李繼猛，楊甲山

(1. 邵陽學(xué)院理學(xué)院， 湖南 邵陽 422004； 2. 梧州學(xué)院大數(shù)據(jù)與軟件工程學(xué)院， 廣西 梧州 543002)

本文研究時(shí)間尺度T上一類具阻尼項(xiàng)的二階半線性時(shí)滯動(dòng)力方程[1]

[a(t)|xΔ(t)|λ-1xΔ(t)]Δ+

b(t)|xΔ(t)|λ-1xΔ(t)+p(t)|

x(δ(t))|λ-1x(δ(t))=0,t∈T

(1)

的振動(dòng)性,其中常數(shù)λ≥1為兩個(gè)正奇數(shù)之商。 方程(1)的解及其振動(dòng)性的定義, 可參見文[1-2]。 本文總假設(shè):

(H1):T為任意時(shí)間尺度,且supT=∞。設(shè)t0∈T且t0>0,則[t0,∞)T=[t0,∞)∩T為時(shí)間尺度區(qū)間。

(H2): 時(shí)滯函數(shù)δ:T→T嚴(yán)格遞增且可微,并且滿足

δ(T)=T。

(H3): 函數(shù)a,b,p∈Crd(T,(0,∞))，即它們均是正的實(shí)值rd-連續(xù)函數(shù)，且滿足-b/a∈R+。

最近,關(guān)于時(shí)間尺度上動(dòng)力方程的振動(dòng)性的研究出現(xiàn)了很多成果[1-18]。如文[1-3,5]分別在條件

(C1)

和

(C2)

下對(duì)方程(1)的振動(dòng)性作了非常細(xì)致的研究,得到了一系列非常有價(jià)值的研究成果。主要結(jié)論如下:

定理A[1]假設(shè)條件(H1)～(H3)及(C1)成立,如果有一個(gè)正的可微函數(shù)φ:T→R使得

φ(s)Δs=∞

(C3)

則方程(1)在[t0,∞)T上是振動(dòng)的。

定理B[1]假設(shè)條件(H1)～(H3)及(C2)成立, 并且

(C4)

如果有一個(gè)正的可微函數(shù)φ:T→R使得條件(C3)也成立,則在[t0,∞)T上方程(1)的每一個(gè)解x(t)或者振動(dòng)或者收斂于0。

定理C[5]假設(shè)條件(H1)～(H3)及(C2)成立, 并且

(C5)

這是文[5]的定理4.3,由此條件(C5)就可得到方程(1)在條件(C2)成立時(shí)的其它種種類型的振動(dòng)準(zhǔn)則[3,5]。但值得注意的是,對(duì)于Euler(歐拉)方程

(t2x′(t))′+p0x(t)=0,t≥1

(E)

基于以上的研究和考慮,我們將在方程為非正則情形即在(C2)成立的條件下建立方程(1)振動(dòng)的新準(zhǔn)則, 推廣、改進(jìn)并完善現(xiàn)有文獻(xiàn)中的一系列結(jié)果。

1 主要結(jié)果及證明

引理1(Keller連鎖法則)[6]若f:R→R是連續(xù)可微的,g:T→R是Δ可導(dǎo)的, 則f°g:T→R是Δ可導(dǎo)的, 且

由此引理可得, 當(dāng)x(t)是Δ-可微的且最終為正或最終為負(fù), 則有下式成立:

(2)

這也是Keller連鎖法則的一個(gè)推論。

引理3[15]設(shè)γ≥1是2個(gè)正奇數(shù)之商,a和b是實(shí)數(shù)且ab≥0,則

(3)

其中函數(shù)θ(t),Φ(t)及Θ(t)的定義如下:

Φ(t)=p(t)-[ξ(t)a(t)]Δ-

則方程(1)在[t0,∞)T上是振動(dòng)的。

證明不失一般性, 反設(shè)方程(1)在[t0,∞)T上有一個(gè)最終正解x(t)(若x(t)為最終負(fù)解時(shí)類似可證), 則存在t1∈[t0,∞)T, 使得x(t)>0及x(δ(t))>0(t∈[t1,∞)T)。于是,由方程(1)知,當(dāng)t∈[t1,∞)T時(shí)

(a(t)|xΔ(t)|λ-1xΔ(t))Δ+

b(t)|xΔ(t)|λ-1xΔ(t)=

-p(t)xλ(δ(t))<0

(4)

情形(i)：xΔ(t)>0(t∈[t1,+∞)T)。這種情形完全和文[1]中定理4.1的證明相同,得到一個(gè)與條件(C3)矛盾的結(jié)果。

情形(ii)：xΔ(t)<0(t∈[t1,+∞)T)。令

(5)

(6)

令u→∞,得

(7)

由于0

(8)

由式(2)及xΔ(t)<0, 容易推得

(9)

進(jìn)一步, 由式(8)得

xλ(t)≥a(t)(-xΔ(t))λθλ(t)

注意到λ≥1為兩個(gè)正奇數(shù)之商,故上式進(jìn)一步可寫成

(10)

令

t∈[t1,+∞)T

(11)

則根據(jù)式(10),不難看出v(t)≥0(t∈[t1,+∞)T)。分別注意到式(4), 式(9)的第1個(gè)式子, 式(10)及xΔ(t)<0,由式(11), 就有

[ξ(t)a(t)]Δ-p(t)ψ(σ(t))-

[ξ(t)a(t)]Δ-p(t)ψ(σ(t))+

(12)

將引理3中的不等式改成

(13)

注意到θΔ(t)=-[a-1(t)e-b/a(t,t0)]1/λ, 所以利用式(7),就有

現(xiàn)將上式及式(13)代入式(12), 并考慮到函數(shù)Φ(t)和Θ(t)的定義,就有

ψ(σ(t))a(t)ξ(λ+1)/λ(t)+

-ψ(σ(t))Φ(t)+Θ(t)v(t)-

(14)

將引理2用于式(14),得

于是

-v(t)+v(t1)≤v(t1)

與條件(3)矛盾。定理證畢。

現(xiàn)記D0={(t,s):t>s≥t0,t,s∈T},D={(t,s):t≥s≥t0,t,s∈T}, 若函數(shù)H(t,s)∈Crd(D,R), 使得

(i)H(t,t)=0,t≥t0;H(t,s)>0,(t,s)∈D0;

(ii)H(t,s)在D0上對(duì)s有連續(xù)且非正的偏導(dǎo)數(shù), 即HΔs(t,s)∈Crd且HΔs(t,s)≤0,

則稱函數(shù)H(t,s)屬于集合Ω,記為H∈Ω。

(15)

其中常數(shù)t1≥t0, 函數(shù)θ(t),Φ(t)和Θ(t)的定義如定理1, 則方程(1)在[t0,∞)T上是振動(dòng)的。

證明不失一般性, 反設(shè)方程(1)在[t0,∞)T上有一個(gè)最終正解x(t)(若x(t)為最終負(fù)解時(shí)類似可證), 則存在t1∈[t0,∞)T, 使得x(t)>0及x(δ(t))>0(t∈[t1,∞)T)。由定理1的證明知, 只有下列兩種情形：

(i)xΔ(t)>0,t∈[t1,∞)T；(ii)xΔ(t)<0,t∈[t1,∞)T

情形(i)：xΔ(t)>0(t∈[t1,+∞)T)。這種情形完全和文[1]中定理4.1的證明相同,得到一個(gè)與條件(C3)矛盾的結(jié)果。

情形(ii)：xΔ(t)<0(t∈[t1,+∞)T)。此時(shí)由定理1證明得式(14),將式(14)兩邊同乘以H(t,σ(s))后再積分,并利用時(shí)間尺度上的分部積分公式及引理2,可得

H(t,t1)v(t1)+

整理,得

H(t,t1)v(t1)≤H(t,t0)v(t1)

即

這與條件(15)矛盾。定理證畢。

2 例子分析

例1考慮二階Euler微分方程(E):

(t2x′(t))′+p0x(t)=0,t≥1

(E)

其中常數(shù)p0>0。 令a(t)=t2,b(t)≡0,p(t)=p0,δ(t)=t,λ=1,顯然條件(H1)～(H3)及(C2)都滿足。 注意到T=R,則

取φ(t)=1,則

即條件(C3)是滿足的。

另一方面, 若取

則容易求得

于是當(dāng)p0>1/4時(shí),有

因此定理2的條件全部滿足, 于是當(dāng)p0>1/4時(shí)方程(E)振動(dòng)。

注1我們也可以用定理1來判別方程(E)的振動(dòng)性,所得結(jié)論是一樣的,而且計(jì)算更簡(jiǎn)單。

例2考慮下列動(dòng)力方程(二階2-差分方程):

t∈T=2z,t≥2

(16)

其中常數(shù)α>0。

顯然,這相當(dāng)于方程(1)中的

λ=1,t0=2。由于e-b/a(t,t0)=1，所以

令φ(t)=1,則有

因此條件(H1)～(H3)及(C2)和(C3)顯然都滿足。

另一方面,由于σ(t)=2t,且

于是由定理1知,當(dāng)α>1/8時(shí)方程(16)是振動(dòng)的。

注3顯然,若用文[1-16]中的定理,則要么條件不滿足,要么得到的結(jié)果不理想。因此,本文定理改進(jìn)且豐富了現(xiàn)有文獻(xiàn)中的結(jié)果。