并對(duì)軸系進(jìn)行瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)分析，以艉軸中間點(diǎn)為響應(yīng)考察點(diǎn)，計(jì)算得到軸系振動(dòng)響應(yīng)曲線如圖6，其中，圖6（a）、6（c）、6（e）為考察點(diǎn)三個(gè)方向振動(dòng)響應(yīng)時(shí)域圖，對(duì)它們分別進(jìn)行傅里葉變換得到考察點(diǎn)振動(dòng)響應(yīng)頻譜圖如圖6（b）、6（d）、6（f）。

由圖6（a）、6（c）、6（e）可知，不對(duì)中激勵(lì)力作用下軸系豎直、水平方向上的振動(dòng)響應(yīng)幅值比縱向振動(dòng)大了約兩個(gè)數(shù)量級(jí)，這表明聯(lián)軸器不對(duì)中激勵(lì)在軸系上的傳遞途徑主要沿各軸承水平方向與豎直方向，只有小部分以縱向傳遞的方式由各軸承基座傳遞給船體；從圖6（b）可以看出，不對(duì)中激勵(lì)力作用下軸系縱向振動(dòng)響應(yīng)峰值主要出現(xiàn)在26Hz、30Hz、32Hz、40Hz、42Hz、103Hz、131Hz及180Hz等處，結(jié)合模態(tài)分析結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)：26Hz、32Hz、42Hz、131Hz為軸系橫振固有頻率，40Hz、180Hz為軸系縱振固有頻率，103Hz為螺旋槳模態(tài)頻率，又因?yàn)檩S系轉(zhuǎn)頻為15r/s，縱振響應(yīng)曲線在30Hz出現(xiàn)了最高峰值，這表明軸系不對(duì)中激勵(lì)在沿縱向傳遞時(shí)，傳遞形式主要為其2倍轉(zhuǎn)頻分量；與圖6（b）分析過(guò)程類似，發(fā)現(xiàn)在圖6（d）、6（f）中，不對(duì)中激勵(lì)力作用下軸系豎直、水平方向的振動(dòng)響應(yīng)峰值除了出現(xiàn)在各結(jié)構(gòu)固有頻率處，在15Hz、30Hz也分別出現(xiàn)了較強(qiáng)烈的響應(yīng)峰值，其中30Hz處還出現(xiàn)了最高峰值，由此可見(jiàn)，軸系不對(duì)中激勵(lì)在沿豎直、水平方向傳遞時(shí)，傳遞形式為其1倍轉(zhuǎn)頻分量與2倍轉(zhuǎn)頻分量且以2倍轉(zhuǎn)頻為主要頻譜。綜上所述，不對(duì)中激勵(lì)下軸系頻率響應(yīng)峰值主要在1倍轉(zhuǎn)頻與2倍轉(zhuǎn)頻處，分別為15Hz、30Hz，仿真結(jié)果與理論值基本一致。

5 結(jié)語(yǔ)

利用有限單元法將軸系離散成了多個(gè)具有集總質(zhì)量的轉(zhuǎn)子單元，同時(shí)推導(dǎo)出了各轉(zhuǎn)子單元及整個(gè)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程；在此基礎(chǔ)上以某實(shí)船軸系為例，在Abaqus中搭建了軸系有限元仿真模型，通過(guò)對(duì)模型開(kāi)展模態(tài)和瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)分析，得到了軸系各階模態(tài)振型、固有頻率及不對(duì)中激勵(lì)力作用下的軸系振動(dòng)響應(yīng)曲線，通過(guò)對(duì)比研究發(fā)現(xiàn)不對(duì)中激勵(lì)作用下軸系的振動(dòng)響應(yīng)頻譜主要表現(xiàn)為1倍轉(zhuǎn)頻與2倍轉(zhuǎn)頻的特征，其中2倍轉(zhuǎn)頻為主要分量且能通過(guò)縱振、橫振相結(jié)合的方式進(jìn)行傳遞，1倍轉(zhuǎn)頻則主要通過(guò)軸系橫振的方式進(jìn)行傳遞，這與理論分析基本相符，驗(yàn)證了該仿真模型的正確有效性。

圖6 不對(duì)中激勵(lì)力作用下軸系振動(dòng)響應(yīng)