張東光，牛藺楷

(太原理工大學(xué) 機械與運載工程學(xué)院，太原 030024)

高速球軸承廣泛應(yīng)用于航空、航天、能源、高檔數(shù)控機床等關(guān)鍵領(lǐng)域。高速工況下軸承振動會對整個設(shè)備的安全性和可靠性產(chǎn)生嚴(yán)重的影響。表面波紋度、局部損傷、保持架碰撞等均會影響軸承的振動特性[1-5]。

表面波紋度是軸承表面的主要形狀誤差之一[6]。文獻[1]通過建立多體動力學(xué)模型分析了表面波紋度對球軸承動力學(xué)特性的影響。文獻[7]分析了表面波紋度的階數(shù)和最大幅值對軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動的影響。文獻[8]基于彈性流體動力潤滑理論建立了球與溝道之間的潤滑模型，分析了在潤滑良好及潤滑苛刻2種條件下表面波紋度對軸承振動特性的作用。文獻[9]建立了雙列圓錐滾子軸承的動力學(xué)分析模型，并基于此模型分析了波紋度對軸承振動的影響。

高速球軸承的另一個主要振源是保持架動態(tài)特性。文獻[10-12]構(gòu)建了目前最具代表性的高速球軸承動力學(xué)分析模型。GUPTA模型考慮了軸承中球、套圈及保持架在高速運行下的三維運動、相對滑動、潤滑牽引等復(fù)雜動力學(xué)問題以及離心、陀螺等高速效應(yīng)，并通過試驗進行了驗證[12]。文獻[13]基于GUPTA模型分析了球軸承保持架的熱穩(wěn)定性問題。文獻[14]通過引入黏滯阻尼系數(shù)對GUPTA模型進行了改進，分析了球軸承幾何和工況參數(shù)對保持架打滑的影響。文獻[15]基于GUPTA模型分析了保持架載荷(保持架兜孔與球之間的接觸力與摩擦力，保持架與引導(dǎo)套圈之間的接觸力與摩擦力，保持架離心力)在保持架穩(wěn)態(tài)運動中所起的作用。文獻[16]通過建立非線性動力學(xué)微分方程分析了滾動軸承的保持架打滑問題。文獻[17]分析了加速過程中滾動軸承保持架的打滑問題。

上述對表面波紋度和保持架動態(tài)特性做了大量研究，但研究尚不深入。表面波紋度會影響球與溝道之間的幾何趨近量并嚴(yán)重影響接觸載荷，接觸載荷又會進一步影響球的運動特性，并對球與保持架之間的碰撞作用產(chǎn)生影響，最終影響保持架打滑特性。較大的保持架打滑會加劇保持架磨損，導(dǎo)致保持架產(chǎn)生裂紋。鑒于此，在GUPTA球軸承模型的基礎(chǔ)上分析軸承套圈表面波紋度對保持架打滑特性的影響。

1 考慮溝道表面波紋度的高速球軸承動力學(xué)模型

GUPTA模型未考慮套圈表面波紋度，在GUPTA模型中引入表面波紋度,建立考慮軸承表面波紋度的高速球軸承動力學(xué)模型。

1.1 動力學(xué)建模

外圈與球相互作用如圖1所示，圖中：Oixiyizi為慣性坐標(biāo)系，Oe為外圈中心，Ob為球中心，C為外溝道曲率中心。以球中心為中心建立球坐標(biāo)系Obxbybzb，以外圈中心為中心建立外圈坐標(biāo)系Oexeyeze。

球中心相對于外圈中心的位置矢量為

rbr=rb-rr，

(1)

式中：rb為球中心的位置矢量;rr為外圈中心的位置矢量。

外溝道曲率中心相對球中心的位置矢量為

rbc=rbr-rcr，

(2)

圖1 外圈與球相互作用

式中：rcr為外溝道曲率中心相對外圈中心的位置矢量。

外圈溝道與球之間的幾何趨近量為

δe=rbc3-(fe-0.5)Dw，

(3)

式中：rbc3為矢量rbc在接觸法線方向的分量；fe為外溝曲率半徑系數(shù)；Dw為球直徑。

根據(jù)Hertz接觸理論可得外圈與球之間的接觸載荷為

(4)

式中：k為Hertz接觸剛度系數(shù)。

求得外圈與球之間的接觸載荷后，根據(jù)2個軸承零件的速度矢量可得到二者之間在接觸區(qū)的相對滑動速度。為計算球與外圈的相對滑動速度，建立第j個球與外圈接觸坐標(biāo)系Oejxejyejzej，該坐標(biāo)系的zej軸垂直于接觸面，yej軸沿球旋轉(zhuǎn)方向，xej軸通過右手螺旋法則確定。假設(shè)外圈和球的平移速度矢量分別為vr和vb，旋轉(zhuǎn)速度矢量分別為ωr和ωb，則兩者相對滑動速度矢量為

u=vr+ωr×rrp-vb-ωb×rbp，

(5)

式中：rrp和rbp分別為接觸點相對于外圈中心和球中心的位置矢量(圖1)。

將相對滑動速度矢量u在xej，yej軸的分量代入一定的潤滑牽引模型即可得到相對應(yīng)的牽引系數(shù)(摩擦因數(shù))。典型潤滑牽引模型為[18]

(6)

式中：μ為牽引系數(shù)；A為常數(shù)；v為滑動速度；v0為臨界滑動速度。

將xej，yej方向的牽引系數(shù)與法向接觸載荷相乘可得到牽引力Fsex和Fsey(圖2)。法向接觸載荷和牽引力共同構(gòu)成了外圈作用于球的載荷矢量，即

(7)

則球作用于外圈的載荷矢量為

Feb=-Fbe，

(8)

通過將載荷矢量與相應(yīng)的位置矢量做叉積運算即可得到外圈作用于球的力矩矢量

Μbe=rbp×Fbe，

(9)

球作用于外圈的力矩矢量為

Μeb=rrp×Feb。

(10)

圖2 套圈作用在球上的載荷

內(nèi)圈作用于球的力如圖2所示。圖中：Qi為球與內(nèi)圈的接觸載荷；Oijxijyijzij為球與內(nèi)圈接觸坐標(biāo)系(zij軸垂直于接觸面，yij軸沿球的旋轉(zhuǎn)方向，xij軸通過右手螺旋法則確定)。內(nèi)圈與球的相互作用力及力矩同外圈計算方法。

球與保持架之間的相互作用如圖3所示。圖中：Oc為保持架中心；Op為保持架兜孔中心。

圖3 球與保持架相互作用

保持架兜孔中心相對球中心的位置矢量為

rbp=rb-rc-rcp，

(11)

式中：rcp為保持架兜孔中心相對保持架中心的位置矢量。

球與保持架兜孔之間的幾何趨近量為

h=Cp-rbp2，

(12)

式中：Cp為保持架兜孔間隙；rbp2為矢量rbp在球與保持架兜孔壁接觸法線方向的分量。

同球與外圈之間相互作用關(guān)系類似，得到球與保持架兜孔之間的幾何趨近量，可計算二者之間的接觸載荷，并在此基礎(chǔ)上計算力及力矩。

在得到球、內(nèi)圈、外圈以及保持架的力和力矩后，采用牛頓第二定律描述各軸承零件的平移運動，即

(13)

采用EULER方程描述各軸承零件的轉(zhuǎn)動，即

(14)

式中：J為慣性主矩矢量；ω為角速度矢量；M為力矩矢量。

GUPTA模型中未考慮軸承座的影響，在GUPTA模型的基礎(chǔ)上額外增加2個自由度以模擬軸承座的動力學(xué)特性，如圖4所示(Oxyz為以軸承中心為原點建立的坐標(biāo)系)。軸承所承受的徑向載荷Fr沿z軸負(fù)方向。另外，軸承所承受的軸向力Fa沿x軸方向，該軸向力未在圖4中標(biāo)出。軸承座動力學(xué)方程為[2]

(15)

圖4 軸承座模型

1.2 表面波紋度建模

溝道表面波紋度模型如圖5所示，采用余弦函數(shù)序列對套圈表面波紋度進行建模。內(nèi)、外圈表面波紋度可表示為[7]

2πl(wèi)(j-1)/Z+αil]，

(16)

2πl(wèi)(j-1)/Z+αel]，

(17)

圖5 溝道表面波紋度模型

通過GUPTA模型計算可得內(nèi)、外圈與球之間的趨近量分別為δi和δe。考慮表面波紋度的影響，將(3)式計算得到的幾何趨近量δi和δe分別改為(δi+pij)和(δe+pej)。

2 仿真分析

對軸承進行動力學(xué)特性分析，需要對(13)～(15)式進行動力學(xué)積分。在此采用4/5階變步長Runge-Kutta法對動力學(xué)方程進行數(shù)值求解。為加快動力學(xué)積分的收斂速度，首先采用擬靜力學(xué)模型[18]獲得積分初值(包括各軸承零件的初始位置、初始平移速度和初始角速度)。軸承系統(tǒng)的主要參數(shù)見表1。球與溝道之間的牽引系數(shù)與相對滑動速度之間的關(guān)系為[19]

(18)

仿真計算流程如圖6所示。

保持架在高速、輕載工況下易出現(xiàn)嚴(yán)重打滑，并引起軸承失效,保持架打滑率Δωc為

(19)

表1 軸承系統(tǒng)的主要參數(shù)

圖6 仿真計算流程

式中：ωc為采用動力學(xué)模型計算得到的保持架轉(zhuǎn)速。按照(14)式對時間進行積分后得到保持架的角速度矢量，ωc即保持架角速度矢量沿x軸方向的分量。

2.1 波紋度最大幅值對打滑率的影響

在軸向力為100 N，徑向力為1 000 N，轉(zhuǎn)速為10 000 r/min，波紋度波數(shù)為14時套圈波紋度最大幅值A(chǔ)對保持架打滑率的影響如圖7所示。由圖7a可以看出：隨內(nèi)圈波紋度最大幅值增大，保持架打滑率平均值也隨之減小(當(dāng)內(nèi)圈波紋度最大幅值分別為0.1，0.5和2.0 μm時，保持架打滑率平均值分別為5.194，4.655和2.368);由圖7b可以看出：隨外圈波紋度最大幅值增大，保持架打滑率平均值降低(當(dāng)外圈波紋度最大幅值分別為0.1，0.5和2.0 μm時，保持架打滑率平均值分別為5.216，4.092和2.094):表明保持架打滑率隨著波紋度最大幅值的增大而減小。這可能是由于較大的波紋度最大幅值改變了球與溝道之間的接觸載荷及切向牽引力，從而進一步影響了球與保持架兜孔之間的相互作用力，使球在保持架運行的過程中能夠不停地推動保持架進行轉(zhuǎn)動，從而減小了保持架打滑率。但是由圖7還可看出：當(dāng)波紋度最大幅值增大后，Δωc的波動增大。這說明波紋度最大幅值增大會使保持架轉(zhuǎn)速的波動變大，保持架運轉(zhuǎn)的穩(wěn)定性變差。

圖7 表面波紋度最大幅值對打滑率的影響

2.2 波紋度波數(shù)對打滑率的影響

在軸向力為100 N，徑向力為1 000 N，轉(zhuǎn)速為10 000 r/min，波紋度最大幅值為0.1 μm時波紋度波數(shù)w對打滑率的影響如圖8所示。通過統(tǒng)計學(xué)指標(biāo)峰值系數(shù)(即峰值與均方根值的比值)分析波紋度波數(shù)對保持架打滑率的影響。在圖8a中，當(dāng)波紋度波數(shù)分別為7，10，14和17時，所對應(yīng)的保持架打滑率的峰值系數(shù)分別為1.003，1.003，1.055和1.156,說明隨內(nèi)圈波紋度波數(shù)增大，保持架打滑率峰值系數(shù)增大;在圖8b中，當(dāng)波紋度波數(shù)分別為7，10，14和17時，所對應(yīng)的保持架打滑率峰值系數(shù)分別為1.026，1.027，1.025和1.027,說明外圈波紋度波數(shù)增大，保持架打滑率峰值系數(shù)無明顯變化。這可能是由于內(nèi)圈波紋度波數(shù)對球與溝道之間的接觸載荷和切向牽引力的影響更大，從而影響球與保持架兜孔之間的相互作用力。從上述分析可以看出：保持架打滑率有隨內(nèi)圈波紋度波數(shù)的減小而減小的趨勢。

圖8 表面波紋度波數(shù)對打滑率的影響

2.3 不同軸向力下保持架打滑特性

軸承承受純軸向力作用，在軸承轉(zhuǎn)速為10 000 r/min，波紋度最大幅值為0.1 μm，波紋度波數(shù)為14時軸向力對保持架打滑率的影響如圖9所示。由圖9可以看出：軸向力越大，保持架打滑率越小。為減小打滑率，可增大軸向力;但較大的軸向力會產(chǎn)生摩擦熱，影響軸承壽命[20]。軸向力的選擇需要進一步優(yōu)化分析。

圖9 軸向力對保持架打滑率的影響

在純軸向力1 000 N時，內(nèi)圈表面波紋度對保持架打滑率的影響如圖10所示。由圖10可以看出：1)內(nèi)圈表面波紋度波數(shù)越大，打滑率變動范圍越大;2)內(nèi)圈表面波紋度最大幅值越大，保持架打滑率在整個時間區(qū)間上平均值越小;減小內(nèi)圈表面波紋度的階數(shù),增大內(nèi)圈波紋度的最大幅值有利于減小保持架打滑率。

圖10 軸向力為1 000 N時內(nèi)圈波紋度對保持架打滑率的影響

在軸向力為1 000 N時外圈表面波紋度對保持架打滑率的影響如圖11所示。由圖11可以看出：1)外圈表面波紋度波數(shù)對打滑率影響不大;2)外圈表面波紋度最大幅值越大，保持架打滑率在整個時間區(qū)間上的平均值越小;3)增大外圈表面波紋度最大幅值有利于減小保持架打滑率。

圖11 軸向力為1 000 N時外圈表面波紋度對保持架打滑率的影響

3 模型驗證

從頻域角度分析表面波紋度對軸承的振動響應(yīng)，并將仿真分析結(jié)果與文獻[9]研究結(jié)果進行對比，以驗證所建立動力學(xué)模型的正確性和有效性。

軸承的結(jié)構(gòu)與工況參數(shù)與第2.1和2.2節(jié)的相同。在內(nèi)、外圈表面存在波紋度時軸承基座振動頻譜分別如圖12和圖13所示。

圖12 外圈波紋度最大幅值為0.1 μm，波紋度波數(shù)為7時軸承基座振動頻譜

圖13 內(nèi)圈波紋度最大幅值為0.1 μm，波紋度波數(shù)為7時軸承基座振動頻譜

由圖12可以看出：在外圈表面存在波紋度情況下，在基座振動的頻譜中找到球、外圈通過頻率958.9 Hz及其倍頻1 915.7 Hz，與文獻[9]一致。

由圖13可以看出,在內(nèi)圈含有表面波紋度時，頻譜中的頻率成分可以分為2類：1)軸承轉(zhuǎn)頻fi的倍頻，例如333.3 Hz(≈2fi)，500.6 Hz(≈3fi)，667.6 Hz(≈4fi)，835.1 Hz(≈5fi)，1 003 Hz(≈6fi)，1 166 Hz(≈7fi);2)近似等于pZfc±qfi(p和q為正整數(shù)，fc為保持架旋轉(zhuǎn)頻率)，例如623.6 Hz(≈14fc-2fi)，790.9 Hz(≈14fc-fi)，1 126 Hz(≈14fc+fi)，1 292 Hz(≈14fc+2fi)。這些頻率的分布規(guī)律與文獻[9]中相同。

綜上可知，文中模型的分析結(jié)果與已有研究結(jié)果基本符合，驗證了模型的有效性。

4 結(jié)論

基于GUPTA模型建立了考慮保持架效應(yīng)以及溝道表面波紋度的動力學(xué)分析模型，分析了溝道表面波紋度對高速球軸承保持架打滑率的影響,得出結(jié)論：

1)保持架打滑率隨表面波紋度幅值的增大而減小，但較大的波紋度幅值會使保持架的運行更不穩(wěn)定。

2)保持架打滑率隨內(nèi)圈波紋度波數(shù)減小而減小。

3)適當(dāng)增大軸向載荷有利于減小保持架打滑率。