□彭 靖 廣東省深圳市寶安區(qū)官田學(xué)校

朱載堉是明仁宗朱高熾的第六代孫，是一位杰出的數(shù)學(xué)家、律學(xué)家，他最大的貢獻(xiàn)是創(chuàng)立了“新法密率”，即十二平均律，是現(xiàn)在全世界音樂(lè)界應(yīng)用最普遍的一種律制，西方把它作為“標(biāo)準(zhǔn)律制”。十二平均律把八度分成十二個(gè)相等的半音，使任意相鄰的二個(gè)音的音程為21/12。19世紀(jì)時(shí)，德國(guó)偉大的物理學(xué)家亥姆霍茲（1821-1894）在他的著作《論音感》一書(shū)中多次提及朱載堉的貢獻(xiàn)。他在書(shū)中說(shuō)：“在中國(guó)人中，據(jù)說(shuō)有一個(gè)王子叫朱載堉，他在舊派音樂(lè)家的反對(duì)中，倡導(dǎo)七聲音階，把八度分成十二個(gè)半音以及變調(diào)的方法，也是這個(gè)有天才和技巧的國(guó)家發(fā)明的。[1]”可見(jiàn)朱載堉發(fā)明的十二平均律對(duì)全世界都有很大的影響力。本文分析了十二平均律的創(chuàng)建以及其理論對(duì)當(dāng)時(shí)西方音樂(lè)律法的影響。

一、人物介紹

朱載堉，字伯勤，于嘉靖十五年（公元1536年）出生于河南懷慶府河內(nèi)縣，即現(xiàn)今的河南沁陽(yáng)市。朱載堉是我國(guó)明代杰出的自然科學(xué)家、律學(xué)家、音樂(lè)家，同時(shí)也是一位憤世嫉俗的詩(shī)歌作家?？茖W(xué)家的理性思考與藝術(shù)家的感性情懷在這位天才人物的身上構(gòu)成了相依并存、不可思議、和而不同的一體，使他的成就達(dá)到明代自然科學(xué)及藝術(shù)科學(xué)的頂峰。他于四十六歲時(shí)完成了“新法密率”的計(jì)算，比荷蘭的斯特芬早了十多年，比法國(guó)的默森早了五十五年，他譜寫(xiě)的平均律曲譜比巴赫的《平均律鋼琴曲集》還要早三百年[2]。不得不承認(rèn)，他創(chuàng)建的十二平均律對(duì)后世的影響極其深遠(yuǎn)。

二、新法密律即十二平均律的出現(xiàn)

據(jù)記載，朱載堉利用了八十一位的大算盤(pán)來(lái)計(jì)算頻率。首先把八度開(kāi)平方，算得21/2 等于1.414213，取得十二平均律中的#F，然后再將1.414213開(kāi)平方，得八度的四分之一（21/4 =1.189207，即#D），最后將1.189207開(kāi)立方，得21/12等于1.059463，朱載堉將此值稱(chēng)為“密率”?！堵蓪W(xué)新說(shuō)》卷一《密率律度相求第三》中提到朱載堉算得密率后取得所有十二個(gè)平均頻率的方法：“創(chuàng)立新法，置一尺為實(shí)，以密率除之，凡十二遍。蓋十三黃鐘為始，應(yīng)鐘為終，終而復(fù)始，循環(huán)無(wú)端。各律皆以黃鐘正數(shù)十寸乘之為實(shí)，皆以應(yīng)鐘倍數(shù)十寸零五分九厘四毫六絲三忽零九纖為法除之，即得次律也?！焙?jiǎn)單來(lái)說(shuō)，即將基音的弦長(zhǎng)除以密率，就可以得到按音高順序排列的下一個(gè)半音的弦長(zhǎng)，依次順序除十二遍，就得到了八度中的十二個(gè)半音。表1詳細(xì)列明了計(jì)算方法及計(jì)算結(jié)果。

表1

中國(guó)古代一直居統(tǒng)治地位的律制是傳統(tǒng)的三分損益律。然而，這種律制無(wú)法實(shí)現(xiàn)“還相為宮”和象天體運(yùn)行那樣“周而復(fù)始”的轉(zhuǎn)調(diào)，其原因在于，用“三分損一”產(chǎn)生的五度音程太寬；用“三分益一”產(chǎn)生的四度音程太窄。三分損益不能旋宮是因?yàn)樗臄?shù)學(xué)不精。要達(dá)到旋宮轉(zhuǎn)調(diào)的要求，非十二平均律不可。

十二平均律，朱載堉稱(chēng)為“新法密率”；十二平均律的生律數(shù)值，朱載堉稱(chēng)為“密率律度”。與之相對(duì)的，他把三分損益律及其生律數(shù)值稱(chēng)為“密率”和“密率律度”。朱氏在創(chuàng)建新法密率時(shí)提出了音與數(shù)的辯證關(guān)系：音與數(shù)要相吻合，但又不可執(zhí)一，之間可以變通。這就為他“不用三分損益之法”提出了理論依據(jù)。因此，黃翔鵬先生稱(chēng)贊“朱載堉是深通音、數(shù)之理的辯證大師”[3]。

朱載堉在這一辯證原則的指導(dǎo)下說(shuō)：“夫音生于數(shù)者也，數(shù)真則音無(wú)不合矣。若音或有不合，是數(shù)之未真也。達(dá)音數(shù)之理者變而通之，不可執(zhí)于一也。是故不用三分損益之法。創(chuàng)立新法：置一尺為實(shí)，以密率除之，凡十二遍，所求律呂真數(shù)比古四種術(shù)尤簡(jiǎn)捷而精密。數(shù)與琴音互相校正、最為吻合。惟博學(xué)明理之儒、知音善算之士，詳味此術(shù)，必有取焉者矣，豈庸俗所能識(shí)哉？”

在這段綱領(lǐng)性宣言后，朱載堉詳細(xì)羅列了十二律的“橫黍度長(zhǎng)”和“縱黍律長(zhǎng)”。這些數(shù)據(jù)即準(zhǔn)確的十二平均律的各律數(shù)：在“橫黍度長(zhǎng)”中，黃鐘長(zhǎng)為10寸，大呂為9.43874寸，太簇為8.90898寸，夾鐘為8.40896寸……應(yīng)鐘為5.29731寸。我們不難繼續(xù)算出第十三律的清黃鐘（準(zhǔn)確地為5寸）及其以后的各律。

三、十二平均律的優(yōu)點(diǎn)

（1）律數(shù)較少，相鄰兩律的音程值較大，這種音程能給人的聽(tīng)覺(jué)造成明顯的音高差別感。這樣的音程便于聽(tīng)辨、掌握和記憶，與四十一平均率、五十三平均率相比，具有得天獨(dú)厚的實(shí)用性。

（2）它是一種等比律，去而能返，無(wú)往不復(fù)。以任意一音為起點(diǎn)，構(gòu)成任意的平均律音階均自然無(wú)礙，給轉(zhuǎn)調(diào)帶來(lái)了極大的自由。與五度相生律、純律相比，十二平均律使轉(zhuǎn)調(diào)范圍擴(kuò)大到了極其自由的程度。而這種轉(zhuǎn)調(diào)的方便，為作曲技術(shù)的發(fā)展開(kāi)辟了極為廣闊的道路。自巴赫將十二平均律應(yīng)用于作曲實(shí)踐以來(lái)，十二平均律技法風(fēng)靡世界，迅速發(fā)展，涌現(xiàn)了不少名篇佳作。幾百年來(lái)，音樂(lè)藝術(shù)的繁榮與十二平均律的問(wèn)世有著不可分割的關(guān)系。

（3）十二平均律的實(shí)行，為樂(lè)器制作提供了極大的方便。制造鍵盤(pán)樂(lè)器，無(wú)須像純律樂(lè)器那樣制出若干排鍵盤(pán)。與此相應(yīng)的，對(duì)于樂(lè)器的演奏、作品的演唱也起到了一定程度上的簡(jiǎn)化作用。相對(duì)于其他的多律律制而言，它減少了許多技術(shù)上的困難，大大縮短了學(xué)習(xí)演奏、演唱技術(shù)磨煉的過(guò)程，加速了技術(shù)之外的其他各種表現(xiàn)能力的提高。

四、朱氏異徑管律的探索成果

1996年，在《朱載堉異徑管律的物理證明》一文中，作者徐飛基于現(xiàn)代物理學(xué)的認(rèn)識(shí)成果，對(duì)朱載堉異徑管律的數(shù)據(jù)進(jìn)行物理學(xué)原理的分析和核算，從理論上對(duì)朱載堉異徑管律作出明確的判斷[4]。運(yùn)用現(xiàn)代物理學(xué)理論分析計(jì)算后發(fā)現(xiàn)，朱載堉異徑管律在理論上完全符合十二平均律對(duì)“旋宮轉(zhuǎn)調(diào)”的要求，其特設(shè)吹口之舉，顯示了朱載堉不僅有著高深的算律理論修養(yǎng)，同時(shí)在制律實(shí)踐中也獨(dú)具匠心，他在對(duì)律管的系統(tǒng)管口校正方面對(duì)人類(lèi)文明做出了偉大貢獻(xiàn)。

五、十二平均律在音樂(lè)中的體現(xiàn)

十二平均律是一種律制，即把一個(gè)八度分成相對(duì)均等的12個(gè)音程，每一個(gè)音程規(guī)定為半音，兩個(gè)半音為一個(gè)全音。巴赫的平均律共寫(xiě)了24個(gè)大小調(diào)（C大調(diào)、c小調(diào)、升C大調(diào)、升c小調(diào)、D大調(diào)、d小調(diào)、降E大調(diào)、升d小調(diào)、E大調(diào)、e小調(diào)、F大調(diào)、f小調(diào)、升F大調(diào)、升f小調(diào)、G大調(diào)、g小調(diào)、降A(chǔ)大調(diào)、升g小調(diào)、A大調(diào)、a小調(diào)、降B大調(diào)、降b小調(diào)、B大調(diào)、b小調(diào)），每一個(gè)調(diào)都包括一首前奏曲與一首賦格，一共是48首前奏曲與賦格。

17世紀(jì)30年代，意大利管風(fēng)琴家弗雷斯克巴爾迪（1583—1643年）將十二平均律用于鍵盤(pán)樂(lè)器，這可能是十二平均律最早在鍵盤(pán)樂(lè)器上的實(shí)踐[5]。但他所研究的(包括在鍵盤(pán)樂(lè)器上運(yùn)用的)是不是真正意義的十二平均律，目前未見(jiàn)確鑿記載。與他同時(shí)代的法國(guó)數(shù)學(xué)家、神學(xué)家、音樂(lè)理論家馬蘭默森（1588—1648年）對(duì)十二平均律于1636年也作出了和朱載堉完全相同的數(shù)學(xué)表示。一般認(rèn)為，由于明末清初大批西方傳教士來(lái)華，使東學(xué)西傳，曾經(jīng)在巴黎地方修道院擔(dān)任副主祭、神父的默森，有可能受到朱載堉著作的影響。17世紀(jì)的晚期，德國(guó)的管風(fēng)琴師韋克麥斯特約在1687年完成了十二平均律的著作，并提出了十二平均律的正確理論數(shù)據(jù)，由于他不斷鉆研和完善在理論及律制上的制作工藝，對(duì)十二平均律的應(yīng)用起到了一定的推動(dòng)作用。有資料表明，韋克麥斯特及當(dāng)時(shí)不少的管風(fēng)琴制造家在鍵盤(pán)樂(lè)器上采用了十二平均律調(diào)律[6]。

從管風(fēng)琴、古鋼琴的出現(xiàn)，到18世紀(jì)現(xiàn)代鋼琴的產(chǎn)生，隨著音樂(lè)發(fā)展的需要，人們逐步認(rèn)識(shí)到了十二平均律的作用，逐漸熟悉和認(rèn)可了十二平均律音樂(lè)，當(dāng)19世紀(jì)來(lái)臨，十二平均律已成為鍵盤(pán)樂(lè)器的主流律制。六、朱氏十二平均律的音樂(lè)價(jià)值

李署明的《朱載堉律學(xué)思維的“自然之理”之管窺一一且說(shuō)十二平均律是自然律》一文從音律哲學(xué)的角度，指出朱氏律學(xué)思維的精髓在于尋求數(shù)理與審美之統(tǒng)一。純律是自然律，平均律也是自然律。純律、三分損益率、十二平均律各自律之美在實(shí)踐中集匯、融通。因此，“十二平均律是自然律”這一屬于音律美哲學(xué)論域的新命題是成立的。無(wú)論從哪方面來(lái)說(shuō)，都應(yīng)還十二平均律以其應(yīng)有的“自然律”名分[7]。

鄭榮達(dá)的《朱載堉三分損益順逆相生律——新法密律的雛形》一文論證了明代朱載堉首創(chuàng)的能以十二律循相還宮為目標(biāo)的新律的產(chǎn)生不是偶然的。文中說(shuō)它是在繼承前人探索的成果基礎(chǔ)上進(jìn)一步深化的結(jié)果。朱載堉除了可能通過(guò)擴(kuò)大五度長(zhǎng)度比率的實(shí)驗(yàn)求證外，還有一種較為樸素的、鮮為人知的解決辦法，就是所謂的“右轉(zhuǎn)左旋”的生律法[8]。

朱載堉在《律學(xué)新說(shuō)》卷一中議論“左旋右旋相生之圖”時(shí)，導(dǎo)出他產(chǎn)生新法密律的簡(jiǎn)易方法。“古人算律，往而不返，但曉左旋，不知右轉(zhuǎn)，此所以未密也”，意思是說(shuō)，過(guò)去只知用三分損益法從黃鐘向上屬方向生十二律，豈不知可用同樣方法從黃鐘向下屬方向生十二律，取同名異律的中間量，就可解決往而不返的問(wèn)題。

所謂順逆相生法，就是取十二正律與十二變律的中間平均值。朱載堉的三分損益順逆相生十二律，非常接近平均律，已經(jīng)達(dá)到實(shí)用的程度。十二平均律是各個(gè)半音之間其頻率比都均等的一種律制。在我國(guó)古代，朱載堉的算法是將2開(kāi)十二次方得到的弦長(zhǎng)倍數(shù)，即“頻率倍數(shù)”，把這個(gè)數(shù)連續(xù)自乘十二次，就分別產(chǎn)生十二平均律各律的頻率倍數(shù)，而乘到第十二次，就達(dá)到2（八度），即黃鐘還原了。朱載堉將十二平均律轉(zhuǎn)化成了一個(gè)等比數(shù)列求公比的數(shù)學(xué)問(wèn)題，徹底解決了我國(guó)律學(xué)史上長(zhǎng)期不能解決的黃鐘還原的難題。十二平均律的發(fā)明和推廣在音樂(lè)史上具有重大意義，有了這一新的音律，從一個(gè)音彈出的旋律可以復(fù)制到任何一個(gè)其他音高上，而對(duì)旋律不產(chǎn)生影響，同時(shí)，所有樂(lè)器都可以在一個(gè)音律標(biāo)準(zhǔn)下制造，打破了古樂(lè)器“單打獨(dú)奏”的局面，產(chǎn)生了規(guī)模龐大、分工精細(xì)的交響樂(lè)隊(duì)。十二平均律成為音樂(lè)最基本的標(biāo)準(zhǔn)。

結(jié) 語(yǔ)

總結(jié)而言，朱載堉結(jié)合了他豐富的數(shù)學(xué)及樂(lè)理知識(shí)創(chuàng)建了十二平均律，對(duì)后世以及整個(gè)音樂(lè)界的發(fā)展都作出了重大的貢獻(xiàn)。愛(ài)因斯坦曾經(jīng)提到“這個(gè)世界可以由音樂(lè)的音符來(lái)組成，也可以用數(shù)學(xué)公式來(lái)組成”，可見(jiàn)數(shù)學(xué)與音樂(lè)跟我們的生活息息相關(guān)。

1636年默森在他的《Harmonic Universelle》一書(shū)中才提出，十二個(gè)半音中每相鄰的兩個(gè)音的頻率為1.05946，這結(jié)果跟朱載堉所計(jì)算的完全相同，可是卻比1584年成書(shū)的《律學(xué)新說(shuō)》晚了52年，說(shuō)明朱載堉的平均律可能對(duì)西方產(chǎn)生過(guò)影響；而亥姆霍茲所說(shuō)的話便證明了朱載堉的理論的確傳到了歐洲。由此可見(jiàn)，他的十二平均律為西方平均律的研究帶來(lái)不小的影響。