王咸鵬，國月皓，黃夢醒，沈重，曹春杰，馮文龍

（1. 海南大學(xué)南海海洋資源利用國家重點實驗室，海南 ?？?570228；2. 海南大學(xué)信息與科學(xué)技術(shù)學(xué)院，海南 ?？?570228)

1 引言

多輸入多輸出（MIMO, multiple input multiple output）雷達概念一經(jīng)提出，就立即引起了雷達研究領(lǐng)域?qū)W者們的廣泛關(guān)注[1-2]。由于 MIMO雷達發(fā)射的是正交波形，采用發(fā)射天線與接收天線分置的方式獲得波形分集與空域分集，因此與傳統(tǒng)的雷達相比，MIMO雷達具有更好的識別性能和參數(shù)估計性能，特別是對于聯(lián)合角度的離開方向（DoD,direction-of-departure）與到達方向（DoA, direction-of-arrival）估計[3-4]。

在雙基地的MIMO雷達中，聯(lián)合DoD與DoA估計是一個熱門課題[5]，針對該課題，學(xué)者們提出了許多有效的算法，例如多重信號分類（MUSIC,multiple signal classification）算法[6]、旋轉(zhuǎn)不變子空間（ESPRIT, estimation method of signal parameter via rotational invariance technique）算法[7]，以及其他的一些子空間算法[8-9]，但這些算法依賴于理想的收發(fā)陣列模型。由于收發(fā)陣元往往不能夠精確補償，導(dǎo)致陣元間存在互耦的情況[10-11]。針對這一情況，主要的解決辦法有MUSIC-like和ESPRIT-like等方法[12-13]。其中，ESPRIT-like算法應(yīng)用均勻線陣中互耦矩陣的帶狀對稱Toeplitz結(jié)構(gòu)來消除互耦的影響，但以損失陣列孔徑為代價。以上提出的方案并沒有考慮信號的非圓特性，針對信號的非圓特性，文獻[14]研究了一種在互耦情況下的DoA估計方法，該算法在考慮了信號非圓特性的同時消除了互耦的影響，且利用非圓結(jié)構(gòu)信息補償了部分陣列孔徑的損失。另一方面，在互耦的條件下，針對信號的多維結(jié)構(gòu)特性，學(xué)者們也進行了部分的研究工作[15-16]，文獻[15]介紹了基于酉張量分解的子空間估計方法，該算法在消除互耦影響的同時，將張量子空間通過酉變換轉(zhuǎn)換為實值張量，接著利用張量的多維結(jié)構(gòu)進行角度估計，不僅提高了識別性能，還降低了運算復(fù)雜度。以上這些算法都是單獨利用信號的非圓特性或多維結(jié)構(gòu)特性，不能在補償部分陣列孔徑的損失的同時提高算法的角度估計性能。

本文提出了一種互耦條件下 MIMO雷達的穩(wěn)健DoD和DoA聯(lián)合估計算法，既利用信號本身的多維結(jié)構(gòu)，同時也考慮信號的非圓特征，擴大了陣列孔徑，獲得了更加精確的識別性能。所提算法利用互耦矩陣帶狀對稱的Toeplitz結(jié)構(gòu)來消除未知互耦的影響，因此能夠在互耦的情況下對非圓目標(biāo)進行準確的角度估計，比其他方法具有更好的識別性能。同時為了減少運算復(fù)雜度，所提算法利用張量的酉變換，將子空間張量轉(zhuǎn)化為實值張量，大大提升了算法的運算速度。仿真結(jié)果表明，所提算法具有有效性與優(yōu)越性。

2 張量基礎(chǔ)與信號模型

2.1 張量基礎(chǔ)

本節(jié)主要闡述了張量的基礎(chǔ)知識與定義，更多相關(guān)知識可以從文獻[17-18]中得到。

本節(jié)主要闡述了張量的基礎(chǔ)知識與定義，更多相關(guān)知識可以從文獻[17-18]中得到。

定義1 模式-n矩陣展開。設(shè)張量張量X的模式-n矩陣展開定義為的元素對應(yīng)的元素，其中

定義2 模式-n矩陣積。張量與矩陣的模式-n積定義為其中

此外，模式-n矩陣積滿足以下性質(zhì)

其中，?為Kronecker積。

定義3 張量分解。張量X∈?I1×I2×…×IN的高階奇異值分解定義為

定義4 張量模式-n串聯(lián)。張量X∈?I1×I2×…×IN與張量Y∈?I1×I2×…×IN的模式-n串聯(lián)定義為其中

2.2 信號模型

考慮一個窄帶雙基地MIMO雷達，它由M個發(fā)射陣元與N個接收陣元構(gòu)成，兩者都是半波長的均勻線性陣列（ULA, uniform linear array），M個發(fā)射陣元發(fā)射M個相互正交的非圓信號。假設(shè)在遠場有K個相互獨立的目標(biāo)，對于發(fā)射陣列與接收陣列，第K個目標(biāo)的發(fā)射角和接收角分別為?k和θk。那么接收端接收到的信號可表示為

其中，C=Toeplitz([cT,0])∈?M×M和

tt1×(M-P-1)為互耦矩陣，其中ct= [ct0,ct1,???,ctP]，cr= [cr0,cr1,???,crP]。cip(i=r,t;p= 0 ,1,2,???,P)是P+1個非零互耦系數(shù)，滿足 0 ＜|cip|＜???＜|ci1|＜|ci0|= 1。

根據(jù)模式-n矩陣展開的定義，式(5)中接收到的數(shù)據(jù)矩陣可以看作沿第三維脈沖方向的切片，然后將矩陣X(tl)的數(shù)據(jù)在第三維上堆疊，便得到N×M×L維的張量X。根據(jù)模式-n矩陣展開的定義，可以把張量X改為

其中，⊙為Khatri-Rao積；為發(fā)射與接收導(dǎo)向矩陣；為信號矩陣；滿 足

3 基于酉張量分解的穩(wěn)健角度估計算法

3.1 互耦消除

由于收發(fā)陣元間的互耦效應(yīng)影響了發(fā)射矩陣與接收矩陣因此與不再是范德蒙矩陣。同時注意到互耦矩陣為帶狀對稱Toeplitz矩陣，于是從發(fā)射與接收矩陣提取出 2個子矩陣用來去耦。故2個選擇矩陣可定義為

根據(jù)互耦矩陣的特點，則有

為了能夠在張量域中體現(xiàn)去互耦的過程，式(8)在張量域的擴展可表示為

根據(jù)模式-n矩陣展開的定義，模式-3的矩陣展開可以寫為

3.2 增廣矩陣與信號子空間估計

為了在張量域中同時利用信號的非圓性，通過前后向平滑技術(shù)構(gòu)造了一個特殊的增廣張量

其中，（?）?為共軛運算，ΓK代表次對角線處元素為1、其他元素為0的矩陣。根據(jù)模式-n矩陣展開的定義，Y∈ ?2N~×M~×L模式-3的矩陣展開可以寫為

其中表示擴展導(dǎo)向矩陣 ，為噪聲矩陣。從式(12)可以看出，此時的陣列孔徑為式(10)的2倍。由此可以得知，增廣張量Y不僅考慮到了張量的多維結(jié)構(gòu)，還捕捉到了信號的非圓性，擴大了陣列的虛擬孔徑，從而獲得更加優(yōu)越的參數(shù)估計性能。

由于式(11)使用了前后向平滑技術(shù)，因此張量Y在張量域具有centro-Hermitian特性，于是利用酉變換將式(11)轉(zhuǎn)換為實值張量[19]

其中，( ?)H為共軛轉(zhuǎn)置運算，U2K+1為酉矩陣，定義為

把U2K+1中間一行與中間一列刪去便得到U2K。對式(13)使用高階奇異值分解得到[20]

根據(jù)模式積的性質(zhì)，有

根據(jù)文獻[15]中的定義，將式(18)簡化為

3.3 聯(lián)合DoD與DoA估計

為了得到DoD與DoA估計，利用以下旋轉(zhuǎn)不變性方程[21]

其中，（?）-1為逆運算。從Ψt+jΨr的特征值的實部和虛部能分別得到對角矩陣Φt與Φr。緊接著DoD與DoA便能自動匹配，DoD與DoA通過以下計算式獲得

其中，λtk與λrk分別是Φt與Φr的第k個對角元素。

3.4 運算復(fù)雜度分析

根據(jù)文獻[23]可知，對于一個M×N維的矩陣，對其進行K秩截斷奇異值分解（SVD, singular value decomposition），需要的運算復(fù)雜度為O(MNK)。另一方面，由于實值運算的復(fù)雜度為復(fù)值運算的且所提算法的運算量大部分聚集在對于實值張量Yreal的高階奇異值分解，即對張量Yreal使用三維SVD，因此相應(yīng)的運算復(fù)雜度為文獻[15]中的Tensor unitary ESPRIT算法需要的運算復(fù)雜度為若直接對式(11)中的復(fù)值張量Y使用SVD，則相應(yīng)的運算復(fù)雜度為因此所提算法通過酉變換進行實值運算較大程度地減少了相應(yīng)的運算復(fù)雜度。盡管 Tensor unitary ESPRIT也是實值分解的算法，但所提算法的虛擬孔徑為Tensor unitary ESPRIT算法的2倍，因此后者的運算量為前者的2倍。

4 仿真結(jié)果

本文將所提算法與ESPRIT-like算法[13]、Tensor unitary ESPRIT算法[15]和克拉美羅界（CRB,Cramer-Rao bound）[13]進行比較，通過仿真實驗證明本文所提算法的優(yōu)越性。在仿真中，雙基地MIMO雷達擁有M=8個發(fā)射天線，N=10個接收天線，除非另有說明，設(shè)定目標(biāo)數(shù)目為K=3，這3個目標(biāo)分別位于(φ,θ) = (-10o,10o)、

11(φ2,θ2)=(-8o, 8o)和 (φ3,θ3) = (15o,-15o)。仿真結(jié)果采用均方根誤差（RMSE, root mean square error）進行角度估計性能評估，定義為其中，φ?k,i、θ?k,i分別是 DoD 的φk和 DoA 的θk在第i次蒙特卡羅實驗的估計結(jié)果，Q是蒙特卡羅實驗的總數(shù)，本文中Q=500。另一個用來評價角度估計性能的參數(shù)為成功檢測的概率（PSD, the probability of the successful detection），定義為

其中，D為正確識別的總次數(shù)，而正確的實驗要求所有估計角度的絕對誤差小于在仿真中，設(shè)置互耦參數(shù)為ct= [ 1,0.2 +j0.061]，cr=[1,0.15+j0.0251]，這些參數(shù)意味著在接收陣列與發(fā)射陣列中，前2個天線的位置較近，存在互相耦合的影響。

圖 1對比了在 3個目標(biāo)時不同算法中 SNR對RMSE的影響，快拍數(shù)設(shè)置為L=100。從圖1可以看出，在整個信噪比區(qū)間中，本文所提算法的角度估計性能優(yōu)于Tensor unitary ESPRIT算法與ESPRIT-like算法，且靠近CRB。這是因為本文所提算法不僅利用了信號的多維結(jié)構(gòu)，而且還考慮到了信號的非圓特性，而其他算法僅僅考慮了非圓結(jié)構(gòu)特性或張量結(jié)構(gòu)特性。僅次于本文所提算法的是 Tensor unitary ESPRIT算法，它的性能優(yōu)于ESPRIT-like算法，這是因為Tensor unitary ESPRIT算法考慮到了信號的多維結(jié)構(gòu)，在存在互耦的條件下獲得了優(yōu)良的識別性能。

圖1 RMSE與SNR的關(guān)系（3個目標(biāo)）

圖 2對比了在 2個目標(biāo)的情況下不同方法的SNR對 RMSE的影響，這 2個目標(biāo)分別位于快拍數(shù)設(shè)置為L=100。從圖2中可以看出，本文所提算法的性能依舊優(yōu)于Tensor unitary ESPRIT算法與ESPRIT-like算法。另外，Tensor unitary ESPRIT算法的識別性能依舊優(yōu)于ESPRIT-like算法。

圖2 RMSE與SNR的關(guān)系（2個目標(biāo)）

圖3描述了快拍數(shù)的變化對RMSE的影響，其中SNR=0 dB。從圖3可以發(fā)現(xiàn)，隨著快拍數(shù)的增長，所有算法的性能都得到了不同程度的提高，且本文所提算法的總體性能優(yōu)于 Tensor unitary ESPRIT算法與ESPRIT-like算法。在非常低的快拍數(shù)下，Tensor unitary ESPRIT算法的性能優(yōu)于本文所提算方法，這是由于Tensor unitary ESPRIT算法通過空間平滑有效地增加了快拍數(shù)。當(dāng)快拍數(shù)大于50個時，本文所提算法性能優(yōu)于Tensor unitary ESPRIT算法與ESPRIT-like算法，與CRB十分接近。另外，在大快拍數(shù)的條件下，Tensor unitary ESPRIT算法的性能與 ESPRIT-like算法的性能接近一致，但是仍然劣于本文所提算法。

圖3 RMSE與快拍數(shù)的關(guān)系

圖4描述了幾種方法的識別成功率與SNR之間的關(guān)系，快拍數(shù)設(shè)置為L=50。從圖4可以看出，所有的算法在SNR足夠高時，都能夠達到100%的識別成功率，但是本文所提算法的識別成功率能夠更快地達到100%。在SNR相同的情況下，本文所提算法比其他算法擁有更高的識別成功率。一方面，本文所提算法能夠同時合理地利用信號的非圓特性和多維結(jié)構(gòu)特性，提升角度估計性能；另一方面，本文所提算法只涉及實值運算，有效地減少了運算復(fù)雜度。

5 結(jié)束語

本文針對 MIMO雷達中存在未知互耦的非圓信號，提出了一種基于酉張量分解的角度估計算法。所提算法構(gòu)造了一個特殊的增廣張量用來捕獲非圓信號的非圓特性與多維結(jié)構(gòu)，且可以在張量域中消除互相耦合帶來的影響。另外，所提算法通過酉變換將數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為實值，極大地降低了運算復(fù)雜度，節(jié)約了運算時間。通過分析得知，所提算法比現(xiàn)有的基于子空間的識別算法擁有更好的識別性能，特別是在低信噪比和低快拍數(shù)的條件下。仿真結(jié)果表明，本文所提算法在識別性能上具有優(yōu)良性。

圖4 識別成功率與SNR的關(guān)系