吳珍發(fā)

(福建莆田第十中學(xué),福建 莆田 351146)

1 問題的提出

圖1

如圖1,繩子拉船從A運(yùn)動(dòng)到B按運(yùn)動(dòng)的合成與分解可以看成是先把船沿著以滑輪為中心的從A轉(zhuǎn)到C,再把船沿繩子方向從C拉到B兩個(gè)運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng);或者把繩子拉船從A運(yùn)動(dòng)到B看成先把船沿繩子方向的從A拉到D,再把船沿以滑輪為中心從D轉(zhuǎn)到B的兩個(gè)運(yùn)動(dòng)的合成．其中合運(yùn)動(dòng)和分運(yùn)動(dòng)之間的速度關(guān)系為v轉(zhuǎn)=v船sinθ,v繩=v船cosθ．

依教材這樣的分析對(duì)高一的學(xué)生還是算有點(diǎn)兒突然但也很巧妙,但是理解起來總的還是覺得有些陌生．對(duì)高一的學(xué)生,我們不妨另辟蹊徑,從其他角度入手,以加強(qiáng)對(duì)拉船問題的全面和透徹地理解．

2 橫嶺側(cè)峰多角度通透看“拉船”

圖2

2.1 從三角形三個(gè)邊之間關(guān)系粗淺看

初中學(xué)生都學(xué)過三角形兩邊和大于第三邊兩邊差小于第三邊這個(gè)原理,對(duì)于剛升入高中的高一學(xué)生,我們可以先從他們很熟悉的三角形邊間的關(guān)系初步入手研究拉船.

如圖2,假設(shè)船從A運(yùn)動(dòng)到B.在△ABC中，有LAB>LOA-LOB,又v船=LAB/Δt,v繩=(LOA-LOB)/Δt,由此,顯然有v船>v繩．

這樣我們從學(xué)生已知的很粗淺的數(shù)學(xué)知識(shí)入手,粗略知道了船速跟繩速之間的大體關(guān)系,對(duì)此拉船問題有了初步的理解．

2.2 從極限思想精確分析“拉船”

在高中物理學(xué)習(xí)中極限思想方法很重要,有關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)會(huì)逐步學(xué)到,而且極限思維在物理里面的應(yīng)用也很廣泛,其實(shí)繩拉船各種瞬時(shí)速度關(guān)系在極限思維方面可以看成是瞬時(shí)速度就是指船在無窮小的時(shí)間內(nèi)通過的位移,也就是為繩拉船通過的無窮小的位移和無窮小的時(shí)間的比值．現(xiàn)我們由極限的思維入手分析.

從圖中的幾何關(guān)系可知:

l2=s2+h2.

(1)

(l-Δl)2=(s-Δs)2+h2.

(2)

上兩式(1)-(2)并兩邊同除以Δt,得

當(dāng)Δt→0時(shí),Δl→0,Δs→0.

由此可得2lv繩=2sv船,

這樣分析十分自然,學(xué)生由此也加深了對(duì)瞬時(shí)速度的理解,同時(shí)也培養(yǎng)了學(xué)生的高中物理學(xué)習(xí)中極其重要的極限思維思想,從一個(gè)嶄新的角度加深了對(duì)繩子拉船問題的熟悉和精確理解．

2.3 換個(gè)角度從功能原理方面看

極限問題比較抽象,我們還可以從我們熟悉的功能關(guān)系入手,其實(shí),繩子拉船也是一個(gè)利用任何機(jī)械都不省功的功的原理問題．

當(dāng)船水平前進(jìn)時(shí)有

Wf=f·Δs,WF=F·Δl，

又由受力分析可知f=Fcosθ，根據(jù)功能原理利用任何機(jī)械都不省功,即WF=Wf.可得Δl=Δs·cosθ.兩邊同除以Δt得

從以上分析可知,無論船水平加速還是勻速都是v繩=v船cosθ．這樣我們又從學(xué)生很熟悉的物理知識(shí)入手解決繩拉船問題,這就猶如桃花源記里面說的,我們的思路經(jīng)過剛才前面的抽象極限思維如一段狹窄的路段后前面又是一個(gè)一馬平川的“桃花源”.

2.4 用導(dǎo)數(shù)方法徹底解決

其實(shí)極限思維也就是大學(xué)中學(xué)到的導(dǎo)數(shù)方法,高中學(xué)生后面數(shù)學(xué)越來越深入也會(huì)粗淺學(xué)到導(dǎo)數(shù)方法．現(xiàn)在我們用導(dǎo)數(shù)方法極其簡(jiǎn)便并徹底解決拉船問題．

如圖2,拉船過程中任意時(shí)刻,岸高h(yuǎn),定滑輪與船間的繩子長(zhǎng)l和船距岸邊距離s有如下關(guān)系:l2=s2+h2.

顯然l和s都是時(shí)間的函數(shù),對(duì)左右兩邊對(duì)t求導(dǎo),有2l·l′(t)=2s·s′(t).則

由導(dǎo)數(shù)定義可知:s′(t)即為船速,l′(t)即為拉繩速度,因此

即v繩=v船cosθ.

導(dǎo)數(shù)作為高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ),解決此類問題具有初等數(shù)學(xué)難以企及的優(yōu)勢(shì),但導(dǎo)數(shù)知識(shí)的方法一般出現(xiàn)在高二下學(xué)期的數(shù)學(xué)課程中,而拉船問題卻出現(xiàn)在高一物理中,應(yīng)注意學(xué)生在學(xué)完導(dǎo)數(shù)都的后續(xù)物理學(xué)習(xí)和復(fù)習(xí)中點(diǎn)明和使用運(yùn)用導(dǎo)數(shù),可使學(xué)生對(duì)此類問題更加深刻理解,獲得新的處理物理問題的方法,其實(shí)導(dǎo)數(shù)方法本質(zhì)上也是一種極限的思維.這種方法特別對(duì)于難度大的比如物理競(jìng)賽中應(yīng)用非常普遍,這也為學(xué)生大學(xué)的學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ)．

3 總結(jié)

至此,我們經(jīng)過多角度的研究,對(duì)于拉船問題速度關(guān)系的正確答案已經(jīng)確定無疑,如此經(jīng)過幾種方法多角度的探究,我們拉船問題可以說是已經(jīng)理解通透．其實(shí),繩子拉船問題高考也常有涉及,比如全國(guó)卷或者福建卷好幾年都有出現(xiàn)．學(xué)生經(jīng)過如此另辟蹊徑從各個(gè)角度透徹理解加深印象,特別是對(duì)數(shù)學(xué)里面導(dǎo)數(shù)方法應(yīng)用,在物理競(jìng)賽和其他物理問題經(jīng)常有用到,有時(shí)候解題猶如戰(zhàn)場(chǎng)的輕騎兵,很快就可以解決問題．當(dāng)然對(duì)于大部分的高中繩子拉船問題解題時(shí)還是應(yīng)該多多運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的合成和分解方法或者功的原理方法進(jìn)行解題,這樣的解答方法在普通解題過程中比較常用,特別是這樣的解法物理過程明白物理分析味道濃厚,較為普遍得到師生的青睞和推崇．