占偉偉， 蔡 莉

(中國(guó)地震災(zāi)害防御中心，北京 100029)

力平衡加速度計(jì)具有靈敏度高、動(dòng)態(tài)范圍大、頻帶寬等特點(diǎn)，被廣泛用于強(qiáng)震動(dòng)觀測(cè)、低頻工程振動(dòng)測(cè)量等領(lǐng)域[1]。在加速度計(jì)生產(chǎn)和使用中，傳感器的標(biāo)定精度直接影響測(cè)量數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性。目前在強(qiáng)震動(dòng)觀測(cè)儀器測(cè)試中，力平衡加速度計(jì)的標(biāo)定方法主要包括振動(dòng)臺(tái)動(dòng)態(tài)標(biāo)定和重力法靜態(tài)標(biāo)定。振動(dòng)臺(tái)標(biāo)定可以對(duì)加速度計(jì)靈敏度、幅頻特性、相頻特性、線性度和動(dòng)態(tài)范圍等參數(shù)進(jìn)行較全面的測(cè)試，但對(duì)實(shí)驗(yàn)設(shè)備、環(huán)境條件等要求較高，主要用于實(shí)驗(yàn)室計(jì)量測(cè)試。由于力平衡加速度計(jì)一般都具有零頻響應(yīng)、線性度高等特點(diǎn)，且重力加速度值比較容易獲取，這使得重力法標(biāo)定具有簡(jiǎn)易操作的特點(diǎn)，適用于標(biāo)定加速度計(jì)靜態(tài)靈敏度和零位偏置等參數(shù)[2-3]。

在加速度計(jì)重力法標(biāo)定實(shí)施中，常見(jiàn)的有翻滾法、八點(diǎn)法、十二點(diǎn)法等。通過(guò)精密角度調(diào)整設(shè)備實(shí)現(xiàn)重力加速度激勵(lì)輸入，采集加速度計(jì)在不同角度位置下的輸出信號(hào)，按照選擇的靜態(tài)模型解算出加速度計(jì)參數(shù)[4-5]。目前在加速度計(jì)重力法標(biāo)定中，對(duì)角度調(diào)整設(shè)備精度要求較高，部分標(biāo)定用分度臺(tái)可達(dá)到(0.5″～1″)[6]，但是并沒(méi)有考慮加速度計(jì)初始位置安裝誤差的影響。常用的確定被測(cè)加速度計(jì)初始位置的方式，是通過(guò)水準(zhǔn)泡或水平尺等將加速度計(jì)的敏感軸調(diào)整至鉛垂面或水平面內(nèi)。這種方式存在來(lái)存在較大定位誤差，如精度為10′/2 mm的圓形水準(zhǔn)泡可引入約3 Gal加速度計(jì)算誤差。采用更高精度的水準(zhǔn)泡或水平儀減小安裝誤差在實(shí)用性和可操作性方面存在不足。本文在常用的加速度計(jì)重力法標(biāo)定靜態(tài)模型基礎(chǔ)上，加入初始失準(zhǔn)角參數(shù)對(duì)靜態(tài)模型進(jìn)行修正，采用非線性最小二乘算法求解修正的靜態(tài)模型參數(shù)，并通過(guò)多位置翻滾實(shí)驗(yàn)對(duì)加入初始失準(zhǔn)角的修正模型進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。

1 加速度計(jì)靜態(tài)標(biāo)定修正模型

在加速度計(jì)重力法靜態(tài)標(biāo)定中，標(biāo)定裝置(見(jiàn)圖1)通常由分度臺(tái)、轉(zhuǎn)接件、夾具、精密電壓表和直流穩(wěn)壓電源等組成。被校加速度計(jì)通過(guò)轉(zhuǎn)接件和夾具固定在分度臺(tái)臺(tái)面上，加速度計(jì)橫向擺軸與分度臺(tái)旋轉(zhuǎn)軸平行，敏感軸位于鉛垂面內(nèi)。

圖1 加速度計(jì)地球重力法標(biāo)定裝置

假設(shè)初始位置時(shí)加速度計(jì)敏感軸方向與重力加速度方向重合，當(dāng)分度臺(tái)旋轉(zhuǎn)角度θ時(shí)，被測(cè)加速度計(jì)敏感軸方向的加速度分量aI(m/s2)和橫向擺軸方向的加速度分量aO(m/s2)分別表示為[7]

aI=g·cosθ，aO=g·sinθ

(1)

式中：g為本地重力加速度值。

調(diào)整分度臺(tái)實(shí)現(xiàn)被校傳感器加速度激勵(lì)輸入，電壓表測(cè)量重力加速度激勵(lì)下加速度計(jì)輸出電壓，由選定的靜態(tài)模型求解計(jì)算被校加速度計(jì)靜態(tài)參數(shù)。由于加速度計(jì)原理和特性各不相同，靜態(tài)標(biāo)定模型只是被測(cè)加速度計(jì)輸入輸出關(guān)系的一種近似函數(shù)表達(dá)。一種常用的加速度計(jì)靜態(tài)標(biāo)定模型表示為

(2)

式中：E為加速度計(jì)輸出電壓，V；aI和aO分別為敏感軸和橫向軸方向加速度分量，g；KF為零位偏置，V；KⅠ為靜態(tài)靈敏度，V/g；KO為橫向靈敏度，V/g；KIO為交叉耦合系數(shù)，V/g2；KⅡ?yàn)槎A非線性誤差系數(shù)，V/g2；ε為隨機(jī)誤差，V。

在實(shí)際測(cè)試中，通過(guò)水準(zhǔn)泡或水平尺的方式調(diào)整被校加速度計(jì)的初始位置存在安裝誤差。令被校加速度計(jì)由于安裝誤差引入的初始位置失準(zhǔn)角為θ0，則式(1)修正為

aI=g·cos(θ+θ0)，aO=g·sin(θ+θ0)

(3)

由于重力法標(biāo)定中加速度激勵(lì)輸入范圍有限(±1g)，主要用于標(biāo)定靈敏度和零位偏置等參數(shù)。結(jié)合被測(cè)力平衡加速度計(jì)的特點(diǎn)，在靜態(tài)標(biāo)定修正模型式(2)中忽略橫向靈敏度、交叉耦合項(xiàng)和隨機(jī)誤差影響，并將式(3)代入式(2)中將被校加速度計(jì)靜態(tài)標(biāo)定模型修正為

E=KF+KⅠgcos(θ+θ0)+

KⅡg2cos2(θ+θ0)

(4)

2 修正模型的非線性最小二乘求解算法

重力法靜態(tài)標(biāo)定中，采用多位置翻滾法進(jìn)行測(cè)試，記錄被校加速度計(jì)在分度臺(tái)不同角位置θi下加速度計(jì)輸出電壓均值Ei。將式(4)離散采樣表示為

Ei=KF+KⅠgcos(θi+θ0)+

KⅡg2cos2(θi+θ0)

(5)

式中：i=1,2,…,n，n為分度臺(tái)調(diào)整次數(shù)。

為提高重力法標(biāo)定精度，由多組測(cè)量值(θi,Ei)對(duì)式(5)建立超定方程組，并采用非線性最小二乘法進(jìn)行最優(yōu)化求解[8]。首先建立目標(biāo)函數(shù)f(x)

(6)

式中：ri(x)=KF+KⅠgcos(θi+θ0)+KⅡg2cos2(θi+θ0)-Ei；x=(KF,KⅠ,KⅡ,θ0)T。

為提高算法可靠性和準(zhǔn)確性，采用Levenberg-Marquardt算法(以下稱“L-M算法”)實(shí)現(xiàn)非線性最小二乘迭代計(jì)算過(guò)程[9]。記矩陣r(x)=(r1(x),r2(x),…,rn(x))T，由ri(x)對(duì)修正模型的參數(shù)KF,KⅠ,KⅡ,θ0分別求偏導(dǎo)，可得到：

▽ri(x)=

(7)

由式(7)記雅可比矩陣J(x)=(▽r1(x)T,▽r1(x)T,…,▽rn(x)T)T，設(shè)置算法調(diào)節(jié)參數(shù)υ，將式(6)轉(zhuǎn)化為如下線性方程組進(jìn)行迭代計(jì)算求解。

(J(x(k))TJ(x(k))+υI)d=-J(x(k))Tr(x(k))

(8)

x(k+1)=x(k)+d(k)

(9)

式中：I4×4為單位矩陣；d4×1為增量矩陣。

以被校加速度計(jì)標(biāo)稱靈敏度作為迭代初始值，其他參數(shù)根據(jù)實(shí)際情況選擇初始值。設(shè)置迭代初始值x(0)和計(jì)算精度ε，由式(8)和式(9)迭代計(jì)算得到滿足計(jì)算精度ε的加速度計(jì)靜態(tài)參數(shù)結(jié)果x(k)=((KF,KⅠ,KⅡ,θ0)(k))T。

3 測(cè)試實(shí)驗(yàn)

在實(shí)驗(yàn)室隔振平臺(tái)上，利用立式多齒分度臺(tái)、七位半臺(tái)式萬(wàn)用表和直流穩(wěn)壓電源等儀器搭建加速度計(jì)重力法標(biāo)定裝置。多齒分度臺(tái)最小分度為0.5°，角定位精度為0.5″。選擇凱尼公司單軸力平衡加速度傳感器ES-U2作為被校加速度計(jì)，滿量程為2g，標(biāo)稱靈敏度為10 V/g。被校加速度計(jì)通過(guò)夾具固定在分度臺(tái)臺(tái)面上，敏感軸方向位于鉛垂面內(nèi)。通過(guò)調(diào)整多齒分度臺(tái)實(shí)現(xiàn)被校加速度計(jì)激勵(lì)輸入，臺(tái)式萬(wàn)用表測(cè)量加速度計(jì)輸出電壓。

表1 加速度計(jì)重力法標(biāo)定實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

表2 采用修正模型的標(biāo)定結(jié)果

第1組實(shí)驗(yàn)利用水準(zhǔn)泡確定加速度計(jì)的初始安裝位置，第2組和第3組則通過(guò)多齒分度臺(tái)分別設(shè)置安裝位置偏移0.5°和1.0°。從標(biāo)定實(shí)驗(yàn)結(jié)果看，采用修正模型計(jì)算第2組和第3組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的初始失準(zhǔn)角偏移分別為0.499 8°和0.996 3°，驗(yàn)證了修正模型標(biāo)定初始失準(zhǔn)角的準(zhǔn)確性。同時(shí)，采用加入初始失準(zhǔn)角的修正模型，被校加速度計(jì)在不同的初始安裝誤差下，零位偏置、靜態(tài)靈敏度等參數(shù)的標(biāo)定結(jié)果一致性好，表明了修正模型能夠有效減小初始安裝誤差的影響。

在搭建的重力法標(biāo)定裝置上對(duì)同一被校加速度計(jì)采用兩位置翻滾法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。被校加速度計(jì)靜態(tài)靈敏度SH(V/g)和零位偏置KH(V)表示為[10]

(10)

利用水準(zhǔn)泡采用同樣的固定方式確定加速度計(jì)初始安裝位置，分別記錄多齒分度臺(tái)0°和180°位置處加速度計(jì)輸出電壓均值E0和E180，由式(10)計(jì)算采用兩位置翻滾法的靜態(tài)標(biāo)定參數(shù)。將三組實(shí)驗(yàn)中采用修正模型計(jì)算的靜態(tài)靈敏度和零位偏置分別取平均，與兩位置翻滾法標(biāo)定結(jié)果進(jìn)行對(duì)比(見(jiàn)表3)。

表3 與兩位置翻滾法的實(shí)驗(yàn)對(duì)比結(jié)果

從試驗(yàn)對(duì)比結(jié)果看，加入初始失準(zhǔn)角參數(shù)的修正模型能夠有效減小加速度計(jì)安裝誤差的影響，提高重力法靜態(tài)標(biāo)定的準(zhǔn)確性。

4 結(jié) 論

(1) 針對(duì)加速度計(jì)重力法標(biāo)定中由安裝誤差引入初始失準(zhǔn)角的問(wèn)題，加入初始失準(zhǔn)角參數(shù)對(duì)重力法標(biāo)定模型進(jìn)行修正，采用非線性最小二乘法求解修正模型，并通過(guò)Levenberg-Marquardt算法實(shí)現(xiàn)非線性擬合迭代計(jì)算過(guò)程。

(2) 在隔振平臺(tái)上搭建重力法標(biāo)定裝置對(duì)修正模型進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，并將修正模型的靜態(tài)標(biāo)定結(jié)果與兩位置翻滾法的標(biāo)定結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，采用修正模型能夠準(zhǔn)確標(biāo)定出由安裝誤差引入的初始失準(zhǔn)角參數(shù)，且在不同的安裝誤差下，被校加速度計(jì)的靜態(tài)靈敏度和零位偏置參數(shù)標(biāo)定結(jié)果一致性較好。與兩位置法的對(duì)比結(jié)果表明，修正模型可以減小加速度計(jì)重力法標(biāo)定中安裝誤差對(duì)靜態(tài)標(biāo)定結(jié)果的影響，提高重力法靜態(tài)標(biāo)定的準(zhǔn)確性。