安 琪1 索雙富 林福嚴(yán)1 時(shí)劍文

(1.中國礦業(yè)大學(xué)(北京)機(jī)電與信息工程學(xué)院 北京 100083；2.清華大學(xué)機(jī)械工程系設(shè)計(jì)工程研究所 北京 100084)

表面粗糙度是評價(jià)機(jī)加工零件的重要指標(biāo)，直接影響零件性能，如耐磨損性能、耐腐蝕性能、配合面的接觸剛度以及配合性質(zhì)，結(jié)合面之間的接觸行為對機(jī)械系統(tǒng)的性能和壽命有著重要的影響[1]。微觀表面形貌蘊(yùn)含豐富的信息，若將其中的信息提取出來并在加工之前進(jìn)行控制，將會(huì)大大改善加工表面的質(zhì)量?；谛盘柗治龅乃枷?，復(fù)雜信號可以看做是若干簡單信號分量之和，可以針對這些分量的組成情況來分析原信號的特征[2]。表面形貌可看做是一種多因素耦合影響的信號，信號分析較為成熟方法之一是頻譜分析[3]。

表面形貌信號并非平穩(wěn)信號，高低頻信息相互干涉，直接進(jìn)行形貌的頻譜分析很難提取出直觀的信息。近幾年，信號的小波分析彌補(bǔ)了頻譜分析的不足。以多尺度、多分辨率的優(yōu)勢被廣泛應(yīng)用于信號處理[4]。粗糙表面形貌包含多尺度的特征，為了準(zhǔn)確合理地評價(jià)這種多尺度信號，需要一個(gè)靈活的時(shí)域和頻域分辨率[5]。LEE等[6]利用小波變換描述工程表面的形貌，提出了該方法可適用于控制產(chǎn)生一定粗糙度的表面。LIN等[7]將小波變換用于提取二氧化鈦納米晶體薄膜的表面形貌特征，得出表面粗糙度增加的原因。JIANG等[8]采用3種不同的小波建立表面信號過濾方程，將其應(yīng)用于微細(xì)表面奇異特征值的提取。隨后，許多學(xué)者將小波分析與不同機(jī)加工方式所形成的表面形貌特征相結(jié)合，進(jìn)行了相關(guān)研究工作[9-15]。但是上述研究大都基于小波變換的多尺度分層優(yōu)勢，對于表面形貌數(shù)據(jù)沒有進(jìn)一步地進(jìn)行分析處理。

本文作者結(jié)合小波分析的信號多尺度分解優(yōu)勢，對復(fù)雜的表面形貌信號進(jìn)行處理。在驗(yàn)證方法可行性過程中，發(fā)現(xiàn)若將原始信號直接進(jìn)行小波分層，每層重構(gòu)信號會(huì)出現(xiàn)頻率混淆與錯(cuò)誤頻率的問題。對此，采用信號處理相關(guān)算法的過程分別進(jìn)行分析與糾正。采用自定義構(gòu)造函數(shù)的方式驗(yàn)證了算法的正確性與合理性。最終將改良算法應(yīng)用于三維白光干涉表面形貌儀所測試的車削表面的分析與處理，得到信號數(shù)據(jù)在各頻帶范圍下的真實(shí)頻譜，并開展了導(dǎo)致表面形貌變化的因素分析。

1 小波頻譜分析改進(jìn)算法

1.1 信號的小波分析

小波信號分解原理：小波對原始信號進(jìn)行逐層分解，每一層信號都可看作是高頻與低頻兩種成分的疊加，分解的過程則是將信號中的高頻信號提取出來，繼而對低頻信號進(jìn)行下一層的分解。隨著分解層數(shù)的增加，低頻信號就能很好地分解出來，實(shí)現(xiàn)對原始信號的多尺度、高分辨率解讀。

圖1所示為小波三層分解的原理圖，圖中λ1(z)、λ2(z)、λ3(z)與γ1(z)、γ2(z)、γ3(z)為分解層數(shù)i=1，2，3下的逼近信號與細(xì)節(jié)信號。h(z)、h(z2)、h(z4)與g(z)、g(z2)、g(z4)為分解層數(shù)i=1，2，3下的低通濾波器與高通濾波器。其中x(z)=λ1(z)+γ1(z)=λ2(z)+γ2(z)+γ1(z)=λ3(z)+γ3(z)+γ2(z)+γ1(z)，按照三層分解的原理，可實(shí)現(xiàn)分析信號的多尺度分解。

圖1 小波分層原理圖

(1)

式中：2-m為尺度因子；k為平移因子。

任意信號f(t)∈L2(R)(平方可積函數(shù)空間)的離散小波級數(shù)表示為

(2)

小波分解系數(shù)可表示為

(3)

1.2 信號的頻譜分析

頻譜分析則是一種將復(fù)雜信號分解為簡單信號的技術(shù)。直接對復(fù)雜信號進(jìn)行傅立葉變換，得到各分解信號的幅值在不同頻率下的信息。信號的傅立葉變換公式[16]如下所示：

(4)

式中:ω為頻率；t為時(shí)間；f(t)為原函數(shù)；e-jωt為復(fù)變函數(shù)；f(ω)為象函數(shù)。

對信號進(jìn)行頻譜分析時(shí)，由于頻譜變換的對稱性，頻率范圍一般取采樣頻率的1/2，即[0，fs/2]。并且信號的采樣點(diǎn)數(shù)需要取2n個(gè)，否則在信號頻譜分析過程中會(huì)將缺失的點(diǎn)補(bǔ)零，把信號補(bǔ)到2n的長度，頻譜計(jì)算將失準(zhǔn)。

如上所述，結(jié)合頻譜分析的信號頻譜特征表現(xiàn)與小波分析的信號多尺度分解優(yōu)勢，將車削表面形貌復(fù)雜信號進(jìn)行頻帶劃分，對各頻帶重構(gòu)信號進(jìn)行頻譜分析，可以實(shí)現(xiàn)信號各頻帶信息的特征提取。

2 算法的實(shí)現(xiàn)與改進(jìn)

2.1 算法的驗(yàn)證

結(jié)合小波分析與頻譜分析，可以將復(fù)雜的表面形貌數(shù)據(jù)進(jìn)行各頻帶信號的提取與表征。在處理表面形貌信號時(shí)，首先采用自定義構(gòu)造函數(shù)的方法進(jìn)行算法上的驗(yàn)證。

假設(shè)信號為正弦波疊加而成，各子信號的頻率分別為5、35、75、150 Hz，則構(gòu)造的函數(shù)形式如下所示：

x=sin(10πt)+sin(70πt)+sin(150πt)+sin(300πt)

(5)

選取采樣頻率為400 Hz，采樣長度為2 s，可得到構(gòu)造信號圖像如圖2所示。

圖2 自定義構(gòu)造函數(shù)圖

直接對構(gòu)造信號進(jìn)行頻譜分析可以得到頻譜圖如圖3所示。可見，對于平穩(wěn)信號直接進(jìn)行頻譜分析，可以得到信號的頻率構(gòu)成與各頻率幅值的大小，得到的分析結(jié)果與之前構(gòu)造函數(shù)的頻率相同。

圖3 函數(shù)頻譜圖

下面采用小波分層方法對所構(gòu)造的信號進(jìn)行頻帶劃分，根據(jù)所構(gòu)造的信號頻率，將小波的分解層數(shù)定為三層。信號分層后，對每一層的重構(gòu)信號進(jìn)行頻譜分析，所得結(jié)果如圖4所示。

圖4 函數(shù)的小波重構(gòu)頻譜圖

按照小波分析中Mallat算法所得到的頻帶，理論上每個(gè)層次上的頻率成分如表1所示。

由表1所示的實(shí)際分層得到的頻譜可以看出，對小波分層重構(gòu)信號的頻譜分析出現(xiàn)兩方面的問題：(1)出現(xiàn)與劃分頻帶不相符的頻率，即理論頻帶中出現(xiàn)其他頻率的信號；(2)出現(xiàn)錯(cuò)誤的頻率，即出現(xiàn)與模擬信號不同的頻率。

表1 小波分解理論頻率分布

2.2 算法改進(jìn)

想要找到問題的關(guān)鍵點(diǎn)，就需要分析信號小波分解與重構(gòu)過程中數(shù)據(jù)的處理流程。信號分解與重構(gòu)的流程包括3個(gè)步驟：(1)信號數(shù)據(jù)與濾波器進(jìn)行卷積計(jì)算；(2)對濾波后的數(shù)據(jù)進(jìn)行隔點(diǎn)采樣操作；(3)對數(shù)據(jù)進(jìn)行隔點(diǎn)插零處理。對于問題一，所出現(xiàn)的頻率與模擬信號相同，但其幅值相比頻帶信號較小。最有可能的就是在數(shù)據(jù)與濾波器卷積的過程中，由于小波濾波器的邊界效應(yīng)所導(dǎo)致的頻率泄漏，解決辦法只有提高小波的階數(shù)N，文中選取最大值N=10。而對于第二個(gè)問題，出現(xiàn)錯(cuò)誤頻率，并且與構(gòu)造信號的頻率完全不同?？赡艿脑蚓褪菙?shù)據(jù)在隔點(diǎn)采樣與隔點(diǎn)插零過程中出現(xiàn)錯(cuò)誤而導(dǎo)致的。根據(jù)對Mallat算法重構(gòu)信號展開分析，倘若對信號數(shù)據(jù)分別進(jìn)行隔點(diǎn)采樣與隔點(diǎn)插零，這都將產(chǎn)生新的頻率，若兩者同時(shí)作用，所產(chǎn)生新頻率會(huì)相互抵消，但是如果只是對信號其中的頻帶進(jìn)行重構(gòu)，由于濾波器的缺陷，隔點(diǎn)采樣與插零的過程中則會(huì)產(chǎn)生新頻率分量無法抵消的情況，從而導(dǎo)致了錯(cuò)誤頻率的出現(xiàn)。

上述分析表明，出現(xiàn)錯(cuò)誤頻率的根本問題在于濾波器的非理想截止特性，這是濾波器的固有特性，無法改變。所以文中直接采用傅立葉變換與逆變換對數(shù)據(jù)的頻域直接截取的方法，去掉分析過程中無關(guān)的頻率成分，同時(shí)保證了隔點(diǎn)取值與隔點(diǎn)插零頻率分量相互抵消，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)在各頻帶分析中不會(huì)產(chǎn)生頻率的混淆與錯(cuò)誤頻率產(chǎn)生的問題。經(jīng)改進(jìn)的算法，得到的各頻帶的頻譜圖如圖5所示。

圖5 改良算法得到的小波頻譜分析圖

由圖5可看出，通過改進(jìn)算法對平穩(wěn)信號進(jìn)行小波分解得到的頻譜圖，各劃分頻帶沒有頻率混淆與錯(cuò)誤頻率出現(xiàn)。通過信號直接頻譜分析與自定義函數(shù)頻率對照兩項(xiàng)結(jié)果的對比分析，驗(yàn)證了改進(jìn)小波頻帶頻譜分析處理信號算法的正確性與可行性。

3 車削表面信號分析

將信號處理的改進(jìn)算法應(yīng)用于車削表面形貌信號的處理，對表面形貌復(fù)雜信號進(jìn)行頻帶劃分，對各頻帶重構(gòu)信號進(jìn)行頻譜分析，從頻率(波長)的角度對車削表面形成的各影響因素進(jìn)行了劃分，最終實(shí)現(xiàn)信號各頻帶信號的特征提取。

3.1 車削表面形貌的采集

用三維白光干涉表面形貌儀對車削試樣表面形貌進(jìn)行測量，白光表面形貌儀采用非接觸式白光掃描干涉原理，垂直分辨率可達(dá)0.1 nm，具有較高的測試精度。圖6、7所示分別為粗糙度Ra1.6 μm的車削試樣表面形貌，選取采樣長度分別為3、0.83 mm，對應(yīng)的采樣間隔分別為2.931、0.815 μm。

圖6 3 mm采樣長度下的表面形貌

圖7 0.83 mm采樣長度下的表面形貌

3.2 車削表面形貌信號的處理與分析

由圖7、8所示的表面形貌可以看出，車削加工表面在長度方向具有很強(qiáng)的規(guī)律性，形貌的重復(fù)性較強(qiáng)，就直觀表現(xiàn)而言，車削加工的表面形貌呈現(xiàn)各向異性，可以進(jìn)行三維形貌的二階譜矩判斷，這已有相關(guān)文獻(xiàn)證實(shí)[17]，這里不再贅述。運(yùn)用車削表面的各向異性與各截面較高的相關(guān)性，可以將三維表面分析進(jìn)行降維處理，簡化處理過程。因選取的試樣為外圓車削表面，為方便分析對其進(jìn)行平面化處理，三維重構(gòu)形貌如圖8、9所示。對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行重構(gòu)，并采集了一組截面數(shù)據(jù)進(jìn)行了二維小波分析。不同采樣長度下的二維形貌如圖10、11所示。

圖8 3 mm采樣長度下的三維重構(gòu)形貌

圖9 0.83 mm采樣長度下的三維重構(gòu)形貌

圖10 3 mm采樣長度下的二維形貌

圖11 0.83 mm采樣長度下的二維形貌

由圖12、13可以得到以下結(jié)論：(1)同一車削表面在不同采樣間隔下，表面形貌大致相同，頻譜的主頻信號大致相同；(2)不同采樣間隔下得到的表面形貌略有差別，采樣間隔更小時(shí)，獲得的表面形貌更精細(xì)，這就導(dǎo)致在采樣間隔小的情況下，出現(xiàn)更高的頻率；(3)信號直接的頻譜分析，頻率成分較多，無法直接判斷各個(gè)頻率信號影響因素的來源，并且反映細(xì)節(jié)部分的高頻信號在整體頻譜圖上幅值相對較低，直接分析難度較大。

圖12 3 mm采樣長度下的頻譜

圖13 0.83 mm采樣長度下的頻譜

下面將采用小波分層對信號進(jìn)行各頻帶的分解，針對各頻帶重構(gòu)信號進(jìn)行頻譜分析，對影響車削表面形貌的各個(gè)因素進(jìn)行對應(yīng)尋找。

3.3 車削表面形成的影響因素分析

對于實(shí)際的粗糙形貌可分為3個(gè)組成部分：表面粗糙度、波紋度與形狀誤差。由于文中選取的處理信號總采樣長度為0.83 mm，由經(jīng)驗(yàn)與理論的結(jié)論，兩波峰或者波谷之間的距離(波距)λ<1 mm時(shí)，按表面粗糙度處理，因此文中只考慮粗糙度形成的影響因素。

將影響車削表面形貌的影響因素按照頻率(波長)劃分為3個(gè)部分，頻率(波長)由高到低依次為機(jī)床主軸的高頻振動(dòng)、刀具的振動(dòng)、加工參數(shù)(刀具的形狀、加工的進(jìn)給量與背吃刀量等)。其中刀具的振動(dòng)又可分為機(jī)床引起的振動(dòng)與切削過程切削力變化引起的振動(dòng)。針對表面形貌形成的各影響因素，基于第一節(jié)小波改進(jìn)算法，文中將車削表面信號進(jìn)行6層分解，經(jīng)分析，信號的采樣頻率(波長)相對于信號的頻率(波長)較大，前兩層的信號頻率較高，簽于篇幅限制文中不予顯示，最終得到其他頻帶的頻譜如圖14所示。由各頻帶頻譜圖結(jié)合車削表面形貌形成的原因可以得到如下結(jié)論：(1)信號波長為0.02～0.06 μm-1時(shí)，為波長相對較大的成分，又可將其劃分0.02～0.04 μm-1和0.04～0.06 μm-1兩個(gè)部分，分別對應(yīng)機(jī)床的刀具振動(dòng)與機(jī)床主軸的高頻振動(dòng)，振動(dòng)的幅值在0.2 μm以內(nèi)，只是在波長范圍內(nèi)存在差異；(2)信號波長為0～0.01 μm-1范圍內(nèi)，對應(yīng)信號幅值為2 μm，這與加工參數(shù)的影響相互對應(yīng)；(3)信號波長為0.01～0.02 μm-1范圍內(nèi)，對應(yīng)信號幅值為0.4 μm，這表現(xiàn)為切削過程中切削力變化所引起的影響。

針對影響粗糙度形成的多種因素，結(jié)合車削表面形貌頻帶的頻譜分析，找到了各頻帶與各影響因素的對應(yīng)關(guān)系，進(jìn)而可通過改變各影響因素達(dá)到控制最終表面形貌的目的。其中對于高頻信號，產(chǎn)生原因可歸為振動(dòng)所造成的，只能通過改變機(jī)床的性能進(jìn)行改進(jìn)。對于低頻信號，則是由于加工參數(shù)(刀具的形狀、加工的進(jìn)給量與背吃刀量等)等因素造成，屬于人為可控的因素。在保證加工件表面質(zhì)量的的理想前提下，改變各加工參數(shù)，可以得到更加符合實(shí)際需求的、接近理想要求的表面形貌。

圖14 小波分解各頻帶信號頻譜

4 結(jié)論

(1)對小波變換信號的頻譜分析算法進(jìn)行了改進(jìn)，解決了分解過程中出現(xiàn)的頻率混淆與錯(cuò)誤頻率產(chǎn)生的問題，采用自定義組合函數(shù)的方式驗(yàn)證了改進(jìn)算法的正確性與可行性。

(2)利用小波分析的信號多尺度優(yōu)勢，將改進(jìn)的信號處理算法應(yīng)用于車削表面形貌的信號分解，對表面形貌信號進(jìn)行頻帶劃分，對各頻帶重構(gòu)信號進(jìn)行頻譜分析，最終實(shí)現(xiàn)信號各頻帶信息的提取。

(3)結(jié)合車削加工表面粗糙度形成的各影響因素，得到各頻帶信號與影響因素之間的對應(yīng)關(guān)系，為改善車削加工表面的粗糙度提供了理論支持。同時(shí)，也為車削表面模擬，也就是車削表面的數(shù)字化，提供了相關(guān)技術(shù)基礎(chǔ)。