艾永樂(lè)，韓朝陽(yáng)，李 帥，姜志彬，武稼祥

(河南理工大學(xué)電氣工程與自動(dòng)化學(xué)院，河南 焦作 454150)

隨著電力電子技術(shù)的快速發(fā)展，大量的新興電力電子裝置以及傳統(tǒng)的鐵磁元件、電弧爐等非線(xiàn)性用電設(shè)備也在冶金、化工等領(lǐng)域得到了大量應(yīng)用。這些非線(xiàn)性設(shè)備的存在使得電網(wǎng)中不可避免的存在著大量的諧波，即存在著諧振激勵(lì)源。電力系統(tǒng)正常運(yùn)行時(shí)，系統(tǒng)阻抗呈感性，考慮到無(wú)功補(bǔ)償電容器和高壓輸電線(xiàn)電容的存在，因此系統(tǒng)中存在串并聯(lián)諧振點(diǎn)。當(dāng)激勵(lì)源與諧振點(diǎn)合拍時(shí)，電力系統(tǒng)將會(huì)發(fā)生諧振現(xiàn)象，危害系統(tǒng)的正常運(yùn)行和電力設(shè)備的安全[1-3]。因此，全面、快速、準(zhǔn)確識(shí)別串并聯(lián)諧振點(diǎn)，對(duì)于電力系統(tǒng)諧波諧振分析有重大意義。

目前，國(guó)內(nèi)外普遍認(rèn)為解析法和頻譜分析法是準(zhǔn)確識(shí)別串并聯(lián)諧振存在并確定串并聯(lián)諧振點(diǎn)的通用方法[4-5]。對(duì)于目前的復(fù)雜電力網(wǎng)絡(luò)，解析法無(wú)法適用。文獻(xiàn)[6-7]提出了諧振模態(tài)分析法(Resonance Mode Analysis，RMA)，通過(guò)對(duì)網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣特征值的分解，得到相應(yīng)模態(tài)的阻抗、模態(tài)電壓和模態(tài)電流，解耦了各節(jié)點(diǎn)之間的耦合，很好地識(shí)別出并聯(lián)諧振并分析了相關(guān)諧振的信息。但是，該方法無(wú)法識(shí)別和分析串聯(lián)諧振。文獻(xiàn)[8-9]提出了回路模態(tài)分析法分析串聯(lián)諧振；但，該方法仍不能識(shí)別支路串聯(lián)諧振點(diǎn)。文獻(xiàn)[10]提出了一種將模態(tài)法與虛擬支路法相結(jié)合的串聯(lián)諧振分析方法；該方法通過(guò)在各節(jié)點(diǎn)添加虛擬支路，從而保證網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)不變，同時(shí)借用模態(tài)法使用特征值分解的思想，進(jìn)而識(shí)別出了串聯(lián)諧振；但是，在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中很難建立回路阻抗矩陣。同時(shí)，添加虛擬支路成倍的增加了回路阻抗矩陣的規(guī)模。文獻(xiàn)[11-12]提出了支路法分析串聯(lián)諧振，但是其識(shí)別的諧振點(diǎn)與模態(tài)分析法(RMA)的相同，仍是并聯(lián)諧振。文獻(xiàn)[13]通過(guò)對(duì)諧波源進(jìn)行戴維南-諾頓等效變換，提出了改進(jìn)的虛擬支路法，該方法使用節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣分析串聯(lián)諧振，避免了重新建立回路阻抗矩陣，減少了計(jì)算量；但該方法仍需建立支路導(dǎo)納矩陣和支路節(jié)點(diǎn)關(guān)系矩陣，且它是從單條支路出發(fā)考察串聯(lián)諧振。而，并聯(lián)和串聯(lián)諧振都是由幾條支路元件的相互作用引起的，單單從單條支路識(shí)別串聯(lián)諧振將會(huì)無(wú)法進(jìn)一步分析諧振性質(zhì)。文獻(xiàn)[14]提出了一種利用電容器掃描識(shí)別并聯(lián)諧振的方法，為無(wú)功補(bǔ)償電容器避免諧振安裝提供了理論依據(jù)。本文從串并聯(lián)的定義出發(fā)，分析指出了電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)中的串聯(lián)諧振應(yīng)分為回路串聯(lián)諧振和支路串聯(lián)諧振。同時(shí)，通過(guò)針對(duì)電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)回路串聯(lián)諧振和并聯(lián)諧振的分析，發(fā)現(xiàn)：由于電力系統(tǒng)輸電線(xiàn)路的特性，即線(xiàn)路阻抗比(R/X)較小，導(dǎo)致回路串聯(lián)諧振點(diǎn)和并聯(lián)諧振點(diǎn)幾乎重合。最后，利用修正節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣的模態(tài)法，通過(guò)添加虛擬支路識(shí)別支路串聯(lián)諧振。

1 模態(tài)法諧振識(shí)別分析

1.1 模態(tài)法基本概念

由文獻(xiàn)[7-8]可知：模態(tài)法(RMA)假設(shè)在頻率為f時(shí)，系統(tǒng)發(fā)生并聯(lián)諧振；由式(1)可求得該頻率節(jié)點(diǎn)電壓向量中的某些元素會(huì)出現(xiàn)的極大值。

(1)

式中，Yf為系統(tǒng)在頻率f下的節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣；Uf、If分別為系統(tǒng)在頻率f下的節(jié)點(diǎn)電壓向量和節(jié)點(diǎn)注入電流向量。為了簡(jiǎn)便，以下將省略下標(biāo)f。發(fā)生并聯(lián)諧振會(huì)導(dǎo)致某些節(jié)點(diǎn)電壓非常大，意味著形成的節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣接近奇異。因此，可以使用特征值分解技術(shù)研究接近奇異的節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣。將矩陣Y進(jìn)行特征值分解，如式(2)所示。

Y=LΛT

(2)

式中，Λ為特征值矩陣；L、T分別為左、右特征向量矩陣，且L=T-1。將式(2)代入式(1)得：

U=LΛ-1TI?TU=Λ-1TI

(3)

定義Um=TU為模態(tài)電壓向量，Im=TI為模態(tài)電流向量，Zm=Λ-1為模態(tài)阻抗矩陣。因此，式(3)可以表達(dá)為：

(4)

1.2 節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣法進(jìn)行模態(tài)分析

當(dāng)系統(tǒng)存在頻率為f的并聯(lián)諧振時(shí)，只要在相關(guān)節(jié)點(diǎn)(母線(xiàn))注入很小的該頻率諧波電流，就會(huì)引起非常大的諧波電壓，且此時(shí)對(duì)應(yīng)的模態(tài)阻抗矩陣Zm=Λ-1中有一較大值。如圖1所示的三節(jié)點(diǎn)測(cè)試系統(tǒng)，其各支路參數(shù)均已標(biāo)注在系統(tǒng)圖中。建立其節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣，利用模態(tài)法分析其并聯(lián)諧振。所建立的模態(tài)阻抗曲線(xiàn)如圖2所示。由圖2可知，系統(tǒng)存在三個(gè)并聯(lián)諧振點(diǎn)，分別為4.58、18.96和29.54。通過(guò)搭建matlab/simulink仿真電路進(jìn)行阻抗頻譜掃描，得到的并聯(lián)諧振點(diǎn)與模態(tài)法一致。

圖1 三節(jié)點(diǎn)測(cè)試系統(tǒng)Fig.1 Three node test system

圖2 模態(tài)阻抗曲線(xiàn)Fig.2 Modal impedance curve

1.3 回路阻抗矩陣法進(jìn)行模態(tài)分析

由諧振理論可知，電路等效導(dǎo)納最小時(shí)發(fā)生并聯(lián)諧振，引起過(guò)電壓；電路等效阻抗最小時(shí)發(fā)生串聯(lián)諧振，引起過(guò)電流。由于電流的產(chǎn)生離不開(kāi)回路，串聯(lián)諧振過(guò)電流的產(chǎn)生意味著某一回路阻抗出現(xiàn)了最小值，因此串聯(lián)諧振與系統(tǒng)回路密切相關(guān)，而非僅與母線(xiàn)(節(jié)點(diǎn))和支路相關(guān)。因此，使用模態(tài)法進(jìn)行串聯(lián)諧振分析時(shí)，要建立系統(tǒng)的回路阻抗矩陣，其對(duì)應(yīng)的等式為：

(5)

式中，Zloop為回路阻抗矩陣；Iloop為回路電流向量(后面為簡(jiǎn)便將省略下標(biāo)loop)；E為回路電壓向量。

針對(duì)圖1所示的三節(jié)點(diǎn)測(cè)試系統(tǒng)，所建立的回路阻抗矩陣以loop1、loop2和loop3為基本回路，且基本回路的電流方向?yàn)閳D中所標(biāo)注的方向。利用模態(tài)法分析其回路串聯(lián)諧振，其模態(tài)等式為：

(6)

式中，Jm為模態(tài)回路電流向量；Ym為模態(tài)回路導(dǎo)納矩陣；Vm為模態(tài)回路電壓向量。由式(6)可以看出，回路各模態(tài)之間同樣實(shí)現(xiàn)了“解耦”。同時(shí)，若某一模態(tài)導(dǎo)納(如λ1)非常小或等于零，這時(shí)即使施加很小的模態(tài)電壓(vm1)，也將會(huì)引起很大的模態(tài)電流(ZL=jXL)。利用這個(gè)特性，根據(jù)式(6)建立模態(tài)導(dǎo)納曲線(xiàn)，如圖3所示。由圖3可知，系統(tǒng)存在三個(gè)回路串聯(lián)諧振點(diǎn)，分別為4.58、18.96和29.54。

圖3 模態(tài)導(dǎo)納曲線(xiàn)Fig.3 Modal admittance curve

2 理論分析

2.1 單節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)模型

由圖2-3可以看出，使用節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣分析識(shí)別的并聯(lián)諧振點(diǎn)和使用回路阻抗矩陣分析識(shí)別的串聯(lián)諧振點(diǎn)一樣。下面，通過(guò)如圖4所示的單節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)說(shuō)明該結(jié)果產(chǎn)生的原因。

圖4 單節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)Fig.4 Single node system

2.2 討論與分析

假設(shè)圖4中ZL=jXL、YC=jB、Zline=jXline，則loop回路在頻率為時(shí)，對(duì)應(yīng)的回路阻抗Zloop(h)為：

(7)

當(dāng)回路發(fā)生串聯(lián)諧振時(shí)，即|Zloop(h)|最小時(shí)的頻率hseries為：

(8)

(9)

當(dāng)節(jié)點(diǎn)發(fā)生并聯(lián)諧振時(shí)，即|Ybus(h)|最小時(shí)的頻率hparallel為：

(10)

由式(8)和(10)可知，當(dāng)系統(tǒng)各支路參數(shù)僅有虛部項(xiàng)時(shí)，系統(tǒng)的并聯(lián)諧振點(diǎn)和串聯(lián)諧振點(diǎn)為同一諧振點(diǎn)。

(11)

(12)

假設(shè)hseries和hparallel分別對(duì)應(yīng)著|Zloop(h)|和|Ybus(h)|最小時(shí)的頻率，即hseries和hparallel分別對(duì)應(yīng)著回路串聯(lián)諧振頻率和節(jié)點(diǎn)并聯(lián)諧振頻率。對(duì)于輸電系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)，圖4中ZL對(duì)應(yīng)著負(fù)荷阻抗，令XL=5Ω、α1=(0～10)；YC對(duì)應(yīng)著無(wú)功補(bǔ)償電容器，令B=0.1S；Zline對(duì)應(yīng)著線(xiàn)路阻抗，令Xline=1Ω、α2=(0～1)。則hseries-hparallel與α1、α2的關(guān)系圖如圖5所示。

圖5 hseries-hparallel與α1、α2的關(guān)系圖Fig.5 A diagram of the relationship between hseries-hparallel and α1,α2

由圖5可以看出，隨著輸電線(xiàn)路阻抗Zline的阻抗比α2增大，hseries-hparallel的值也越來(lái)越大，即串聯(lián)諧振點(diǎn)與并聯(lián)諧振點(diǎn)偏離越大，但總體來(lái)看最大差值不大于3%。對(duì)圖1所示的三節(jié)點(diǎn)測(cè)試系統(tǒng)的參數(shù)進(jìn)行修改，令Z1=3+0.3j、Z2=3+0.3j、X1=2+0.2j。同樣，建立節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣，進(jìn)行并聯(lián)諧振模態(tài)分析；建立回路阻抗矩陣，進(jìn)行串聯(lián)諧振模態(tài)分析，對(duì)應(yīng)的模態(tài)曲線(xiàn)如圖6所示。

圖6 模態(tài)阻抗和模態(tài)導(dǎo)納曲線(xiàn)Fig.6 Modal impedance and modal admittance curve

由圖6可以看出，由于增大了支路參數(shù)的阻抗比，使用節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣模態(tài)法識(shí)別出的并聯(lián)諧振點(diǎn)與使用回路阻抗矩陣模態(tài)法識(shí)別出的串聯(lián)諧振點(diǎn)已不重合。因此，使用回路阻抗矩陣模態(tài)法識(shí)別回路串聯(lián)諧振的分析是正確的。經(jīng)過(guò)以上三種情況的分析，可以得到如下結(jié)論：對(duì)于高壓輸電網(wǎng)絡(luò)，因其線(xiàn)路阻抗比(R/X)較小，所以其對(duì)應(yīng)的回路串聯(lián)諧振點(diǎn)和并聯(lián)諧振點(diǎn)將會(huì)重合，在這種情況下發(fā)生的諧振不僅會(huì)產(chǎn)生過(guò)電壓危害，還會(huì)產(chǎn)生過(guò)電流危害，需要特別注意。

3 修正節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣的模態(tài)法

由第一節(jié)的分析可知，對(duì)于電力系統(tǒng)回路串聯(lián)諧振的識(shí)別可以轉(zhuǎn)化為節(jié)點(diǎn)并聯(lián)諧振的識(shí)別。同時(shí)，電力系統(tǒng)中不但有回路串聯(lián)諧振，也會(huì)存在支路串聯(lián)諧振(也可稱(chēng)為端口串聯(lián)諧振)。如圖4中的端口a-b、支路Zline與負(fù)載形成支路串聯(lián)回路，由于該“回路”并不是真正意義上的回路，若要分析其形成的支路串聯(lián)諧振，則需在端口添加一條導(dǎo)納值極大的支路(即理想導(dǎo)線(xiàn)支路)形成回路，然后才能分析其諧振現(xiàn)象。轉(zhuǎn)化過(guò)程如圖7所示。

圖7 諧振轉(zhuǎn)化識(shí)別流程圖Fig.7 Flow chart of resonance conversion recognition

對(duì)于電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)，可以通過(guò)修改其形成的節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣(Y)，來(lái)實(shí)現(xiàn)虛擬支路的添加，其修正節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣公式如式(13)所示。

(13)

式中，ykk為導(dǎo)納矩陣的第k個(gè)對(duì)角元素；X1+B3為虛擬支路的導(dǎo)納值；上標(biāo)k表示虛擬支路X1+B2∥(Z2+B1∥Z1)一次連接在節(jié)點(diǎn)Z2+B1∥Z1，且每次計(jì)算虛擬支路Z2+B2∥(X1+B3)只能添加在一個(gè)節(jié)點(diǎn)與參考節(jié)點(diǎn)間。因此，本文所提方法與節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣模態(tài)法相比，在建立系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)矩陣方面，基本沒(méi)有增加任何工作量，僅增加了修正節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣這一步驟。同時(shí)，本文所提方法也可認(rèn)為是模態(tài)分析法的一種拓展，它完善了模態(tài)法分析系統(tǒng)的串并聯(lián)諧振體系。其中，修正節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣的算法流程如圖8所示。

圖8 算法流程圖Fig.8 Algorithm flow chart

使用頻譜分析法和本文所提方法分析圖1所示三節(jié)點(diǎn)測(cè)試系統(tǒng)的支路串聯(lián)諧振，結(jié)果如圖9所示。

由圖9可以看出，測(cè)試系統(tǒng)存在六個(gè)支路串聯(lián)諧振點(diǎn)，使用本文所提方法識(shí)別出了六個(gè)支路串聯(lián)諧振點(diǎn)；同時(shí)，由于系統(tǒng)阻抗比(R/X)較小，所以識(shí)別出的支路串聯(lián)諧振點(diǎn)并沒(méi)有誤差，能準(zhǔn)確識(shí)別。圖9(b)中“branch 1 model 2”代表在該節(jié)點(diǎn)1與參考節(jié)點(diǎn)(地節(jié)點(diǎn))之間添加虛擬支路，由模態(tài)2識(shí)別出的諧振點(diǎn)。由圖9(b)可得到支路串聯(lián)諧振點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的支路信息，如表1所示。

圖9 支路串聯(lián)諧振識(shí)別圖Fig.9 Branch series resonance recognition diagram

諧振頻率/(pu)模態(tài)峰值/(pu)相關(guān)支路6.04141.7Z2+B2∥(X1+B3)10.004e+8X1+B317.681032X1+B2∥(Z2+B1∥Z1)22.64384.1Z2+B1∥Z126.54809.9Z2+B2∥(X1+B3)29437.9X1+B2∥(Z2+B1∥Z1)

4 IEEE14節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)仿真分析

為了進(jìn)一步驗(yàn)證本文提出方法的可行性和有效性，選取IEEE14節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)，利用matlab/simulink進(jìn)行仿真。其中，IEEE14節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)如圖10所示，節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)參數(shù)從文獻(xiàn)[15]中獲取；其中，基準(zhǔn)容量為100 MVA，且各節(jié)點(diǎn)負(fù)載參數(shù)均按串聯(lián)恒阻抗負(fù)載建模等效。

圖10 IEEE14系統(tǒng)圖Fig.10 IEEE14 system diagram

基于simulink中的阻抗頻譜掃描功能，運(yùn)用頻譜法識(shí)別支路串聯(lián)諧振。同時(shí)，用本文所提方法進(jìn)行支路串聯(lián)諧振識(shí)別，結(jié)果如圖11所示。由圖11知，用頻譜法識(shí)別出了總共9個(gè)支路串聯(lián)諧振，而通過(guò)本文所提方法識(shí)別出全部支路串聯(lián)諧振，且最大誤差為0.12。

圖11 IEEE14系統(tǒng)支路串聯(lián)諧振識(shí)別圖Fig.11 Series resonance recognition diagram of IEEE14 system branch series

5 結(jié) 論

串并聯(lián)諧振組成了諧振問(wèn)題的兩個(gè)分支，分析發(fā)現(xiàn)：電力系統(tǒng)中串聯(lián)諧振可以分為回路串聯(lián)諧振和支路串聯(lián)諧振。通過(guò)對(duì)支路串聯(lián)諧振識(shí)別進(jìn)行研究，形成了以下結(jié)論：

1)使用網(wǎng)絡(luò)矩陣模態(tài)法識(shí)別節(jié)點(diǎn)并聯(lián)和回路串聯(lián)諧振點(diǎn)時(shí)，其對(duì)應(yīng)的串并聯(lián)諧振點(diǎn)重合；且電力系統(tǒng)支路阻抗比(R/X)越小，對(duì)應(yīng)的回路串聯(lián)和節(jié)點(diǎn)并聯(lián)諧振點(diǎn)重合度越高。

2)基于電力系統(tǒng)串并聯(lián)諧振重合的理論，提出了基于修正節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣的模態(tài)法，并將之應(yīng)用于識(shí)別支路串聯(lián)諧振。對(duì)于支路串聯(lián)諧振，可通過(guò)添加虛擬支路的方法，使支路串聯(lián)諧振轉(zhuǎn)變?yōu)榛芈反?lián)諧振，進(jìn)而運(yùn)用識(shí)別并聯(lián)諧振的方法識(shí)別支路串聯(lián)諧振。最后，通過(guò)三節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)和IEEE14節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)的仿真分析，驗(yàn)證其可行性和正確性。