江蘇省如皋市下原鎮(zhèn)下原初級中學(xué) 許波琴

新課程下的初中數(shù)學(xué)不僅注重純粹理論性知識的教學(xué)，而且更加注重數(shù)學(xué)與生活實際的結(jié)合和學(xué)生解決實際問題能力的培養(yǎng)。從中考應(yīng)用的實際來看，以建模思想為基礎(chǔ)的應(yīng)用性問題的數(shù)學(xué)教學(xué)，不僅能提高學(xué)生的應(yīng)試能力，也能提高學(xué)生將實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題的建模能力。數(shù)學(xué)建模將數(shù)學(xué)知識與其他學(xué)科知識進(jìn)行聯(lián)系，對學(xué)生學(xué)習(xí)知識的系統(tǒng)性、熟練性、應(yīng)用性均有重要促進(jìn)作用，課本相關(guān)例題或其他習(xí)題也是在潛移默化地向?qū)W生傳遞建模思想，下面簡單探討建模思想具體是如何在初中數(shù)學(xué)當(dāng)中表現(xiàn)出來的。

一、概念教學(xué)彰顯建模思想

數(shù)學(xué)概念因其本身的抽象性和概括性，導(dǎo)致學(xué)生對概念的學(xué)習(xí)有著根深蒂固的畏懼心理。但是數(shù)學(xué)概念是構(gòu)成數(shù)學(xué)內(nèi)容的重要組成部分，學(xué)生必須掌握。學(xué)生只有掌握了數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，抓住概念的關(guān)鍵之處，才能游刃有余地解決有關(guān)概念的問題。因此，初中教師要重視數(shù)學(xué)概念教學(xué)，采取多種方法和手段促進(jìn)學(xué)生對概念的理解，其中建模思想就是一種重要的教學(xué)手段，其廣泛應(yīng)用在初中數(shù)學(xué)概念的教學(xué)當(dāng)中。通過建模思想的概念教學(xué)能大大提高學(xué)生對概念的理解，讓學(xué)生透過現(xiàn)象看本質(zhì)，抓住概念的本質(zhì)屬性，進(jìn)而增強概念教學(xué)的有效性。

例如，利用圖形面積來講解平方差公式的過程當(dāng)中，已知正方形的邊長為，截去一邊長為的小正方形，將圖中的長為寬進(jìn)行移動，進(jìn)而拼接成一個新的長方形，如圖2。問：圖1、圖2中陰影部分的面積如何表示？兩塊陰影部分面積之間有何數(shù)量關(guān)系？根據(jù)割補求圖形的面積，我們很容易得到：圖1陰影的面積為圖2陰影的面積為由于兩塊陰影部分的面積相等，于是得到將左右兩邊數(shù)字轉(zhuǎn)化為學(xué)生所熟悉的圖形面積，化抽象為生動，更加有利于學(xué)生對平方差公式的掌握。

平方差公式和完全平方公式關(guān)系著整式運算公式、代數(shù)證明和幾何模型。雖然教材中也給出了不少證明過程，但實際教學(xué)中教師和學(xué)生往往忽略其中所蘊含的思想和作用。學(xué)生通過簡單的計算可能會對平方差公式有模糊的概念，但卻不能有更加深刻的理解。通過將面積與平方差公式進(jìn)行結(jié)合建立起的模型，能夠很好地促進(jìn)學(xué)生對公式的理解與應(yīng)用，促進(jìn)相關(guān)的概念教學(xué)。

二、函數(shù)教學(xué)體現(xiàn)建模思想

函數(shù)是數(shù)學(xué)知識的重點內(nèi)容，也是中考的必考點。函數(shù)與現(xiàn)實生活密切聯(lián)系，揭示了現(xiàn)實世界中眾多數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)，例如最大利潤、用料最省、最小成本等問題，均可以建立函數(shù)模型進(jìn)行求解。函數(shù)與方程的實際應(yīng)用有異曲同工之處，函數(shù)實際問題涉及的數(shù)量廣、關(guān)系錯綜復(fù)雜，如何把握函數(shù)問題的實質(zhì)和數(shù)量關(guān)系建立起函數(shù)模型，這是解決函數(shù)實際問題的關(guān)鍵。因此，在利用函數(shù)解決實際問題的過程中，教師要有意識地培養(yǎng)學(xué)生的建模意識，教授學(xué)生建模的思想方法和步驟，積極引導(dǎo)學(xué)生利用所學(xué)的建模思想和方法去分析解決問題，進(jìn)而逐步提高學(xué)生分析與解決問題的能力，促進(jìn)學(xué)生綜合能力的發(fā)展。學(xué)生學(xué)會利用函數(shù)思想解決現(xiàn)實中的生活問題，不僅能深化知識，又能加強學(xué)生綜合運用知識的能力，提高數(shù)學(xué)課堂的高效性。

例如，在利用二次函數(shù)解決實際問題的教學(xué)中，教師可以讓學(xué)生先明確函數(shù)模型和方程模型大致相同，只不過函數(shù)模型是將兩個變量之間的關(guān)系表示出來。隨后再拋出例題：某一型號計算器進(jìn)價為每個12元，售價20元，現(xiàn)有以下優(yōu)惠：凡一次性購買十個以上，每多買一個，所有的計算器每個就降價0.1元。例如某人一次性買了30個計算器，于是每個降價因此，所買的全部30個計算器都是按每個18元的價格購買的，但是最低價格為每個16元。（1）一次性至少買多少個，才能以最低價進(jìn)行采購？（2）一次銷售個時，所獲得的利潤為y元，寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式和自變量x的取值范圍；（3）某天，甲買了46個，乙買了50個，用數(shù)學(xué)知識解釋賣46個賺的錢比賣50個要賺得多的原因；為了避免這種現(xiàn)象，在其他優(yōu)惠政策不變的情況下，應(yīng)該如何定最低價？學(xué)生知此題是有關(guān)利潤性問題，而且三個問題的設(shè)置層層遞進(jìn)，又由于x的取值范圍不同，故函數(shù)模型不同。因此，教師可以引導(dǎo)學(xué)生先解決第一個小問題，設(shè)一次性購買x個，則有20-0.1（x-10）=16，解得x=50；瀏覽第二問，題目限定了再結(jié)合第一問的結(jié)果，可以很容易列出相關(guān)方程：解決第三個問題，聯(lián)系第一、二問以及二次函數(shù)的特點和性質(zhì)，便很容易解決。

由此可見，建立合適的函數(shù)模型是解決有關(guān)利潤問題的關(guān)鍵。學(xué)生要逐步剖析題目所給的條件，找出等量關(guān)系，列出相關(guān)函數(shù)，同時要留意前面的小問題有可能會啟發(fā)后面復(fù)雜問題的解決。

三、方程教學(xué)顯露建模思想

方程作為初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點，同時也是中考的重要考點，內(nèi)容主要涉及一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程等。應(yīng)用方程解決實際應(yīng)用題可以簡化思考過程，例如有關(guān)增長率、產(chǎn)品購銷、工程施工等問題。但是學(xué)生對這一部分的掌握是非常薄弱的，主要原因還是學(xué)生無法熟練地應(yīng)用建模思想，更不用說從具體問題情境當(dāng)中抽象出相關(guān)的數(shù)學(xué)模型。因此，教師需要在方程教學(xué)當(dāng)中重視培養(yǎng)學(xué)生的模型思想和應(yīng)用意識，讓學(xué)生模仿生活，有意引導(dǎo)學(xué)生觀模、感悟，切實掌握建立方程模型的步驟與方法，從而提高學(xué)生對問題的解決能力。

例如，在用一元二次方程解決問題的教學(xué)當(dāng)中有題：用長100厘米的金屬鐵絲制作一個長方形，問長、寬各為多少時，長方形的面積是600平方厘米？此題是建立在知道長方形面積公式的基礎(chǔ)上求解，教師先讓學(xué)生小組合作探究并同時給予方法指導(dǎo)，可以先設(shè)長方形的長為x厘米，那么寬就是（100÷2-x）厘米，即（50-x）厘米，根據(jù)x(50-x)=600，很容易便能求出結(jié)果。學(xué)生在教師的引導(dǎo)下能夠迅速抓住題目中所給的條件，分析出相關(guān)的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而列出方程解決問題。

列方程解決應(yīng)用題一般包含以下幾個步驟：審題、設(shè)未知數(shù)、列解方程、檢驗、做結(jié)論。熟悉相關(guān)步驟，利用方程可以簡化問題，只要根據(jù)已知條件和等量關(guān)系列出方程，求解即可。不過學(xué)生一定要注意：用方程解決與現(xiàn)實問題相結(jié)合的題目，都需要檢驗，在路程相關(guān)問題當(dāng)中，方程要比直接求解應(yīng)用得更加廣泛。

四、幾何模型呈現(xiàn)建模思想

圖形與幾何是數(shù)學(xué)內(nèi)容的四大模塊之一，現(xiàn)實生活當(dāng)中也包含著許多幾何圖形和幾何問題，如建筑測量，航海等常涉及一定圖形的性質(zhì)時，這就需要建立幾何模型，把實際問題化歸為幾何問題進(jìn)行解決。

例如，受冷空氣影響，我省大雨連綿，許多山體滑坡自然災(zāi)害時常發(fā)生。某一居民樓緊鄰?fù)疗?，坡上面是一塊平地，如圖所示。AF∥BC，斜坡AB長為30米，坡角∠ABC=65°。為保障安全，社區(qū)決定改造土坡，經(jīng)過專業(yè)人員測量，當(dāng)坡角不超過45°時，可以保證山體不滑坡。（結(jié)果均精確到0.1米）求：（1）坡頂與地面的距離AD是多少米？（2）為保證安全，現(xiàn)坡腳B固定不動，坡頂A沿AF削減到E點處，求AE至少是多少米？

本題就是將現(xiàn)實問題抽象成幾何問題，利用銳角三角函數(shù)、解直角三角形的知識進(jìn)行求解。我先引導(dǎo)學(xué)生分析題意，從而理解題中所抽象成的幾何模型。學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上明了：（1）實際就是知道在△ABD中，已知AB=30米，∠ABC=65°，求AD；（2）因無法直接求解AE，進(jìn)而聯(lián)想到可能需要添加輔助線，學(xué)生思考討論得到連接BE，作EN⊥BC交BC于N點，通過間接轉(zhuǎn)化成進(jìn)而求出AE。

幾何模型將實際生活中有關(guān)圖形性質(zhì)的問題抽象為數(shù)學(xué)問題，聯(lián)系了自然、生活和數(shù)學(xué)知識。針對幾何問題的解決，學(xué)生能明白數(shù)學(xué)知識能解決與生活息息相關(guān)的許多事情，體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用意義。

初中數(shù)學(xué)的難度和抽象程度都比小學(xué)有了一定的發(fā)展和提高，進(jìn)而導(dǎo)致學(xué)生在學(xué)習(xí)過程當(dāng)中的困難系數(shù)會加大。教師在課堂當(dāng)中滲透相關(guān)的建模思想，可以很好地解決這一問題，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生更好地學(xué)習(xí)初中數(shù)學(xué)知識。創(chuàng)設(shè)相關(guān)的問題情境或者說與實際相連的模型都能很好地引起學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行積極分析與思考，進(jìn)一步加深理解數(shù)學(xué)建模的重要性，促進(jìn)學(xué)生接受并模仿數(shù)學(xué)建模的方法。學(xué)生通過對初中數(shù)學(xué)中幾種常見模型的學(xué)習(xí)，既累積了相關(guān)的數(shù)學(xué)建模經(jīng)驗，提高了初中生對數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)興趣，又能幫助學(xué)生靈活運用知識解決現(xiàn)實問題，促進(jìn)學(xué)生的知識能力思想等的全面提升與發(fā)展。