王 欣 喻豪杰 顧振華 胡偉楠

大連理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，大連，116023

0 引言

軸向力作用在產(chǎn)生撓曲的構(gòu)件或豎直載荷作用在產(chǎn)生側(cè)移的結(jié)構(gòu)上引起的附加作用效應(yīng)稱作二階效應(yīng)，也稱為軸力效應(yīng)。結(jié)構(gòu)或構(gòu)件中的附加內(nèi)力和附加變形是由幾何非線性產(chǎn)生的二階效應(yīng)，因此二階效應(yīng)分析方法是解決幾何非線性問(wèn)題的一種方法，屬于幾何非線性方法之一。工程中有一大類結(jié)構(gòu)在承載后有相對(duì)明顯的變形，如履帶起重機(jī)的桁架臂這種細(xì)長(zhǎng)桁架結(jié)構(gòu)，其橫截面積較小，柔度較大，存在剛性不足的問(wèn)題，在自重載荷下會(huì)出現(xiàn)較大的初始下?lián)献冃危?dāng)受到軸向載荷和橫向載荷共同作用后，易出現(xiàn)結(jié)構(gòu)的“軟化”現(xiàn)象，因此不能忽略這種幾何非線性對(duì)結(jié)構(gòu)受力和變形的影響。本文從結(jié)構(gòu)二階效應(yīng)入手，分析研究結(jié)構(gòu)的幾何非線性方法。

結(jié)構(gòu)二階效應(yīng)的常見(jiàn)分析方法有有限元法和微分方程法。目前有限元法的理論研究已經(jīng)取得了豐富的成果[1]。SCHARPF[2]運(yùn)用矩陣位移法求解結(jié)構(gòu)應(yīng)力。BIRNSTIE等[3]運(yùn)用Hermite插值研究梁?jiǎn)卧亩A效應(yīng)，但需要用3個(gè)或4個(gè)單元才能擬合一根桿件，取得較好的精度。TO[4]用三次多項(xiàng)式來(lái)研究梁的撓度，推導(dǎo)梁的剛度矩陣。LI等[5]通過(guò)運(yùn)用Chebyshev多項(xiàng)式方法得到Timoshenko-Euler楔形梁的單元?jiǎng)偠染仃?。謝貽權(quán)等[6]推導(dǎo)了梁?jiǎn)卧那邢騽偠染仃?，并求出了其顯式表達(dá)式。陸念力等[7]運(yùn)用普通的非線性有限元結(jié)合隨動(dòng)坐標(biāo)法，推導(dǎo)了大位移桿系結(jié)構(gòu)的一般非線性的全量平衡方程和增量平衡。采用有限元法理論上可獲得高精度的全量與增量平衡方程和各剛度矩陣，但單元?jiǎng)偠染仃囉刹逯道碚撏茖?dǎo)所得，且為顯式表達(dá)剛度矩陣，會(huì)省略某些高階非線性項(xiàng)，這兩者均會(huì)導(dǎo)致實(shí)際中最終梁桿有限元方程精度的下降。

本文基于二階效應(yīng)，首先在變形后的位置上建立承受橫向均布載荷壓桿的彎曲平衡方程，然后將撓曲線方程變換成以待定的幾何參數(shù)表達(dá)的普遍形式[8]，再根據(jù)特定的邊界條件和平衡條件求解待定幾何參數(shù)，得到撓曲變形方程。最后，采用該方法分析求解存在二階效應(yīng)的履帶起重機(jī)桁架臂標(biāo)準(zhǔn)節(jié)模型的撓度變形，并與常用有限元軟件ANSYS和ABAQUS幾何非線性的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。

1 承受橫向均布載荷的壓桿彎曲問(wèn)題的求解方法

1.1 壓桿彎曲的微分方程及其解

一承受橫向均布載荷q的等截面受壓桿力學(xué)模型見(jiàn)圖1，桿件長(zhǎng)度為L(zhǎng)，桿件兩端有軸向壓力P、橫向剪力Q以及彎矩M的作用，以桿變形前的軸線為x軸，側(cè)向撓曲變形方向?yàn)閥軸建立坐標(biāo)系，則桿變形后的撓曲微分方程為

圖1 壓桿受力簡(jiǎn)圖Fig.1 Compression rod force diagram

(1)

式中,E為彈性模量;I為截面慣性矩。

令k2=P/EI，則式(1)可寫成：

(2)

則微分方程式(2)的通解為

y=A1coskx+A2sinkx+A3x2+A4x+A5

(3)

式中，Ai(i=1,2,…,5)為待定的積分常數(shù)，可由邊界條件求出。

引入?yún)?shù)φ和系數(shù)A，令

(4)

(5)

將式(4)、式(5)代入式(3)，可得

y=Asin(kx-φ)+A3x2+A4x+A5

(6)

引入?yún)?shù)μ，μ為壓桿有效長(zhǎng)度系數(shù)，μL即為正弦曲線的兩個(gè)反彎點(diǎn)之間的距離，兩個(gè)反彎點(diǎn)之間的桿段是一個(gè)典型的二力桿的歐拉彎曲模型，則

(7)

將式(7)代入k的表達(dá)式，則

(8)

壓桿截面的彎矩

M=PAsin(kx-φ)

(9)

引入?yún)?shù)ζ，ζ為反彎點(diǎn)系數(shù)，ζL表示x軸正方向第一個(gè)反彎點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離，在反彎點(diǎn)處，x=ζL，M=0，代入式(9)，則

(10)

將式(8)、式(10)代入式(6)，則用幾何參數(shù)表達(dá)的壓桿撓曲方程為

y=Asin((x/μL-ζ/μ)π)+A3x2+A4x+A5

(11)

式(11)為撓曲線微分方程式(1)的通解，適用于任意邊界條件的壓桿。對(duì)于給定邊界條件的壓桿，求其特解的問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為根據(jù)桿端的變形連續(xù)條件和力的平衡條件確定撓曲線方程的幾何參數(shù)問(wèn)題。

1.2 壓桿彎曲變形撓曲線的分解

由式(11)可知，撓曲微分方程由正弦曲線Asin((x/(μL)-ζ/μ)π)和拋物線A3x2+A4x+A5兩部分組成，由于考慮了二階非線性，故簡(jiǎn)單的疊加不適用于此處的非線性求解方法。若上述兩變形曲線均承受軸向壓力的作用，則可以將兩者變形疊加[9]。桿的受力分解疊加原理示意簡(jiǎn)圖見(jiàn)圖2。撓曲線分解為兩部分：在任意截面上只承受軸向壓力P和彎矩Mx的正弦曲線；承受橫向載荷、桿端橫向剪力和軸向壓力P作用的二次拋物線，桿處于軸心受壓的曲線平衡狀態(tài)。

1.3 待定系數(shù)的確定

根據(jù)邊界條件和平衡條件求解二次拋物線的系數(shù)A3和A4，二次拋物線可表示為

yi=A3x2+A4x+A5

(12)

拋物線轉(zhuǎn)角θi的方程為

(a) (b)圖2 壓桿受力分解疊加原理示意簡(jiǎn)圖Fig.2 Schematic diagram of force decomposition and superposition principle of pressure bar tanθi=2A3x+A4

(13)

在桿端x=0處，拋物線的斜率等于軸向力P和桿端水平反力Q0的合力作用線與x軸的夾角的正切值，即

(14)

同理，在x=L處有：

(15)

又y方向力的代數(shù)和為零，有qL=QL-Q0，代入式(15)，可得

(16)

則拋物線可表示為

(17)

桿的彎曲變形為

(18)

式(18)中的A、ζ、A5均可由邊界條件和平衡條件求出，壓桿的轉(zhuǎn)角方程和截面上彎矩方程分別為

(19)

(20)

2 承受橫向均布載荷的懸臂壓桿公式求解

承受橫向均布載荷的等截面懸臂壓桿受力分解疊加原理示意圖見(jiàn)圖3，由式(18)～式(20)即可求出系數(shù)A、ζ、A5。

(a) (b)圖3 橫向均布載荷懸臂壓桿受力分解疊加原理示意簡(jiǎn)圖Fig.3 Schematic diagram of force decomposition and superposition principle of cantilever pressure bar under transverse uniform load

桿固定端轉(zhuǎn)角等于零，可得x=0，θ0=0，代入式(19)，得

(21)

桿自由端彎矩等于零，可得x=L，ML=0，代入式(20)，得

(22)

聯(lián)立式(21)、式(22)，整理得

(23)

解得

式中，μ由式(7)確定。

求出ζ后，將ζ代入式(21)中，可得

將邊界條件x=0、y=0代入式(18)，可得

則壓桿撓曲線方程為

(24)

令x=L，則壓桿頂端撓度為

(25)

3 算例分析

使用本文所提出的方法，對(duì)280t級(jí)履帶起重機(jī)桁架臂標(biāo)準(zhǔn)節(jié)模型進(jìn)行分析，求解其撓度變形，并與ANSYS和ABAQUS兩種有限元軟件非線性分析計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。

履帶起重機(jī)空間桁架臂標(biāo)準(zhǔn)節(jié)模型實(shí)際結(jié)構(gòu)見(jiàn)圖4，由外徑159 mm、內(nèi)徑139 mm的弦桿和外徑76 mm、內(nèi)徑67 mm腹桿焊接而成，長(zhǎng)度為L(zhǎng)，桁架臂左端為固定端，懸臂自由端承受軸向壓力P和橫向力Q0，圖5為桁架臂的等效模型，IL為將上述履帶起重機(jī)不同長(zhǎng)度的格構(gòu)式空間桁架臂等效為實(shí)腹式結(jié)構(gòu)后的等效慣性矩[10]，q為臂架自重均布載荷。在通用有限元軟件ANSYS中運(yùn)用BEAM188單元分別建立不同長(zhǎng)度的如圖6a所示的履帶起重機(jī)桁架臂的真實(shí)結(jié)構(gòu)模型，在臂節(jié)其中一端施加全約束，對(duì)不同長(zhǎng)度臂架施加相同大小的軸向壓力P和橫向力Q0，且均施加于與周圍四肢節(jié)點(diǎn)形成剛性區(qū)域的節(jié)點(diǎn)之上，同理，在有限元軟件ABAQUS中建立圖6b所示臂架真實(shí)結(jié)構(gòu)模型，約束與載荷施加方式方法與ANSYS模型相同，然后分別在ANSYS和ABAQUS中對(duì)不同長(zhǎng)度的起重機(jī)臂架模型進(jìn)行非線性分析，不同長(zhǎng)度臂架的ANSYS和ABAQUS非線性分析的結(jié)果與本文計(jì)算結(jié)果如表1所示，其中y為懸臂端的撓度變形大小。

圖4 履帶起重機(jī)桁架臂標(biāo)準(zhǔn)節(jié)模型Fig.4 Standard section model of trussed boom of crawler crane

圖5 起重機(jī)臂架等效懸臂梁模型Fig.5 Equivalent cantilever beam model of the crane boom

(a)ANSYS模型 (b)ABAQUS模型圖6 有限元模型Fig.6 Finite element model表1 不同長(zhǎng)度臂架的計(jì)算變形Tab.1 Calculation of different lengths of boom deformation

L(m)y(mm)本文方法ANSYSABAQUS相對(duì)誤差er1(%)相對(duì)誤差er2(%)1075.7178.8978.954.214.2812109.78114.72114.764.454.5414147.94155.12155.244.854.9316192.06202.32202.485.345.4618240.49254.56254.855.855.9720293.71312.39313.806.366.50

從計(jì)算結(jié)果可以看出，本文計(jì)算所得的撓度變形與ANSYS、ABAQUS軟件非線性分析計(jì)算結(jié)果吻合程度較好，說(shuō)明本方法是可信和有效的，可用來(lái)分析桁架臂的撓度變形，具有實(shí)用性；計(jì)算結(jié)果誤差隨著臂架長(zhǎng)度的增大而有所增加，主要原因是隨著L的增大，臂架的幾何非線性越來(lái)越明顯，臂架的等效慣性矩轉(zhuǎn)化還存在一定的局限性，這是本文需要進(jìn)一步深入研究和改進(jìn)的工作。

4 結(jié)語(yǔ)

根據(jù)幾何非線性引起的二階效應(yīng)的特點(diǎn)，建立壓桿在變形位置后的撓曲微分方程，將微分方程變換成以待定的幾何參數(shù)表達(dá)的普遍形式，求得承受橫向均布載荷的懸臂壓桿的變形方程，分析計(jì)算了存在二階效應(yīng)的起重機(jī)空間桁架臂標(biāo)準(zhǔn)節(jié)的撓曲變形，對(duì)比計(jì)算結(jié)果表明了本文方法的可行性與實(shí)用性。