彭定洪 楊揚(yáng)

摘 要：針對(duì)畢達(dá)哥拉斯模糊環(huán)境下的多屬性決策問(wèn)題，提出一種基于畢達(dá)哥拉斯模糊Frank算子的多屬性決策方法。首先將畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)和Frank算子相結(jié)合，給出了基于Frank算子的運(yùn)算法則;然后提出了畢達(dá)哥拉斯模糊Frank算子，包括畢達(dá)哥拉斯模糊Frank加權(quán)平均算子和畢達(dá)哥拉斯模糊Frank加權(quán)幾何算子，并討論了這些算子的性質(zhì);最后提出了基于畢達(dá)哥拉斯模糊Frank算子的多屬性決策方法，將該方法應(yīng)用于綠色供應(yīng)商的選擇中。實(shí)例分析表明，運(yùn)用該方法可以解決實(shí)際的多屬性決策問(wèn)題，并可以進(jìn)一步應(yīng)用到風(fēng)險(xiǎn)管理、人工智能等領(lǐng)域。

關(guān)鍵詞：畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù);Frank算子;多屬性決策;集結(jié)算子

中圖分類號(hào)： TP18; TP391

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

Abstract： To solve the multi-attribute decision making problems in Pythagorean fuzzy environment， a multi-attribute decision making method based on Pythagorean fuzzy Frank operator was proposed. Firstly， Pythagorean fuzzy number and Frank operator were combined to obtain the operation rule based on Frank operator. Then the Pythagorean fuzzy Frank operator was proposed， including Pythagorean fuzzy Frank weighted average operator and Pythagorean fuzzy Frank weighted geometric operator， and the properties of these operators were discussed. Finally， a multi-attribute decision making method based on Pythagorean fuzzy Frank operator was proposed， which was applied to an example of green supplier selection. The example analysis shows that the proposed method can be used to solve the actual multi-attribute decision making problems， and can be further applied to areas such as risk management and artificial intelligence.

Key words： Pythagorean fuzzy number; Frank operator; multi-attribute decision making; aggregation operator

0 引言

1965年自Zadeh[1]第一次提出模糊集以來(lái)，模糊集理論便受到了眾多學(xué)者的關(guān)注，也得到了迅速的發(fā)展，廣泛應(yīng)用于社會(huì)生產(chǎn)生活的各個(gè)方面。隨著社會(huì)經(jīng)濟(jì)的不斷發(fā)展，客觀世界也變得越來(lái)越復(fù)雜，為了更準(zhǔn)確地表達(dá)并解釋現(xiàn)實(shí)世界的問(wèn)題，眾多學(xué)者發(fā)展并拓展了模糊集的形式，包括區(qū)間模糊集[2]、猶豫模糊集[3]、直覺(jué)模糊集[4]、區(qū)間直覺(jué)模糊集[5]等。其中直覺(jué)模糊集理論由Atanassov[4]于1986年提出，是對(duì)經(jīng)典 Zadeh模糊集理論最為重要的拓展之一。直覺(jué)模糊集用隸屬度、非隸屬度和猶豫度來(lái)詳細(xì)地刻畫現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，其理論和應(yīng)用研究在模糊集領(lǐng)域取得了豐碩的成果，但在直覺(jué)模糊環(huán)境進(jìn)行決策時(shí)，要求專家給出的評(píng)價(jià)值的隸屬度和非隸屬度之和小于1，但現(xiàn)實(shí)情況往往并非完全滿足，因此，Yager[6]對(duì)直覺(jué)模糊集進(jìn)行拓展，提出了畢達(dá)哥拉斯模糊集，滿足隸屬度和非隸屬度之和大于1，但其平方和不超過(guò)1，使得決策者在決策過(guò)程中不必重新修改直覺(jué)模糊決策值也可以進(jìn)行決策。自從畢達(dá)哥拉斯模糊集被提出以來(lái)，眾多學(xué)者也對(duì)其進(jìn)行了研究，成為了國(guó)內(nèi)外模糊集研究熱點(diǎn)之一。在多屬性決策問(wèn)題中，集成算子是眾多決策方法的基礎(chǔ)，因此在畢達(dá)哥拉斯模糊環(huán)境下，集成算子的研究也顯得尤為重要，如Wei等[7]提出了畢達(dá)哥拉斯模糊冪集成算子，包括：畢達(dá)哥拉斯模糊冪平均算子、畢達(dá)哥拉斯模糊冪幾何算子、畢達(dá)哥拉斯模糊冪加權(quán)平均算子、畢達(dá)哥拉斯模糊冪加權(quán)幾何算子、畢達(dá)哥拉斯模糊冪有序加權(quán)平均算子、畢達(dá)哥拉斯模糊冪有序加權(quán)幾何算子、畢達(dá)哥拉斯模糊冪混合平均算子以及畢達(dá)哥拉斯模糊冪混合幾何算子，將其應(yīng)用于多屬性決策中;Zhang等[8]提出了廣義畢達(dá)哥拉斯模糊Bonferroni 平均算子和廣義畢達(dá)哥拉斯模糊Bonferroni 幾何平均算子;劉衛(wèi)鋒等[9]提出了畢達(dá)哥拉斯模糊交叉集成算子，包括畢達(dá)哥拉斯模糊交叉加權(quán)平均算子和畢達(dá)哥拉斯模糊交叉加權(quán)幾何算子;Garg[10]基于愛(ài)因斯坦T模，提出了畢達(dá)哥拉斯模糊愛(ài)因斯坦加權(quán)平均（Pythagorean Fuzzy Einstein Weighted Averaging， PFEWA）算子，畢達(dá)哥拉斯模糊愛(ài)因斯坦有序加權(quán)平均（Pythagorean Fuzzy Einstein Ordered Weighted Averaging， PFEOWA）算子，廣義畢達(dá)哥拉斯模糊愛(ài)因斯坦加權(quán)平均（Generalized Pythagoras Fuzzy Einstein Weighted Averaging， GPFEWA）算子和廣義畢達(dá)哥拉斯模糊愛(ài)因斯坦有序加權(quán)平均（Generalized Pythagoras Fuzzy Einstein Ordered Weighted Averaging， GPFEOWA）算子;Wei等[11]基于Hamacher T-norm和T-conorm提出了畢達(dá)哥拉斯猶豫模糊Hamacher加權(quán)平均算子和畢達(dá)哥拉斯猶豫模糊Hamacher加權(quán)幾何算子。通過(guò)以上研究梳理可知，上述算子的運(yùn)算法則基于代數(shù)T-norm和代數(shù)T-conorm、愛(ài)因斯坦T-norm和愛(ài)因斯坦T-conorm以及Hamacher T-norm和T-conorm，但這些代數(shù)運(yùn)算法則缺乏一定的靈活性和魯棒性，而Frank T-norm和Frank T-conorm可以克服其缺陷，因?yàn)镕rank T-norm和Frank T-conorm具有一般的T-norm和T-conorm的特征，涵蓋了代數(shù)T-norm和代數(shù)T-conorm、愛(ài)因斯坦T-norm和愛(ài)因斯坦T-conorm以及Hamacher T-norm和T-conorm，是唯一滿足兼容性法則的一類T-norm。