許煥衛(wèi) 李沐峰 王 鑫 胡 聰 張遂川

電子科技大學(xué)機械與電氣工程學(xué)院，成都，611731

0 引言

在工程實際中，復(fù)雜技術(shù)裝備在設(shè)計和優(yōu)化時，目標函數(shù)和約束條件通常都不是線性的。更為困難的是，一些信息通常情況下是匱乏的、不確定和不精確的，如溫度、應(yīng)力、零件形狀尺寸、操作方式和運行軌跡等的變化，以及建立數(shù)學(xué)模型時由于認知所限帶來的誤差等。這些不定因素的存在往往導(dǎo)致復(fù)雜技術(shù)裝備的性能對不確定因素更加敏感，性能波動幾率大大增加，進而影響產(chǎn)品的質(zhì)量。另外，在設(shè)計和優(yōu)化的過程中往往涉及多種因素，如果全部考慮，不僅會使問題復(fù)雜化，還會浪費大量資源。由此，有必要篩選出對產(chǎn)品性能影響較大的因素著重考慮，同時適當忽略影響較小因素的不確定性。

穩(wěn)健設(shè)計理論因具有抗干擾的屬性，現(xiàn)已被廣泛地應(yīng)用在各領(lǐng)域中[1-3]。穩(wěn)健優(yōu)化主要包括兩大類：第一類是概率穩(wěn)健優(yōu)化，該類方法需知道輸入?yún)?shù)的概率分布，概率穩(wěn)健優(yōu)化被應(yīng)用到可靠性優(yōu)化[4]、協(xié)同優(yōu)化[5]、分析目標級聯(lián)(ATC)策略中[6]，然而，這些穩(wěn)健設(shè)計優(yōu)化僅適用于有連續(xù)目標函數(shù)和約束函數(shù)的單目標優(yōu)化問題，且往往是一種特定的情形，如文獻[6-9]；第二類是以區(qū)間分析方法為主的非概率穩(wěn)健優(yōu)化[10-13]，因其只需獲得輸入?yún)?shù)的取值區(qū)間，而無需確切的分布，故區(qū)間分析有很強的適用性。

靈敏度分析[14](sensitivity analysis，SA)的最終目標是識別輸入的可變性對輸出變異性的貢獻。阮文斌等[15]將基于方差和基于失效概率的全局靈敏度分析方法用到復(fù)合材料結(jié)構(gòu)中，成功分析了隨機輸入變量對復(fù)合材料模型輸出響應(yīng)量(最大位移和臨界強度比方差)的貢獻大小以及對兩個響應(yīng)失效概率的影響；張義民等[16]提出了單自由度振動系統(tǒng)的可靠性靈敏度分析方法，放松了對隨機參數(shù)的分布類型和激勵類型的限制；CANNAV[17]在總結(jié)現(xiàn)有靈敏度分析方法的基礎(chǔ)上提出了一種基于靈敏度的模型選擇準則，并將該準則成功應(yīng)用到火山源模型的量化擬合中；HAMEL等[18]提出了一種基于多目標的區(qū)間不確定下靈敏度分析的改進設(shè)計方法，可以在確?？尚行缘臈l件下對隨機變量進行輕微調(diào)整；邱志平等[19]利用區(qū)間擴張理論及其性質(zhì)定義了結(jié)構(gòu)區(qū)間的相對和絕對靈敏度，可在不求導(dǎo)的條件下通過區(qū)間運算求得變量靈敏度值，降低了靈敏度求解難度。

由上述可以看出，靈敏度分析被廣泛地應(yīng)用到各領(lǐng)域中，但是傳統(tǒng)靈敏度分析的精確度依賴于數(shù)據(jù)的完整程度。本文為解決產(chǎn)品優(yōu)化設(shè)計過程中信息少、涉及因素多等難點，利用穩(wěn)健設(shè)計及靈敏度分析和區(qū)間不確定理論的優(yōu)越性，提出基于靈敏度分析的區(qū)間不確定性穩(wěn)健設(shè)計方法。該方法的優(yōu)勢在于：不僅能在設(shè)計之初篩選出對產(chǎn)品性能影響較大的因素，而且還可以選擇性地忽略影響較小因素的不確定性，進而取得性能函數(shù)穩(wěn)健的效果。

1 靈敏度分析

靈敏度分析[20-21]能夠反映某一或某幾個參數(shù)變化或外界噪聲對系統(tǒng)輸出的影響程度。

1.1 全局靈敏度分析——Sobol’法

全局靈敏度分析就是綜合考慮輸入變量對性能函數(shù)的整體影響，進而掌握非單調(diào)、非線性、非疊加的性能函數(shù)整體特性。在全局靈敏度分析方法中，Sobol’法[22]是目前常用的方法。設(shè)空間單元體為Ω(k)，輸入為k維，表示為

Ω(k)={x|0≤xi≤1;i=1,2,…,k}

(1)

Sobol’法的關(guān)鍵步驟在于將性能函數(shù)f(x)準確地轉(zhuǎn)化為

(2)

式(2)中共有2k個子項，采用多重積分進行分解。式(2)中，f0是常數(shù)，其余各項對其所包含的每一個因素的積分為0，即

(3)

式(3)的各個子項彼此正交，即

(4)

式(2)中的分解唯一，且各階子項均可通過多重積分運算得到，即

(5)

式中，x-i為去除xi之后的其他變量；x-(ij)為去除xi和xj之后的其他變量。

同樣可類比得到其他高階子項。從而模型f(x)的總方差為

(6)

則式(2)中的各階偏方差可表示為

(7)

i1,i2,…,is=1,2，…,k

對式(2)在整個Ω(k)域先平方后積分，再結(jié)合式(4)可得

(8)

那么s階的靈敏度為

(9)

此處Si是因素xi的一階靈敏度系數(shù)，反映了因素xi對性能函數(shù)f(x)的主要影響程度，Sij(i≠j)為二階靈敏度系數(shù)，用來表述兩參數(shù)交叉對性能函數(shù)的共同影響程度。依此類推，S1,2,…,k反映了k個因素之間的彼此交叉影響。

總效應(yīng)指數(shù)是指因素xi對性能函數(shù)f(x)整體影響程度，常用來評價單個參數(shù)對性能函數(shù)的全部影響。

由式(8)可知

(10)

1.2 Sobol’ 法計算簡化公式

Sobol’法概念雖然簡單，但求解卻十分困難，因此可由蒙特卡羅積分法進行化簡，則式(6)、式(7)中的f0、D及Di，可簡化為

(11)

x(-i)m={x1m,x2m,…,x(i-1)m,x(i+1)m,…,xkm}

(12)

式中，n為蒙特卡羅估計的采樣數(shù)；xm為Ω(k)空間的采樣點；上標(1)、(2)代表x的兩個n×k維采樣數(shù)據(jù)。

2 不確定性分析

工程實際中各種不確定性因素的變化將導(dǎo)致復(fù)雜技術(shù)裝備的性能不穩(wěn)定，甚至?xí)?dǎo)致重大的損失。傳統(tǒng)方法通過提高制造精度等手段來保證產(chǎn)品質(zhì)量，但因代價過大往往不可取。不確定性優(yōu)化方法主要有隨機規(guī)劃[23]和模糊規(guī)劃[24]兩類，然而，在實際應(yīng)用中，由于信息不完整使得這兩類方法有較大的局限性。區(qū)間數(shù)優(yōu)化因其所需信息少，操作便捷，故與工程實際有優(yōu)良的匹配性，成為一種新的不確定性工程優(yōu)化方法。

2.1 區(qū)間不確定性分析

根據(jù)區(qū)間分析[25]，區(qū)間模型可以定義為

AI=[AL,AR]={x|AL≤x≤AR,x∈R}

(13)

式中，上標L、R 、I分別表示區(qū)間下界、區(qū)間上界、區(qū)間,當AL=AR時，區(qū)間退化為一實數(shù)a。

區(qū)間還可定義如下：

AI=〈Ac,Aw〉={x|Ac-Aw≤x≤Ac+Aw}

(14)

其中，Ac和Aw分別為區(qū)間AI的中點和半徑，它們的關(guān)系如圖1所示。

圖1 區(qū)間的幾何描述Fig.1 The geometric description of interval

定義γ(AI)為區(qū)間AI的不確定性水平，表達式為[26]

(15)

2.2 區(qū)間可能度及區(qū)間可能度轉(zhuǎn)換模型

因區(qū)間表示的是一個范圍，因此需要進行相應(yīng)轉(zhuǎn)換以判斷大小及優(yōu)劣。文獻[27]給出了一種區(qū)間可能度關(guān)系的計算式：

P(AI≤BI)=

(16)

在區(qū)間BI退化為一實數(shù)b的情況下，有如下新的可能度關(guān)系：

(17)

同理,當區(qū)間AI退化為一實數(shù)a時，有如下可能度關(guān)系：

(18)

圖2、圖3、圖4分別為式(16)、式(17)、式(18)所對應(yīng)的幾何描述。

圖2 區(qū)間AI和區(qū)間BI所有可能的位置關(guān)系Fig.2 All possible position relationships of interval AI and BI

圖3 區(qū)間AI和實數(shù)b可能的位置關(guān)系Fig.3 The possible position relation of interval AI and real b

圖4 實數(shù)a和區(qū)間BI和可能的位置關(guān)系Fig.4 The possible position relation of real a and interval BI

兩個區(qū)間的位置關(guān)系確定后，基于區(qū)間可能度的確定性優(yōu)化模型為[27]

(19)

(20)

上述穩(wěn)健模型可以保證在絕對滿足fI(X)≤VI的情況下，找到不確定因素對目標函數(shù)影響最小、性能最穩(wěn)健、可靠的優(yōu)化設(shè)計解。

3 區(qū)間不確定性穩(wěn)健設(shè)計

當前的工程問題日趨復(fù)雜，通常需考慮眾多因素，且已知的設(shè)計信息較少。這種情況下，傳統(tǒng)優(yōu)化方法因考慮太多因素而導(dǎo)致計算繁雜且效率不高。本文通過整合全局靈敏度分析、不確定分析、穩(wěn)健設(shè)計方法，構(gòu)造了基于靈敏度分析的區(qū)間不確定性穩(wěn)健設(shè)計框架。具體步驟如下：

(1)根據(jù)設(shè)計信息建立傳統(tǒng)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型。

(2)對目標函數(shù)f(X)和重要的約束條件g(X)運用Sobol’理論進行靈敏度分析，求出第i個設(shè)計變量xi對應(yīng)的目標函數(shù)和重要約束條件的靈敏度值Si。

(3)若Si≤ε(ε值根據(jù)實際工程需要而定)，則對應(yīng)的設(shè)計變量xi可設(shè)置為常數(shù)a，否則對其進行區(qū)間分析，確定其取值區(qū)間AI，令xi=AI。

(4)利用區(qū)間分析改進常規(guī)優(yōu)化模型，利用式(20)建立區(qū)間可能度穩(wěn)健設(shè)計模型，從而達到魯棒效果，采用雙層嵌套理論[27]求解所建立的區(qū)間可能度模型。

(5)判斷得到的穩(wěn)健解，如滿足目標函數(shù)輸出區(qū)間與理想值之間的最大誤差δ<0.1的條件，則程序結(jié)束，否則返回步驟(3)重新分析不靈敏項。

該框架可以有效解決靈敏度分析中對隨機變量信息完整度的高要求問題，又可以在區(qū)間不確定分析中，降低影響較大因素因波動太大造成的影響。該優(yōu)化框架可以避開影響較小因素的干擾，重點考慮影響較大的因素，有效降低設(shè)計變量維度，因此能夠大大降低模型復(fù)雜度，有效縮短計算時間。另外，因為該模型最終輸出為一功能區(qū)間，因此還可以在乏信息、乏數(shù)據(jù)的產(chǎn)品設(shè)計初期當做預(yù)測模型來預(yù)測產(chǎn)品的性能，為進一步地優(yōu)化提供參考。圖5為基于靈敏度分析的區(qū)間不確定性穩(wěn)健設(shè)計框架及求解流程圖。

圖5 流程圖Fig.5 The flow chart

4 工程實例

該工程實例來源于文獻[28]，設(shè)計車輛的某型轉(zhuǎn)向機構(gòu)，示意圖見圖6。各設(shè)計變量相互獨立且服從正態(tài)分布。設(shè)計變量為軸距L、主銷中心距B、轉(zhuǎn)向梯形臂長l、梯形底角θ。不確定參數(shù)為運動副間隙r1～r4。運動副間隙r1～r4在相應(yīng)區(qū)間上相互獨立且正態(tài)分布。相關(guān)設(shè)計信息如表1所示。

圖6 考慮間隙的汽車轉(zhuǎn)向機構(gòu)示意圖Fig.6 Steering Trapezoidal Structure Considering Motion Pair Clearance表1 設(shè)計信息Tab.1 Design information

設(shè)計變量L(m)B(m)l(m)θ(°)標準差σ0.020.010.010.05均值μ3.652.30.2567不確定參數(shù)r1(mm)r2(mm)r3(mm)r4(mm)變化區(qū)間(0.5,1.5)(0.2,0.8)(0.5,1.5)(0.2,0.8)

根據(jù)相關(guān)設(shè)計要求,各個設(shè)計變量的邊界約束條件為：3.5 m≤L≤3.7 m，2.2 m≤B≤2.5 m， 0.125 m≤l≤0.5 m；根據(jù)設(shè)計信息可知，在整個轉(zhuǎn)向過程中轉(zhuǎn)向機構(gòu)的運動誤差不能超過3°，并將其設(shè)為極限函數(shù)，要求其可靠度R≥0.99。當內(nèi)側(cè)轉(zhuǎn)向輪的轉(zhuǎn)角為β(通常小于20°)時，外側(cè)車輪偏轉(zhuǎn)角

α0=f0(β)=arccot(cotβ+B/L)

(21)

根據(jù)圖6所示的轉(zhuǎn)向機構(gòu)，實際的外向車輪偏轉(zhuǎn)角

(22)

將各相鄰桿件間的配合間隙值代入式(22)，就可以得到實際的外向車輪偏轉(zhuǎn)角。

4.1 目標函數(shù)確定

轉(zhuǎn)向機構(gòu)的轉(zhuǎn)向精度是衡量轉(zhuǎn)向機構(gòu)性能好壞的一個重要指標，本文將其作為目標函數(shù)。在內(nèi)側(cè)車輪轉(zhuǎn)角β從最小角度0°轉(zhuǎn)到最大角度20°的過程中，外側(cè)車輪的理想轉(zhuǎn)向角與實際轉(zhuǎn)向角之間應(yīng)盡可能保持一致，即

(23)

式中，α0i為理論值。

在滿足設(shè)計要求的前提下，式(23)可以保證實際值的波動在盡可能小的同時最接近目標值，也就是保證目標函數(shù)的方差和均值同時盡可能小。

4.2 重要約束條件

當外側(cè)車輪的轉(zhuǎn)角誤差過大時，輪胎的磨損將加劇，為此有

g1(x,r)=|αi-α0i|≤3°

(24)

式中，x為設(shè)計變量；r為不確定性參數(shù)，體現(xiàn)在相應(yīng)的桿件中。

在轉(zhuǎn)向機構(gòu)中，橫拉桿和轉(zhuǎn)向梯形臂之間的夾角是一個變化的值，該夾角的最小銳角被稱為最小傳動角。最小傳動角過大將會導(dǎo)致轉(zhuǎn)向機構(gòu)的各個桿件之間出現(xiàn)“死點”， 最小傳動角過小又會導(dǎo)致各個桿件受力過大，進而對桿件的強度要求也會相應(yīng)提高，因此最小傳動角的計算公式如下：

g2(x,r)=

(25)

其中，γmax為最大極限轉(zhuǎn)角。計算得到的最小傳動角范圍為30°～50°。

轉(zhuǎn)向梯形角約束如下：

(26)

除上述3個約束外，還有設(shè)計變量及不確定性變量的邊界約束。

建立如下一般設(shè)計模型：

s.t.g2(x,r)-3°≤0

30°≤g2(x,r)≤50°

0°≤g3(x,r)≤5°

2.2 m≤B≤2.5 m 3.5 m≤L≤3.7 m

0.125 m≤l≤0.5 m

r1∈(0.000 5,0.001 5)mr2∈(0.000 2,0.000 8)m

r3∈(0.000 5,0.001 5)mr4∈(0.000 2,0.000 8)m

接著對目標函數(shù)f(X)、重要約束條件g2進行靈敏度分析(g1可包含在目標函數(shù)中，g3涉及的參數(shù)過少不必進行靈敏度分析),結(jié)果如表2所示。

表2 靈敏度分析Tab.2 Sensitivity analysis

綜合分析表2數(shù)據(jù)可以看出，當ε=0.05時，對目標函數(shù)而言，因SL+∑Sri=0.03，小于0.05，故在目標函數(shù)中均可忽略其不確定性而設(shè)為常值；同理在約束函數(shù)g1中因SB+SL+∑Sri=0.025 6，小于0.05，則設(shè)計變量B、L及不確定因素r1～r4的不確定性均可忽略而設(shè)為常值。表中某些參數(shù)靈敏度值為0是因為其值太小而被忽略。

利用區(qū)間分析對常規(guī)優(yōu)化設(shè)計模型進行改進，可得如下基于靈敏度分析的區(qū)間不確定性穩(wěn)健設(shè)計模型：

s.t.P(g1(x,r)≤3°)≥0.99

P(g2(x,r)≥[30°,50°])≥0.9

P(g3(x,r)=[0°,5°])≥0.9

2.2 m≤B≤2.5 m 3.5 m≤L≤3.7 m

0.125 m≤l≤0.5 m

r1∈(0.000 5,0.001 5)mr2∈(0.000 2,0.000 8)m

r3∈(0.000 5,0.001 5)mr4∈(0.000 2,0.000 8)m

為檢驗該模型可行性，設(shè)計兩套方案與文獻[28]所提方案及初始解做對比：方案一目標函數(shù)和約束條件中L、r2、r4為定值，即設(shè)L=3.65 m，r2=r4=0.000 5 m；方案二目標函數(shù)中L及不確定因素r1～r4均為定值，這里設(shè)L=3.65 m，r1=r3=0.001 m，r2=r4=0.000 5m。采用雙層嵌套理論及粒子群算法對本文實例取自于文獻[28]設(shè)計模型進行求解，得到的優(yōu)化結(jié)果如表3所示。

4.3 結(jié)果分析

為驗證本文所提方法，將誤差考慮在內(nèi)，即將兩方案中非靈敏項變差的影響考慮在內(nèi)時，得到內(nèi)側(cè)角β變化時(0°～20°)相對應(yīng)的理論外側(cè)轉(zhuǎn)角α0、穩(wěn)健設(shè)計轉(zhuǎn)角α及本文所求轉(zhuǎn)角區(qū)間，結(jié)果如表4所示。由表4可知，內(nèi)側(cè)轉(zhuǎn)向角β從0°到20°變化的過程中，本文兩種方案結(jié)果均在理想值附近。比較這兩方案的最大誤差，δ1max=0.070、δ2max=0.074，均小于設(shè)定值0.1，因此模型的解是合理的；不確定性水平γ1max=0.004、γ2max=0.006，說明在去除了不靈敏項的變差影響后，運用本文所提模型依然能夠得到高質(zhì)量解。對比兩方案的求解效率，方案一由于不考慮3個變量的不確定性，求解時間平均為6.37 s，而方案二去除了5個參數(shù)的不確定性，平均求解時間為5.25 s，縮短了13.34%，說明此模型可以在有效減小計算量、簡化模型復(fù)雜度的前提下提高效率；從解的質(zhì)量上看，所忽略變量的總靈敏度值小于規(guī)定值時，解的精度和穩(wěn)健性并不會由于舍棄這些參數(shù)而發(fā)生質(zhì)的變化。由此在兼顧計算效率和計算精度的前提下，可以綜合考慮工程需要與模型復(fù)雜度等因素選擇去除不靈敏變量的數(shù)量。此工程實例驗證了本文所提方法的正確性，且作為一個預(yù)測模型是完全滿足實際工程要求的。

表3 優(yōu)化結(jié)果Tab.3 Optimization results

表4 結(jié)果對比Tab.4 Result comparison

5 結(jié)論

(1)利用全局靈敏度分析——Sobol’法降低模型復(fù)雜度，利用區(qū)間可能度理論量化不確定因素，進而建立了基于靈敏度分析的區(qū)間不確定性穩(wěn)健設(shè)計方法。

(2)將本文所提方法應(yīng)用到汽車轉(zhuǎn)向機構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計中，通過兩種優(yōu)化結(jié)果的對比分析可知，所提方法在模型精確度、復(fù)雜度、穩(wěn)健性、求解效率等方面都具有一定的優(yōu)勢。由于最終給出的結(jié)果是一個功能輸出區(qū)間，故在乏信息、乏數(shù)據(jù)的條件下，該工程穩(wěn)健設(shè)計預(yù)測模型完全可以滿足工程實際，為設(shè)計人員后續(xù)的進一步優(yōu)化設(shè)計提供了參考。

(3)本文并沒有嚴格定義可以舍棄其不確定性的靈敏度范圍，也沒有嚴格從數(shù)學(xué)角度推導(dǎo)當參數(shù)靈敏度很小時舍棄其不確定性的正確性，這些需要設(shè)計人員根據(jù)實際工程優(yōu)化的具體需求而定。