沈葉華

我在上一篇科普小品《質(zhì)數(shù)冥冥中保護(hù)著“周期蟬”》（見本刊2019年第2期）談到一個(gè)有趣的生物現(xiàn)象，雖然“周期蟬”天敵無數(shù)，但它能從上百萬年世世代代活下來，它生存本能的“質(zhì)數(shù)周期法”這個(gè)殺手锏功不可沒。質(zhì)數(shù)與其他合數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)、整數(shù)、自然數(shù)、完全數(shù)等砌起數(shù)學(xué)的殿堂，質(zhì)數(shù)更是數(shù)學(xué)殿堂的特殊石磚。那么，質(zhì)數(shù)特殊在哪里？我們玩?zhèn)€小游戲來看看。

假如我們有7個(gè)蘋果，怎樣把它們擺放開來？我們可以這樣擺：

無論怎樣，都無法把7個(gè)蘋果擺整齊，都無法把它們平均地排列（總有一個(gè)冒出來），因此我們說：7是質(zhì)數(shù)。但如果我們有1 2個(gè)蘋果，我們可以這樣擺：也可以這樣擺：

至少有一種方法能把12個(gè)蘋果平均地排列，因此我們說：12不是質(zhì)數(shù)，是合數(shù)。看明白質(zhì)數(shù)與合數(shù)的區(qū)別嗎？質(zhì)數(shù)是個(gè)體，不可平均分割;合數(shù)是組合，可以整齊地分切。

因此說，合數(shù)是質(zhì)數(shù)與質(zhì)數(shù)的乘積，合數(shù)全由質(zhì)數(shù)產(chǎn)生。

2×2×7=28

2×17=34

2×2×2×2× 3= 48

2×2×3×5= 60

5×31=155

2，3，5，7，1 7，3 1不都是質(zhì)數(shù)？28，34，48，60，1 55不都是合數(shù)？大家找一找，算一算，有哪一個(gè)合數(shù)不是數(shù)個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積？

如果將質(zhì)數(shù)、合數(shù)比擬為食物，質(zhì)數(shù)像食材，如雞蛋、豬肉各是一種原材料（質(zhì)數(shù)），雞蛋不能分解為“雞”+“蛋”，豬肉不能分解為“豬”+“肉”;相對(duì)地，合數(shù)像菜式，如雞蛋餃，就是用雞蛋漿裹著豬肉末煎炸出來的（合數(shù)）。

我們知道，奇數(shù)、偶數(shù)在數(shù)軸上排隊(duì)，一前一后，互相穿插，很有規(guī)律。質(zhì)數(shù)藏身數(shù)軸中，要找出它，就像在廣袤的森林里要找出你所需的樹，得一棵棵去找。下圖黃色的為質(zhì)數(shù)，看看：它們有時(shí)聚在一塊，有時(shí)離得遠(yuǎn)遠(yuǎn)的，相隔的距離像很隨意。

那么，質(zhì)數(shù)在數(shù)軸上的分布有規(guī)律可循嗎？從公元前300年起，人類一直孜孜不倦地尋找質(zhì)數(shù)的分布規(guī)律，至今仍未發(fā)現(xiàn)。

因此，發(fā)現(xiàn)新質(zhì)數(shù)仍是件費(fèi)時(shí)費(fèi)力的苦差事——即使今天有了電腦，有了互聯(lián)網(wǎng)，有了搜索質(zhì)數(shù)的專業(yè)軟件——特別是隨著質(zhì)數(shù)趨向無窮大，它們分布得越來越稀疏。

比如，已知的最大質(zhì)數(shù)：2 77232917-1=467 333 183 359 231...730 618 069762 1 79 0 7 1，共有2 3 249 425位，也就是說，如果中間不省略，要寫多長(zhǎng)？寫滿9000頁(yè)紙，約9套《紅樓夢(mèng)》書那么厚。這個(gè)質(zhì)數(shù)是一位美國(guó)數(shù)學(xué)發(fā)燒友花了14年業(yè)余時(shí)間，在2018年年初發(fā)現(xiàn)的。

人類至今既未發(fā)現(xiàn)找質(zhì)數(shù)的快速方法，也未發(fā)現(xiàn)整數(shù)分解的簡(jiǎn)捷辦法，如此一來，檢驗(yàn)一個(gè)大數(shù)是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)，就非常費(fèi)勁了。在1536年，人們以為267-1是質(zhì)數(shù)，直到1903年，才分解出它的因子，證明它是合數(shù)：

267-1= 147 573 952 589 676 412 927= 761 838 257 287×1 93 707 72 1

分解267-1足足花了3個(gè)多世紀(jì)。

質(zhì)數(shù)呀質(zhì)數(shù)，人類研究你已有2 300年，但至今好像仍只看到你的表象，未能完全揭開你的面紗。

人類畢竟是萬物之靈，雖對(duì)質(zhì)數(shù)的學(xué)問還未窮盡，但懂它多少就利用它多少吧，快讓它為我們效勞，這沒說的。

那就讓質(zhì)數(shù)管管我們今天的腰包吧?？赡苣銜?huì)說，不懂得質(zhì)數(shù)又如何，還不是一樣曉得掏腰包買東西？但當(dāng)今此言差矣。

現(xiàn)在我們進(jìn)行網(wǎng)購(gòu)，在電腦上輸入銀行卡號(hào)，為什么它不會(huì)被黑客盜走？因?yàn)榻?jīng)過了電腦的加密與網(wǎng)站的解密。電腦用什么加密，網(wǎng)站用什么解密？?jī)蓚€(gè)質(zhì)數(shù)、一個(gè)合數(shù)：這兩個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積正是這個(gè)合數(shù)，例如：N =pxq，N是合數(shù)，p和q是質(zhì)數(shù)。

我們輸入銀行卡號(hào)，電腦用合數(shù)（N）和銀行卡號(hào)摻合一起，然后發(fā)送出去，網(wǎng)站收到這堆混亂信息后，用質(zhì)數(shù)（p和q）進(jìn)行分解，讀出銀行卡號(hào)。也就是說，必需使用p和q才能分解N，才能解讀原信息。這樣一來，即使信息在傳送途中被黑客盜走，黑客沒有p和q，無法分解N，也就無法讀取銀行卡號(hào)。

黑客不會(huì)自己動(dòng)手分解N嗎？這就是前面提到的：人類至今未掌握合數(shù)分解的簡(jiǎn)捷辦法，仍在使用笨方法。例如：分解合數(shù)5609，求出它的兩個(gè)因子，就沒有直接求得的方法，只能從2開始除，5 609÷2=？ 5609÷3=？ 5609÷5=？……一個(gè)個(gè)數(shù)除上去，一直除到71 （5609÷71=79） 5609才能被整除，才分解出它的兩個(gè)因子：71和79。

7 1和79不過區(qū)區(qū)兩位，網(wǎng)絡(luò)加密使用的是數(shù)百位、上千位的大質(zhì)數(shù)。為什么是大質(zhì)數(shù)？質(zhì)數(shù)越大，它們被黑客強(qiáng)力分解出來的難度也越高?？纯矗旅孢@個(gè)合數(shù)共617位，是兩個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積，要將它們分解出來？想想就令黑客望而卻步了。

這就是保衛(wèi)著網(wǎng)絡(luò)通信安全的門神大將：RSA加密算法及其工作原理。RSA加密算法是3位美國(guó)數(shù)學(xué)家在1977年創(chuàng)立的。我們今天之所以能信任互聯(lián)網(wǎng)：瀏覽網(wǎng)頁(yè)，不擔(dān)心信息被黑客刪改;進(jìn)行網(wǎng)購(gòu)、電子商務(wù)，不操心錢被偷走，資金被轉(zhuǎn)移……多虧了RSA加密算法的嚴(yán)防死守，牢不可破。再細(xì)細(xì)想：RSA的防守武器不正是利用質(zhì)數(shù)分布的隨意性，大質(zhì)數(shù)難以被分解出來這些個(gè)大特性嗎？