張芯語(yǔ)，張樹(shù)義，鄭曉迪

(1.渤海大學(xué)數(shù)理學(xué)院，遼寧錦州 121013;2.錦州師范高等專(zhuān)科學(xué)校計(jì)算機(jī)系，遼寧 錦州 121001)

1 引言與預(yù)備知識(shí)

文獻(xiàn)［1-2］中引入(C)g型非阿基米德概率2-距離空間的概念，討論了可交換映象和集值映象列的公共不動(dòng)點(diǎn)的存在性.文獻(xiàn)［3-4］在(C)g型非阿基米德Menger概率度量空間中建立了包括Altman型在內(nèi)的一些映象公共不動(dòng)點(diǎn)的存在性定理.近些年來(lái)，文獻(xiàn)［5-9］研究了幾類(lèi)非線(xiàn)性映象不動(dòng)點(diǎn)的存在性.受上述工作啟發(fā)，本文在(C)g型非阿基米德概率2-距離空間中建立一類(lèi)積分型集值映象列公共不動(dòng)點(diǎn)的存在性定理，從而改進(jìn)和推廣了文獻(xiàn)［1-2］中的相應(yīng)結(jié)果.

定義1［1］二元組(X，F(xiàn))稱(chēng)為非阿基米德概率2-距離空間，如果X是非空集，F(xiàn):X×X×X→D(D為全體分布函數(shù))是滿(mǎn)足以下條件的映象(Fx，y，z(t)表F(x，y，z)在t∈R處的值):

Ⅰ)Fx，y，z(0)=0，x，y，z∈ X;

Ⅱ) x，z∈ X，存在 y ∈ X，t0＞ 0，使得 Fx，z，y(t0) ＜ 1;

Ⅲ) 對(duì) t ＞ 0，F(xiàn)x，y，z(t)=1 當(dāng)且僅當(dāng) x，y，z∈ X 中至少有二元相等;

Ⅳ)Fx，y，z=Fx，z，y=Fy，z，x，x，y，z∈ X;

Ⅴ) 若 Fx，y，u(t1)=1，F(xiàn)x，u，z(t2)=1，F(xiàn)u，z，x(t3)=1，則 Fx，y，z(max{t1，t2，t3})=1，x，y，z∈ X.

定義2［1］映象Δ:［0，1］3→［0，1］稱(chēng)為三角范數(shù)，如果滿(mǎn)足以下條件:

ⅰ) Δ(a，1，1)=a，a ∈［0，1］;

ⅱ)Δ(a，b，c)= Δ(a，c，b)= Δ(c，a，b)，a，b，c∈［0，1］;

ⅲ) 當(dāng) d ≥ a，e≥ b，f≥ c時(shí)，有 Δ(d，e，f) ≥ Δ(a，b，c);

ⅳ)Δ(Δ(a，b，c)，d，e)= Δ(a，Δ(b，c，d)，e)，其中 a，b，c，d，e，f∈［0，1］.

定義3［1］三元組(X，F(xiàn)，Δ)稱(chēng)為非阿基米德Menger概率2-距離空間，若(X，F(xiàn))是一非阿基米德概率2-距離空間，Δ是Δ-范數(shù)，且有

ⅵ)Fx，y，z(max{t1，t2，t3}) ≥ Δ(Fx，y，u(t1)，F(xiàn)x，u，z(t2)，F(xiàn)u，y，z(t3))，t1，t2，t3∈［0，!)，x，y，z，u ∈ X.

設(shè) Ω ={g g:［0，1］→［0，!) 連續(xù)、嚴(yán)格遞減，g(1)=0，g(0) ＜ +!}.

定義4［1］非阿基米德概率2-距離空間(X，F(xiàn)，Δ)稱(chēng)為(C)g型非阿基米德概率2-距離空間，如果存在 g ∈ Ω，使 x，y，z，u ∈ X，t≥ 0，有

本文中假設(shè)(X，F(xiàn)，Δ)是完備的(C)g型非阿基米德Menger概率2-距離空間，Δ是連續(xù)的t-范數(shù).

定義 5［1］設(shè) A X，稱(chēng) A是概率有界的，如果 a ∈ X，t ＞ 0，有 δ(A，g，t) ＜ +!，其中 δ(A，g，t)=g［Fr，y，a(t)］.用 W 表示 X 中一切非空閉的概率有界集合.

定義 6［1］對(duì) A，B ∈ W，x，a ∈ X，定義

定義7h1{h h:［0，+!)→［0，+!)不減、右連續(xù)，且(t) ＜ !，t≥0，其中hn(t)表h(t)的n次迭代函數(shù)}，H1{H H:［0，!)5→［0，!) 右連續(xù)，對(duì)每一變量是非減的函數(shù)，t∈［0，!)，max{H(t，t，t，a1t，a2t) a1，a2∈ 瓔 ，a1+a2=2}=h(t) 滿(mǎn)足 h1，其中瓔 為自然數(shù)集合}.

引理 1［1］設(shè) A ∈ W，x，y，a ∈ X，則

ⅰ)g［Fx，A，a(t)］=0，a ∈ X，t ＞ 0x ∈ A;

ⅱ)g［Fx，A，a(t)］≤ g［Fx，y，a(t)］+g［Fx，A，a(t)］+g［Fy，A，a(t)］，t≥ 0;

ⅲ) 對(duì)任意 A，B ∈ W，如果 x ∈ A，則 g［Fx，B，a(t)］≤ g［FA，B，a(t)］，a ∈ X，t≥ 0.

引理 2設(shè) h ∈ h1，{xn} 為 X 中序列，如果( τ)dτ≤ h(τ)dτ，a∈X，t≥ 0，則 m ≥ 0，t≥ 0，有(τ)dτ =0，其中 ψ:R+→R+是勒貝格可積與可和的:a，b∈R+，(τ)dτ+(τ)dτ，且(τ)dτ＞ 0，ε ＞ 0.

證明:由條件有

引理 3［1］設(shè) H ∈ H1，則

1)h(t) ＜ t，t ＞ 0;

2) 若 t≤ h(t)，t≥ 0，則 t=0.

2 主要結(jié)果

定理1設(shè)為集值映象列，對(duì) i，j∈ 瓔+(正整數(shù)集)，i≠ j，x，y，a ∈ X，t ＞ 0，有

其中H∈ H1，ψ:R+=［0，!) → R+是勒貝格可積與可和的:a，b∈ R+，(τ)dτ≤(τ)dτ+τ)dτ，且τ)dτ＞ 0，ε ＞ 0.再設(shè)對(duì)x∈X，n∈瓔+及u∈Tnx，存在v∈Tn+1u，使a∈X，t＞ 0，( τ)dτ≤(τ)dτ，則存在 x*∈ X，使得 x*.

證明:任取x0∈X，取x1∈T1x0∈W，由定理1假設(shè)條件知，存在x2∈T2x1∈W，使a∈X，t＞0，有( τ)dτ ≤(τ)dτ.同樣存在x3∈T3x2∈W，使a∈X，t ＞ 0，有(τ)dτ=(τ)dτ.重復(fù)上述過(guò)程，可得一序列{滿(mǎn)足下述條件:xn∈Tnxn－1，a∈X，t ＞ 0，n 1，2，…，

下面證明{xn}為X中Cauchy列.事實(shí)上，對(duì)n∈瓔+，a∈X，t＞0，由式(2)、(3)及引理1知

取 a=xn－1，由式(4) 得

如果存在 t0＞ 0，a0∈ X，使( τ)dτ ＞(τ)dτ，則由式(5) 知

據(jù)此由引理 2 知 n，m ∈ 瓔+，有(t)dt=0.下面證{xn} 是X中的Cauchy列.m，n∈ 瓔+，n≤ m，有

在上述不等式兩端令n，m→!，并注意到H∈H1，易得(τ)dτ=0，a∈X，t＞ 0.由于g是連續(xù)的、嚴(yán)格減的，且g(1)=0，故知{xn}為X中Cauchy列，因X完備，故可設(shè)xn→x*∈X(n→!).下面證明x*是{的公共不動(dòng)點(diǎn).對(duì) j∈ 瓔+，a∈X，t＞ 0，由式(2)、(3)及引理1可得

令n→!，并注意到H∈H1的右連續(xù)性，可得

定理 2［2］設(shè){:X → W 為集值映象列，對(duì)任意 i，j∈ 瓔+，i≠ j，任意 x，y，a ∈ X，t ＞ 0，有

其中 h∈h1.再設(shè)對(duì)x∈X，n∈瓔+及u∈Tnx，存在v∈Tn+1u，使g［Fu，v，a(t)］≤g［FTnx，Tn+1u，a(t)］，a∈X，t＞ 0，則存在 x*∈ X，使得 x*.

證明:在定理 1 中取 ψ(t)=1，H(t，t，t，t，t)=h，則H對(duì)每一變量是非減的.注意到 max{H(t，t，t，a1t，a2t)a1，a2∈ 瓔+，a1+a2=2}=h(max{t，t，t，t})=h(t) 且 h ∈ h1，因此這樣取的H∈H1，由定理1可得定理2.證畢.

推論1設(shè){Ti}為 X 上的單值自映象，對(duì) i，j∈ 瓔+，i≠ j，x，y，a ∈ X，t ＞ 0，有

其中H∈ H1，ψ:R+=［0，!) → R+是勒貝格可積與可和的:a，b∈ R+，(τ)dτ≤τ)dτ+(τ)dτ，且(τ)dτ＞ 0，ε ＞ 0，則存在 x*∈ X，使 x*.