張四保

(喀什大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院， 新疆 喀什 844008)

“數(shù)學(xué)是科學(xué)的皇后，而數(shù)論是數(shù)學(xué)皇冠”[1]，對(duì)于數(shù)論在數(shù)學(xué)中的地位，高斯曾作過(guò)如此評(píng)價(jià)。初等數(shù)論是研究數(shù)，尤其是研究整數(shù)性質(zhì)的一個(gè)最古老的數(shù)學(xué)分支，它所使用的方法初等與樸素的。在數(shù)論中有的命題表述極為簡(jiǎn)潔，而要證明命題卻極為艱難。如哥德巴赫猜想、孿生素?cái)?shù)猜想等大量的“皇冠上的明珠”等難題尚未解決。初等數(shù)論在諸多理論中的命題有著廣泛的應(yīng)用，如信息安全、代數(shù)編碼、密碼學(xué)等?！俺醯葦?shù)論”課程包含了現(xiàn)行基礎(chǔ)教育新課程標(biāo)準(zhǔn)下高中數(shù)學(xué)選修系列4“初等數(shù)論初步”模塊的全部?jī)?nèi)容[2]，同時(shí)整數(shù)的整除、公因數(shù)、公倍數(shù)等內(nèi)容都是現(xiàn)行小學(xué)數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容，師范院校的師范專(zhuān)業(yè)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)、小學(xué)教育專(zhuān)業(yè)把“初等數(shù)論”課程作為專(zhuān)業(yè)主干課程。任課教師如何使得學(xué)生對(duì)于“初等數(shù)論”課程易學(xué)、易理解、易掌握，已成為這一課程教學(xué)改革的一個(gè)迫切需要解決的問(wèn)題。基于HPM視角的課程教學(xué)，為解決問(wèn)題提供了一個(gè)行之有效的途徑。

何為HPM? HPM是History and Pedagogy of Mathematics的簡(jiǎn)寫(xiě)，它源自第二屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)上的一個(gè)工作小組，是專(zhuān)門(mén)研究數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育之間關(guān)系的組織。主要的研究?jī)?nèi)容如圖1所示，其目的是通過(guò)研究數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中的應(yīng)用數(shù)學(xué)史，提高數(shù)學(xué)教育質(zhì)量與成效。

圖1 HPM的主要研究?jī)?nèi)容

1 HPM對(duì)初等數(shù)論課程教學(xué)的作用

1.1 有助于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)初等數(shù)論課程的興趣

HPM的先驅(qū)者卡約里指出：“如果用歷史軼事點(diǎn)綴枯燥的證明和計(jì)算，學(xué)生的興趣就會(huì)大大增加……”也就是說(shuō)一旦一個(gè)人對(duì)某一事物產(chǎn)生了濃厚的興趣，他就會(huì)主動(dòng)地去求知、探索與實(shí)踐，并在求知、探索與實(shí)踐的過(guò)程中體驗(yàn)其中的樂(lè)趣。同樣，學(xué)習(xí)的過(guò)程也是如此，若學(xué)生對(duì)某一課程產(chǎn)生了濃厚興趣，學(xué)生就會(huì)主動(dòng)地去學(xué)習(xí)這一課程；反之，就會(huì)倦怠這一課程。2018年，教育部發(fā)布了《教育部關(guān)于狠抓新時(shí)代全國(guó)高等學(xué)校本科教育工作會(huì)議精神落實(shí)的通知》，文件要求狠抓本科教學(xué)，淘汰“水課”、打造“金課”。學(xué)生幾乎不聽(tīng)課甚至逃課，這種課程就是“水課”的特征之一。出現(xiàn)“水課”的一個(gè)最主要的原因是任課教師講課的方式過(guò)于呆板，照本宣科，甚至讀課本，課程氣氛枯燥，任課教師沒(méi)有調(diào)動(dòng)起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。而初等數(shù)論課程的內(nèi)容較為陳舊且理論性很強(qiáng)，若教學(xué)方式方法單一，很難引起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。自然課程的教學(xué)效果就是事倍功半的，它距離“水課”就不遠(yuǎn)了。若在教學(xué)過(guò)程中，任課教師適時(shí)、適當(dāng)、適量引入與教學(xué)內(nèi)容有關(guān)的歷史資料，激發(fā)學(xué)生對(duì)課程的學(xué)習(xí)興趣，就會(huì)達(dá)到事半功倍的教學(xué)效果。

1.2 有助于提高學(xué)生對(duì)初等數(shù)論知識(shí)體系了解

數(shù)學(xué)知識(shí)主要體現(xiàn)在概念、思想與方法之上，思想與方法是對(duì)知識(shí)的再概括與再凝練。在講授初等數(shù)論課程過(guò)程中，適當(dāng)介紹前人進(jìn)行探索的歷史背景，了解前人的研究方法，透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，可以加深學(xué)生對(duì)一些知識(shí)體系的了解，感受前人研究創(chuàng)造的激情。

2 基于HPM視角的初等數(shù)論課程某些內(nèi)容的實(shí)踐教學(xué)

2.1 不定方程

不定方程是指未知數(shù)的個(gè)數(shù)多余方程個(gè)數(shù)的方程(組)。在講解本章內(nèi)容時(shí)，可以將以下史料融入課堂教學(xué)過(guò)程中。

古希臘亞歷山大后期的重要學(xué)者和數(shù)學(xué)家丟番圖，在撰寫(xiě)的用純分析的途徑處理數(shù)論與代數(shù)問(wèn)題的《算術(shù)》(Arithmetic)中，主要是以不定方程的求解而著稱(chēng)。在此之前，阿基米德就接觸過(guò)類(lèi)似問(wèn)題，提出了“牛群?jiǎn)栴}”(The cattle problem)。但丟番圖是對(duì)不定方程問(wèn)題作深入研究的第一人，因而也將不定方程稱(chēng)為“丟番圖方程”。

在《算術(shù)》中有一個(gè)出名的不定方程問(wèn)題：將一個(gè)已知的平方數(shù)分為兩個(gè)平方數(shù)。這一問(wèn)題之所以出名，主要是因?yàn)榇蠹s在1637年前后，“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”費(fèi)馬在閱讀《算術(shù)》拉丁文譯本時(shí)，對(duì)這一問(wèn)題作了個(gè)邊注寫(xiě)道，“將一個(gè)立方數(shù)分成兩個(gè)立方數(shù)之和，或一個(gè)四次冪分成兩個(gè)四次冪之和，或者一般地將一個(gè)高于二次的冪分成兩個(gè)同次冪之和，這是不可能的。關(guān)于此，我確信已發(fā)現(xiàn)了一種美妙的證法 ，可惜這里空白的地方太小，寫(xiě)不下”，從而引出了“引無(wú)數(shù)英雄競(jìng)折腰”，耗時(shí)300多年才被解決的舉世矚目的“費(fèi)馬大定理”。

我國(guó)是研究不定方程最早的國(guó)家。大約成書(shū)于公元前1世紀(jì)的數(shù)學(xué)巨著《九章算術(shù)》中，有一道涉及不定方程的“五家共井”的問(wèn)題。五家共井，甲二綆(汲水用的井繩)不足，如(接上)乙一綆；乙三綆不足，如丙一綆；丙四綆不足，如丁一綆；丁五綆不足，如戊一綆；戊六綆不足，如甲一綆，皆及，這標(biāo)志我國(guó)很早就對(duì)不定方程理論有了系統(tǒng)研究。而這樣相同的問(wèn)題在13世紀(jì)意大利斐波那契《算經(jīng)》與15世紀(jì)阿爾·卡西《算術(shù)之鑰》中都曾出現(xiàn)過(guò)。

2.2 中國(guó)剩余定理

中國(guó)剩余定理又稱(chēng)孫子定理，因它最早記載在我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》，它是數(shù)論中的一個(gè)重要且廣泛應(yīng)用的定理，其內(nèi)容如下：

對(duì)于涉及這部分的內(nèi)容，任課教師可適當(dāng)?shù)刂v解一下以下史料。大約公元4世紀(jì)，我國(guó)古代重要的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》記載著“物不知數(shù)”問(wèn)題。今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問(wèn)物幾何？ 答曰“二十三”。這就是今天關(guān)于一次同余式組的解法問(wèn)題。我國(guó)宋代大數(shù)學(xué)家秦九韶進(jìn)一步推廣了“物不知數(shù)”問(wèn)題，開(kāi)創(chuàng)了對(duì)一次同余式理論的研究工作。秦九韶在《數(shù)書(shū)九章》提出了“大衍總數(shù)術(shù)”，系統(tǒng)闡述了求解一次同余式組的一般方法，其中最關(guān)鍵的是“大衍求一術(shù)”，這是秦九韶對(duì)古歷算家在求歷法上元的總結(jié)。到了18、19世紀(jì)，歐拉與高斯分別對(duì)一次同余式組進(jìn)行了深入的研究，獲得了與秦九韶“大衍求一術(shù)”相同的定理。1876年德國(guó)馬蒂生指出秦九韶的求解一次同余式組方法與高斯算法是一致的，這才引起歐洲對(duì)這一問(wèn)題的重視。對(duì)于“物不知數(shù)”問(wèn)題，我國(guó)明代數(shù)學(xué)家程大位在《算法統(tǒng)宗》(《新編直指算法統(tǒng)宗》)一書(shū)中用歌訣形式給出了解法：三人同行七十稀，五樹(shù)梅花廿一枝，七子團(tuán)圓正半月，除百零五便得知。其大意是用被3除的余數(shù)乘以70，用被5除后的余數(shù)乘以21，用被7除后的余數(shù)乘以15，然后相加，如大于105，便一次次地減去105，直至小于105為止。

2.3 素?cái)?shù)

素?cái)?shù)在整數(shù)理論中所占的地位是很重要的。根據(jù)算術(shù)基本定理，設(shè)整數(shù)a>1，a能被唯一的分解成a=p1p2…pk，其中pi(1≤i≤k)是滿(mǎn)足p1≤p2≤…≤pk的素?cái)?shù)，可以說(shuō)素?cái)?shù)是構(gòu)成整數(shù)的基本單元。在數(shù)論中涉及有關(guān)素?cái)?shù)的難題是很多的。任教者可適當(dāng)講解有關(guān)素?cái)?shù)一些難題的研究進(jìn)展情況，讓學(xué)生直接與難題“對(duì)話”，去揭開(kāi)難題的“面紗”。

梅森素?cái)?shù)：梅森素?cái)?shù)是形如2P-1的素?cái)?shù)，其中P為素?cái)?shù)，它是以17世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家馬林·梅森的名字命名，并記為MP。2300多年前，古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在《幾何原本》中證明了素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)是無(wú)窮的，并提出一些素?cái)?shù)可寫(xiě)成2P-1(其中P也是素?cái)?shù))的形式。自梅森素?cái)?shù)提出以來(lái)，到目前為止只已發(fā)現(xiàn)了51個(gè)。第51個(gè)梅森素?cái)?shù)M82589933于2018年12月7日由Patrick Laroche利用“互聯(lián)網(wǎng)梅森素?cái)?shù)大搜索(GIMPS)”項(xiàng)目被發(fā)現(xiàn)，它的位數(shù)高達(dá)24 862 048位，它是當(dāng)今所知的最大素?cái)?shù)。在探索的過(guò)程中出現(xiàn)了很多有趣的事情，如“梅森猜測(cè)”“歐拉是我們每一個(gè)人的老師”“一言不發(fā)的演講”“美國(guó)伊利諾伊大學(xué)發(fā)行的紀(jì)念郵戳”“周氏猜測(cè)”神奇的書(shū)《2017年最大の素?cái)?shù)》、研究梅森素?cái)?shù)的重大意義等。任課教師可以選擇性地講解，讓學(xué)生對(duì)梅森素?cái)?shù)有初步的認(rèn)識(shí)，也可能會(huì)產(chǎn)生意想不到的結(jié)果。

哥德巴赫猜想：1742年6月7日，哥德巴赫在給歐拉的一封信當(dāng)中提出了一個(gè)假設(shè)：每個(gè)偶數(shù)是兩個(gè)素?cái)?shù)之和，每個(gè)奇數(shù)是三個(gè)素?cái)?shù)之和。這就是聞名遐邇的哥德巴赫猜想。對(duì)于哥德巴赫給出的這一命題，1742年6月30日歐拉在給哥德巴赫的回信中給予了肯定。同時(shí)在回信中，歐拉也提出了另一個(gè)他也沒(méi)能證明的命題：任何一個(gè)大于2的偶數(shù)都是兩個(gè)素?cái)?shù)之和。哥德巴赫猜想自1742年被提出來(lái)以后，直到20世紀(jì)初才有本質(zhì)性的研究進(jìn)展。對(duì)于奇數(shù)哥德巴赫猜想，1937年蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家維諾格拉多夫利用圓法和指數(shù)和估計(jì)給出了證明，這是哥德巴赫猜想證明的第一個(gè)實(shí)質(zhì)性的突破。而對(duì)于偶數(shù)哥德巴赫猜想的研究進(jìn)展，主要是依靠改進(jìn)篩法來(lái)取得。在哥德巴赫猜想研究領(lǐng)域中，我國(guó)是占據(jù)著領(lǐng)先地位的。在哈代名下從事數(shù)論研究的數(shù)學(xué)家華羅庚參與中國(guó)科學(xué)院數(shù)學(xué)研究所的籌建，并于1952年出任所長(zhǎng)。1953年，華羅庚組織領(lǐng)導(dǎo)哥德巴赫猜想討論班，并取得了豐碩的成果，這就包括王元的成果與潘承洞的成果，尤其是陳景潤(rùn)的成果。1966年，數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)宣布證明了“1+2”。后經(jīng)改進(jìn)，其“1+2”的詳細(xì)證明于1973年發(fā)表在《中國(guó)科學(xué)》，后被國(guó)際數(shù)學(xué)界公認(rèn)是“篩法理論的光輝頂點(diǎn)”。他的成果被國(guó)際數(shù)學(xué)界稱(chēng)為“陳氏定理”，寫(xiě)進(jìn)美、英、法、蘇、日等六國(guó)的許多數(shù)論書(shū)中。因這一成就，1978年他與王元、潘承洞共同獲得國(guó)家自然科學(xué)獎(jiǎng)一等獎(jiǎng)，這個(gè)成果的水平至今都無(wú)人超越。

3 結(jié)語(yǔ)

本文只是列舉了幾個(gè)有關(guān)初等數(shù)論課程中所涉及數(shù)學(xué)史方面的內(nèi)容，而這一方面的內(nèi)容是很多的，這需要我們教育者認(rèn)真地去收集與挖掘。HPM視角下將數(shù)學(xué)史料滲透于初等數(shù)論課程實(shí)踐教學(xué)，可將枯燥的課堂生動(dòng)化，這將有助于提高學(xué)生對(duì)理論知識(shí)本質(zhì)的理解，增強(qiáng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，提升課堂教學(xué)效果，同時(shí)也可以使學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)史的教育價(jià)值。但是，需要指出的是，在具體的實(shí)踐教學(xué)過(guò)程中，不能一味地將數(shù)學(xué)史料進(jìn)行堆砌，而是要“活用活講”，這樣才能收到預(yù)期的教學(xué)效果。